GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 12 Câu 1. Biết A có giá trị gần đúng là a = 1.3647 với sai số tương đối δ a = 0.04%. Ta làm tròn a thành a ∗ = 1.36. Sai số tuyệt đối của a ∗ là a. 0.0053 b. 0.0055 c. 0.0057 d. 0.0059 e. Các câu kia đều sai. Sai số tuyệt đối của a ∗ là ∆ a ∗ = ∆ a + θ a ∗ = δ a ∗ |a| + |a ∗ − a| = 0.04% ∗|1.3647| +|1.36 − 1.3647| ≈ 0.00524. Làm tròn lên ⇒ a Câu 2. Cho a = 5.3864 với sai số tương đối là δ a = 0.43%. Số chữ số đáng tin trong cách viết thập phân của a là a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. Các câu kia đều sai. Sai số tuyệt đối ∆ a = δ a ∗ |a| = 0.43%∗ 5.3864 ≈ 0.02316152. Các chữ số đáng tin là 5, 3. ⇒ b Câu 3. Cho biểu thức f = x 3 + xy + y 3 . Biết x = 2.2587 ± 0.0061 và y = 0.2970 ± 0.0032. Sai số tuyệt đối của f là a. 0.1031 b. 0.1033 c. 0.1035 d. 0.1037 e. Các câu kia đều sai. Sai số tuyệt đối của f là ∆ f = |f  x |.∆ x + |f  y |.∆ y = |3x 2 + y|.∆ x + |x + 3y 2 |.∆ y = |3∗ 2.2587 2 + 0.2970|∗ 0.0061 +|2.2587 + 3∗ 0.2970 2 |∗ 0.0032 ≈ 0.103247. Làm tròn lên ⇒ b TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 12 Câu 4. Phương trình f (x) = 5x 3 + 12x − 5 = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] có nghiệm gần đúng là x ∗ = 0.40. Sai số nhỏ nhất theo công thức đánh giá sai số tổng quát của x ∗ là a. 0.0101 b. 0.0103 c. 0.0105 d . 0.0107 e. Các câu kia đều sai. Công thức đánh giá sai số tổng quát |x ∗ − x|  |f (x ∗ )| m , |f  (x)| = |15x 2 + 12|  min{|f  (0)|,|f  (1)|} = 12 = m. Sai số nhỏ nhất là |f (x ∗ )| m = |f (0.40)| 12 = 0.01 ⇒ a Câu 5. Cho phương trình f (x) = 2x 3 − 6x 2 + 6x − 13 = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [2, 3]. Theo phương pháp chia đôi, nghiệm gần đúng x 5 của phương trình là: a. 2.7556 b. 2.7656 c. 2.7756 d . 2.7856 e. Các câu kia đều sai. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 12 Ta có f (2) = −9 < 0 và f (3) = 5 > 0 n a n b n x n f (x n ) 0 2 3 2.5 - 1 2.5 3 2.75 - 2 2.75 3 2.875 + 3 2.75 2.875 2.8125 + 4 2.75 2.8125 2.78125 + 5 2.75 2.78125 2.765625 + ⇒ b TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 12 Câu 6. Cho phương trình x = 3 √ 6x + 14 thỏa điều kiện lặp đơn trên [3, 4]. Nếu chọn x 0 = 3.2 thì nghiệm gần đúng x 2 theo phương pháp lặp đơn là: a. 3.2167 b. 3.219 c. 3.2171 d . 