Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 37 Chơng 5. xoắn thuần tuý thanh thẳng I. Khái niệm về xoắn thuần tuý 1. Định nghĩa Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên MCN chỉ có một thnh phần nội lực l mômen xoắn nh trên hình 5.1. Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn, có giá trị bằng P.a. 2. Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực với công suất v số vòng quay Công suất do mômen xoắn ngoại lực M (Nm) thực hiện khi trục quay một góc theo thời gian t: A = M Do đó công suất N (watt-W): AM NM tt = == N M = trong đó - vận tốc góc (rad/s); n l tốc độ [vòng/phút (v/ph)]. Vận tốc góc: n rad /s 30 = Nếu công suất N tính bằng kW thì: () = N M9549 Nm n Nếu công suất tính bằng mã lực thì: () = N M7162 Nm n . 3. Các giả thuyết tính toán Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (hình 5.2) trớc v sau khi biến dạng, thấy: MCN ban đầu phẳng v thẳng góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng v thẳng góc với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không thay đổi. Các bán kính của thanh trớc v sau khi biến dạng vẫn thẳng v có độ di không đổi. Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu xoắn, chỉ xảy ra hiện tợng quay của tiết diện ngang quanh trục thanh. Nhận xét ny đã đợc lí thuyết v thực nghiệm xác minh l đúng. II. ứng suất trên mặt cắt của thanh tròn chịu xoắn Hình 5.1 b) Sau biến dạng a) Trớc biến dạng Hình 5.2 Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 38 Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình 5.3a). Hình 5.3 Tách từ thanh một đoạn di dz (hình 5.4) Theo quan hệ giữa nội lực v ứng suất ta có: z F MdF = (a) Mặt khác theo định luật Húc: G. = (b) l ứng suất tiếp trên MCN tại điểm cách trọng tâm mặt cắt một khoảng bằng . Theo hình 5.4, ta có: d tg dz = (c) với d l góc xoắn tơng đối giữa 2 mặt cắt 3-3 v 4-4; dz l khoảng cách giữa 2 mặt cắt đó. Ký hiệu d dz = l góc xoắn tỷ đối trên một đơn vị di. Thay (c) vo (b) rồi vo (a), ta có: 2 zp F MG dFG J== (d) Từ (d) suy ra: z p M G.J = (5-1) Hình 5.4 d dz 3 3 4 4 Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 39 Thay (5-1) vo (c) rồi vo (b), ta có: z p M . J = (5-2) ứng suất tiếp lớn nhất: z max p M W = (5-3) trong đó: p p J W R = gọi l môđun chống xoắn của mặt cắt ngang có thứ nguyên l (chiều di) 3 ; R l bán kính của mặt cắt ngang. - Đối với hình tròn: 3 p 3 p J D W0,2D R16 == - Đối với hình vnh khăn: () () 3 434 p D W10,2D1 16 = ; d D = Biểu đồ ứng suất biểu diễn nh trên hình (5.3b). Ta thấy ứng suất tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vo khoảng cách đến trọng tâm mặt cắt ngang. III. Biến dạng Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn đợc thể hiện bằng góc xoắn tơng đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (5.1) ta có: == z p M d dz GJ (rad/m) (5-4) Góc xoắn giữa hai MCN cách nhau một khoảng l l: = z p 0 M dz GJ l (rad) (5-5) GJ p đợc gọi l độ cứng xoắn . Với chiều di v ngoại lực nh nhau, độ cứng xoắn cng lớn góc xoắn cng nhỏ. Nếu trong suốt chiều di l của thanh, tỷ số z p M G.J không đổi hoặc không đổi trong từng đoạn có chiều di l i , ta có: = z p M G.J l hoặc n zi i1 ipi M GJ = = l (5-6) Từ các công thức trên ta thấy khi chịu xoắn, đặc trng hình học của MCN không phải l diện tích F m l mômen độc cực J p . IV. Tính toán về xoắn thuần tuý Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 40 Đảm bảo điều kiện bền v điều kiện cứng. 1. Điều kiện bền Điều kiện bền : [] = zmax max p M W (5.7) [] l ứng suất tiếp cho phép của vật liệu, xác định nh sau: [] [ ] k 2 = hoặc [] [ ] k 3 = (5.8) Đối với vật liệu dẻo: [] ch n = , vật liệu giòn: [] B n = (5.9) Điều kiện bền trên ton thanh khi đờng kính thay đổi: [] z max p max M W = (5-10) Với công thức (5.7) ta có ba loại bi toán cơ bản sau: a. Kiểm tra bền: theo công thức (5.7). b. Chọn kích thớc mặt cắt ngang: [] = z pp M WW (5.11) c. Tính tải trọng cho phép: M z W p [] = [M z ] (5.12) 2. Điều kiện cứng Góc xoắn tơng đối (hay biến dạng xoắn) lớn nhất không vợt quá giới hạn cho phép: [] = z max p M GJ [rad/chiều di] hoặc [độ/chiều di] (5.13) trong đó [ ] l góc xoắn tơng đối cho phép (tra bảng). Nếu [ ] đợc cho bằng (độ/chiều di) công thức quy đổi sau: [] rad/chiều di = .[ ] 180 độ/ chiều di (5.14) Theo công thức 5.13 ta cũng có ba loại bi toán sau: a. Kiểm tra điều kiện cứng: theo công thức 5.13 b. Tính kích thớc mặt cắt ngang: [] = z pp M JJ G (5.15) c. Tính tải trọng cho phép: M z GJ p [] = [M z ] (5.17) Khi tính toán theo cả điều kiện bền v cứng, điều kiện no có ảnh hởng nhiều hơn thì lấy kết quả theo điều kiện ấy. Đối với thanh mảnh, điều kiện cứng thờng có ảnh hởng nhiều hơn. V. Xoắn thanh có mặt cắt ngang không tròn 1. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 41 Sau khi bị xoắn, các tiết diện ngang nói chung đều bị vênh đi. Trên MCN của thanh chỉ có ứng suất tiếp. Phân bố của ứng suất tiếp thanh MCN hình chữ nhật nh trên hình 5.5. ứng suất lớn nhất tại điểm giữa cạnh di: z max 2 M ab = (5.18) ứng suất tại điểm giữa cạnh ngắn: 1 = max ( 1) (5.19) Góc xoắn tơng đối: = z 3 M ab (5.20) Các hệ số , , phụ thuộc vo tỉ số a/b, cho trong các ti liệu SBVL, ví dụ a/b = 1 = 0,208; = 0,141; = 1,0. 2. Thanh có thnh mỏng kín hoặc hở Thanh thnh mỏng kín (hình 5.6a) v hở (hình 5.6b). a. Thanh có thnh mỏng kín ứng suất tiếp đợc phân bố đều theo bề dy b của thnh, ví dụ tại một điểm A: z A *A M 2F b = (5.21) F * diện tích giới hạn bởi đờng tâm của thnh (chu vi trung gian). ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí bề dy của thnh nhỏ nhất. Góc xoắn tơng đối : z 2 * M ds b 4GF = v (5.22) b. Thanh có thnh mỏng hở Trên MCN của thanh cũng chỉ có ứng suất tiếp. Nếu MCN của thanh do nhiều hình chữ nhật ghép thnh (hình 5.7), ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm giữa của cạnh a i : Hình 5.5 Hình 5.6 Chu vi trung gian b) a) Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 42 = z imax * J b i (5.23) ; n 3 *ii i1 1 Jab 3 = = (5.24) Thực nghiệm J * tính theo (5.24) bé hơn một chút so với thực tế đối với các loại thép định hình, ngời ta đa thêm vo một hệ số điều chỉnh 1: n 3 *ii i1 1 Jab 3 = = đợc cho trong các ti liệu SBVL, ví dụ thép chữ L: =1, chữ I: = 1,2, . Góc xoắn tơng đối: z * M GJ = (5.25) Khi MCN l một dải cong có thể coi nh một dải chữ nhật. Ví dụ. Tính ứng suất max tại các điểm A, B v góc xoắn của một thanh di 2m có thnh mỏng kín, bị xoắn, mặt cắt ngang của thanh nh hình 5.8, biết M z = 2.10 4 Nm, G = 5,2.10 10 N/m 2 (vật liệu gang). Giải: Diện tích giới hạn bởi đờng tâm của thnh: F * = (0,4 0,01)(0,2 0,03) = 0,0663m 2 ứng suất tại A l: 4 62 A 2.10 5.10 N /m 2.0,0663.0,03 = = ứng suất tại B l: 4 62 B 2.10 15.10 N /m 2.0,0663.0,01 = = Góc xoắn của thanh: = . = v z 2 * Ml ds b 4GF = +++ z *1 2 1 2 12 23 32 41 Ml ds ds ds ds 4GF b b b b = () 4 3 2 2.10 .2 0,39 0,17 2. 2. 2,62.10 rad 0,03 0,01 4.5,2. 0,0663 + VI. Bi toán siêu tĩnh về xoắn Một thanh tròn bị ngm ở hai đầu chịu tác dụng của ngẫu lực M 0 nh hình 5.9a. Vẽ biểu đồ nội lực của thanh. Hình 5.7 Hình 5.8 Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 43 Ngẫu lực liên kết M A v M B . Để xác định chúng, chỉ có một phơng trình cân bằng tĩnh học: M A M 0 + M B = 0 (a) Muốn giải bi toán siêu tĩnh (bậc một) ny, phải dựa vo điều kiện biến dạng của thanh để lập thêm một phơng trình bổ sung. Tởng tợng bỏ ngm A v thay thế bằng phản ngẫu lực M A , ta đợc thanh tĩnh định (hình 5.9b). Điều kiện thay thế l góc xoắn AB phải bằng không, để bảo đảm sự tơng đơng về biến dạng với thanh siêu tĩnh đã cho, do đó: ( ) 0 0 A A AB AC CB zz MMb Ma GJ GJ =+= + = (b) Giải phơng trình trên, đợc: A0 b MM ab = + (c) thay (c) vo (a), suy ra: M B = 0 a M ab+ (d) (Nếu M A v M B tính đợc ở trên mang thêm dấu âm, thì chúng có chiều ngợc với chiều giả thiết ban đầu). Sau khi xác định đợc các phản ngẫu lực M A , M B sẽ vẽ đợc biểu đồ mômen xoắn M z (z) của thanh nh hình 5.9c. VI. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bớc ngắn a) b) Hình 5.9 c) Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 44 Xét một lò xo xoắn ốc trụ tròn, chịu lực dọc P G (hình 5.10) với: h l bớc của dây lò xo, d l đờng kính dây lò xo, D l đờng kính trung bình của vòng dây lò xo, l góc nghiêng của các dây lò xo, n l số vòng dây lò xo. Giả thiết: 1. Góc nghiêng rất bé, bớc h của lò xo không lớn lắm D h 10 < . 2. Đờng kính d v D phải thoả mãn D d 5 < . 