3.2173 e. Các câu kia đều sai. x n = 3 √ 6x n−1 + 14. Bấm máy 3 √ 6x + 14− CALC X = 3.2 ⇒ x 1 , CALC X = Ans ⇒ x 2 ≈ 3.2167. ⇒ a Câu 7. Cho phương trình x = 3 √ 6x + 14 thỏa điều kiện lặp đơn trên [3, 4]. Nếu chọn x 0 = 3.2 thì sai số tuyệt đối nhỏ nhất của nghiệm gần đúng x 2 theo công thức tiên nghiệm là: a. 0.0007 b. 0.0009 c. 0.0011 d . 0.0013 e. Các câu kia đều sai. x n = 3 √ 6x n−1 + 14 = g (x n−1 ). Bấm máy 3 √ 6x + 14− CALC X = 3.2 ⇒ x 1 , Shift-STO-A, |g  (x)| = |2(6x + 14) −2/3 |  max{g  (3), g  (4)} = |g  (3)| = q Shift-STO-M |x 2 − x|  q 2 1 − q |x 1 − x 0 | ⇒ M 2 1 − M ∗ |A − 3.2| ≈ 0.00068. Làm tròn lên ⇒ a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 12 Câu 8. Cho phương trình f (x) = 4x 3 − 6x 2 + 14x − 4 = 0. Với x 0 = 0.3 thì nghiệm gần đúng x 1 theo phương pháp Newton là a. 0.3198 b. 0.3200 c. 0.3202 d . 0.3204 e. Các câu kia đều sai. f (x) = 4x 3 − 6x 2 + 14x − 4 = 0 ⇒ CALC X = 0.3 = Shift-STO-A,f  (x) = 12x 2 − 12x + 14 ⇒ CALC X = 0.3 = Shift-STO-B x 1 = x 0 − f (x 0 ) f  (x 0 ) = 0.3 − f (0.3) f  (0.3) = 0.3 − A B ≈ 0.3202 ⇒ c Câu 9. Cho phương trình f (x) = 2x 3 + 6x 2 + 7x + 5 = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [−1.9,−1.8]. Trong phương pháp Newton, chọn x 0 theo điều kiện Fourier, sai số của nghiệm gần đúng x 1 tính theo công thức sai số tổng quát là a. 0.0041 b. 0.0043 c. 0.0045 d . 0.0047 e. Các câu kia đều sai. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 12 f (−1.9) < 0, f (−1.8) > 0, f  (x) = 12x + 12 < 0,∀x ∈ [−1.9,−1.8] nên chọn x 0 = −1.9. |f  (x)| = |6x 2 + 12x + 7|  min{|f  (−1.9)|,|f  (−1.8)|} = 4.84 = m. Shift-STO-M. f (x) = 2x 3 + 6x 2 + 7x + 5 = 0 CALC X=-1.9= Shift-STO-A, f  (x) = 6x 2 + 12x + 7 CALC X=-1.9= Shift-STO-B, x 1 = x 0 − f (x 0 ) f  (x 0 ) = −1.9 − A B = Shift-STO-C. f (x) = 2x 3 + 6x 2 + 7x + 5 = 0 CALC X=C=Shift-STO-D. Sai số của x 1 theo công thức sai số tổng quát là |x 1 − x 0 |  |f (x 1 )| m = |D| M ≈ 0.00406. Làm tròn lên ⇒ a Câu 10. Cho A =   2 3 3 2 2 8 6 5 2   . Phân tích A = LU theo phương pháp Doolittle, phần tử  32 ma trận L là: a.3.0000 b.4.0000 c.5.0000 d.6.0000 e. Các câu kia đều sai. A = LU =   1 0 0  21 1 0  31  32 1   .   2 3 3 0 u 22 u 23 0 0 u 33   TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 12 1.u 11 + 0.0 + 0.0 = a 11 = 2 ⇒ u 11 = 2; 1.u 12 + 0.u 22 + 0.0 = a 12 = 3 ⇒ u 12 = 3; 1.u 13 + 0.u 23 + 0.u 33 = a 13 = 3 ⇒ u 13 = 3.  21 .u 11 + 1.0 + 0.0 = a 21 = 2 ⇒  21 = a 21 u 11 = 2 2 = 1;  21 .u 12 + 1.u 22 + 0.0 = a 22 = 2 ⇒ u 22 = a 22 −  21 .u 12 = 2 − 1.3 = −1;  31 .u 11 +  31 .0 + 1.0 = a 31 = 6 ⇒  31 = a 31 u 11 = 6 2 = 3;  31 .u 12 +  32 .u 22 + 1.0 = a 32 = 5 ⇒  32 = a 32 −  31 .u 12 u 22 = 5 − 3 ∗ 3 −1 = 4; ĐS. ⇒ b Câu 11. Cho A =   2 1 8 6 5 3 1 6 9   . Phân tích A = LU theo phương pháp Doolittle, tổng các phần tử u 11 + u 22 + u 33 của ma trận U là a. 63.7500 b. 64.7500 c. 65.7500 d . 66.7500 e. Các câu kia đều sai. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 12 1.u 11 + 0.0 + 0.0 = a 11 = 2 ⇒ u 11 = 2; 1.u 12 + 0.u 22 + 0.0 = a 12 = 1 ⇒ u 12 = 1; 1.u 13 + 0.u 23 + 0.u 33 = a 13 = 8 ⇒ u 13 = 8.  21 .u 11 + 1.0 + 0.0 = a 21 = 6 ⇒  21 = a 21 u 11 = 6 2 = 3;  21 .u 12 + 1.u 22 + 0.0 = a 22 = 5 ⇒ u 22 = a 22 −  21 .u 12 = 5 − 3.1 = 2;  21 .u 13 + 1.u 23 + 0.u 33 = a 23 = 3 ⇒ u 23 = a 23 −  21 .u 13 = 3 − 3.8 = −21;  31 .u 11 +  31 .0 + 1.0 = a 31 = 1 ⇒  31 = a 31 u 11 = 1 2 ;  31 .u 12 + 32 .u 22 +1.0 = a 32 = 6 ⇒  32 = a 32 −  31 .u 12 u 22 = 6 − 1 2 ∗ 1 2 = 11 4 ;  31 .u 13 +  32 .u 23 + 1.u 33 = a 33 = 9 ⇒ u 33 = a 33 −  31 .u 13 −  32 .u 23 = 9 − 1 2 ∗ 8 − 11 4 ∗ (−21) = 251 4 ; Vậy u 11 + u 22 + u 33 = 2 + 2 + 251 4 = 66.75. ⇒ d TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 12 Câu 12. Cho A =  2 −4 6 9  . Số điều kiện tính theo chuẩn một của ma trận A là: a. 3.6429 b. 4.6429 c. 5.6429 d . 6.6429 e. Các câu kia sai. MatA x −1 ⇒ A −1 =  3 14 2 21 − 1 7 1 21  k = ||A|| 1 .||A −1 || 1 = max{|2| + |6|,| − 4| + |9|} ∗ max{| 3 14 | + | − 1 7 |,| 2 21 | + | 1 21 |} = 13 ∗ 5 14 ≈ 4.64285 ⇒ b Câu 13. Cho A =   −6 −4 7 4 −3 −8 −4 5 −4   . Số điều kiện tính theo chuẩn vô cùng của ma trận A là: a. 4.6854 b. 4.6954 c. 4.7054 d . 4.7154 e. Các câu kia đều sai. MatA x −1 ⇒ A −1 =   − 13 112 − 19 448 − 53 448 − 3 28 − 13 112 5 112 − 1 56 − 23 224 − 17 224   k = ||A|| ∞ .||A −1 || ∞ = max{| − 6| + | − 4| + |7|,|4| + | − 3| + | − 8|, |− 4| +|5| +|− 4|}∗ max{|− 13 112 | +|− 19 448 | +|− 53 448 |,|− 3 28 | +|− 13 112 | + | 5 112 |,| − 1 56 | + | − 23 224 | + | − 17 224 |} = 17 ∗ 31 112 ≈ 4.70535 ⇒ c TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ÔN TẬP GIỮA KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 12