1. ứ ng suất Tởng tợng cắt dây lò xo bằng một mặt cắt đi qua trục của lò xo v xét sự cân bằng của một trong hai phần. Thnh phần nội lực: Q y =P v M z =PR=PD/2. Nếu bớc h của lò xo không lớn lắm MCN l hình tròn. ứng suất do ngẫu lực xoắn M z v lực cắt Q y gây ra đều l ứng suất tiếp, kí hiệu tơng ứng l M v Q : z M pp M PR J J = = ; y Q 2 Q 4P F d = = ứng suất tiếp tại một điểm no đó l tổng hình học của hai thnh phần ứng suất tiếp. max l tại điểm A trên biên của mặt cắt ngang, ứng với đờng kính trong của lò xo (hình 5.10c). max 323 8PD 4P 8PD d 1 2D ddd = + = + Trong thực tế, d của dây lò xo thờng rất bé so với D của lò xo, nên tỉ số d/2D có thể bỏ qua so với 1. = max 3 8PD k d trong đó k l hệ số điều chỉnh kể đến ảnh hởng của lực cắt Q y v ảnh Hình 5.10 Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 45 hởng của độ cong vòng dây lò xo: + = Dd 0,25 k Dd 1 Điều kiện bền khi tính toán lò xo l: [] = max 3 8PD k d 2. Biến dạng Ngoi độ bền, còn phải tính lợng co giãn của lò xo. Gọi l lợng co giãn của lò xo do lực dọc P gây nên. Công của ngoại lực P trong biến dạng đó l: () 2 00 0 ycP APydycydyc 222 ===== Công A bằng công biến dạng đn hồi U trong lò xo: () === === = 2 2 zz zzz pp 00 0 MM c. 1 1 1 UM d cdc M M 222 2GJ2GJ ll trong đó: l chiều di của dây lò xo. Theo nguyên lý bảo ton năng lợng A = U, ta có: = 2 z p M P GJ l Thay trị số của l= Dn v M z = PD/2: 3 4 8PD n Gd = Lực cần thiết để gây nên một biến dạng đơn vị của lò xo, đợc gọi l độ cứng của lò xo, kí hiệu l C: 4 3 PGd C 8D n == Độ cứng của lò xo đợc tính bằng N/m. VII. Ví dụ áp dụng Ví dụ 5-1 : Cho dầm đầu ngm đầu tự do chịu mômen xoắn tập trung M 0 (hình 5.11a). Vẽ biểu đồ mômen xoắn. Bi giải Sử dụng phơng pháp mặt cắt, ta đợc: M Z -Pa=0 M Z =P.a Biểu đồ mômen xoắn đợc vẽ trên hình 5.11b. Hình 5.11 1 1 Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng 46 Ví dụ 5-2 : Vẽ biểu đồ M z cho thanh chịu lực nh hình 5.12. Bi giải 1. Phản lực tại ngm C: zc M 0 M 900Nm= = 2. Chia dầm thnh hai đoạn: - Đoạn AB cắt thanh ở mặt cắt z 1 )400( 1 cmz v xét sự cân bằng phần trái, ta tìm đợc 1 z M =300 Nm. - Đoạn BC cắt thanh ở mặt cắt z 2 v xét sự cân bằng phần phải ta có: 2 z M = 900 - 1000.z 2 Vẽ biểu đồ M z nh trên hình 5.12. Ví dụ 5-3 : Cho một trục chịu lực nh hình 5.13a. Các puli 1, 2, 3 l bị động có công suất N 1 = 40 mã lực, N 2 = 20 mã lực, N 3 = 30 mã lực, puli 0 l chủ động. Cho biết n =1000vòng/phút, =d/D =0,6, [ ]=4500N/cm 2 , G=8.10 6 N/cm 2 , 0 =2 0 /m. Xác định D, d. Bi giải : Biểu đồ công suất đợc vẽ trên hình 5.13b. Mặt cắt nguy hiểm có N 0 = 50 mã lực Zmax 71620 716200 MN50Ncm n 1000 == Chọn kích thớc theo điều kiện bền (5-11), ta có: [] z p M W [] 3 4 0 P 716200.N D w(1) 16 n == [] 0 3 4 716200.N 16 D3,64cm n(1 ) Chọn kích thớc theo điều kiện cứng. Từ (5-14), ta suy ra: [] = z max p M GJ ìì = 4 4 0 P 0 716200N 100 180 D J(1) 32 n.G.[ ] D=3,49cm so sánh ta chọn: D=3,64; d=3,64. 0,6 = 2,18cm. Hình 5.13 a) b) Hình 5.12 40cm 60cm 1000Nm/m . Đảm bảo điều kiện bền v điều kiện cứng. 1. Điều kiện bền Điều kiện bền : [] = zmax max p M W (5.7) [] l ứng suất tiếp cho phép của vật liệu, xác định nh. k 2 = hoặc [] [ ] k 3 = (5.8) Đối với vật liệu dẻo: [] ch n = , vật liệu giòn: [] B n = (5.9) Điều kiện bền trên ton thanh khi đờng kính thay đổi: