Trần Só Tùng Tích phân Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Hệ quả: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® x lim lim lim x ỉ 1ử b) lim ỗ + ữ = e, x ẻ R x đƠ ố xứ Heọ quaỷ: lim (1 + x) x = e x®0 lim ex - =1 x® x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' ỉ1ư ç ÷' = - èxø x ( x )' = x x (e )' = ex u' ổ1ử ỗ ữ' = - u ốuứ ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' (tgx)' = = + tg x (tgu)' = = (1 + tg u).u' 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g x) (cot gu)' = = - (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phaân: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a ; b) có đạo hàm x Ỵ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx Ỵ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng định nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang Tích phân Trần Só Tùng NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN §Bài 1: NGUYÊN HÀM Định nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) F '(b - ) = f(b) Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) ị f(x)dx Do viết: ị f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ị [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ị f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang Trần Só Tùng Tích phân BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + + C (a ¹ -1) ua+1 ị u du = a + + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ị a ị ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ị a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin x = ò (1 + cot g x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin du = u +C u ò2 (x > 0) ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx ị ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b u = ò (1 + cot g u)du = - cot gu + C dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx = ax + b + C ax + b a (a ¹ 0) Trang (u > 0) Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = x2 + a R Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R ìex ï Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í ïx + x + ỵ x ³ x < ìex x ³ Là nguyên hàm hàm số f(x) = í R 2x + x < ỵ Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìe x x > F '(x) = í ỵ2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang x2 + a = f(x) Trần Só Tùng · Tích phân Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 - ) = limx®0 · F(x) - F(0) x + x + - e0 = lim = x ® 0x-0 x Đạo hàm bên phải hàm số ñieåm x0 = F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = x®0 x-0 x Nhận xét F '(0 - ) = F '(0 + ) = Þ F '(0) = ìe x x ³ Tóm lại: F '(x) = í = f(x) ỵ2x + x < Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trị tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x ẻ (a ; b) ù + ị giá trị tham số íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang Tích phân Trần Só Tùng ìx2 x £ Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: F(x) = í ỵax + b x > ì2x nguyên hàm hàm số: f(x) = í î2 x £ x > treân R Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: ì2x x < a/ Với x ¹ , ta có: F '(x) = í ỵ2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, : lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a (1) + x ®1 x ®1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - = lim = x ®1- x - x -1 · Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0 = F '(1+ ) = lim + x ®1 F(x) - F(1) ax + b - ax + - a - = lim = lim = a + + x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = (2) Thay (2) vaøo (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c)e -2x nguyên hàm F(x) = - (2x - 8x + 7)e-2 x R Giải: Ta có: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax + bx + c)e -2x = é-2ax + 2(a - b)x + b - 2cùe-2x ë û Do F(x) nguyên hàm f(x) R Û F '(x) = f(x), "x Ỵ R Û - 2ax + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x + 8x - 7, "x Ỵ R ìa = ìa = ï ï Û ía - b = Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = ỵ ỵ Vậy F(x) = (x - 3x + 2)e-2x Trang Traàn Só Tùng Tích phân BÀI TẬP ỉ x pư Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln tg ỗ + ữ ố2 4ứ Tửứ ủoự suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x ì ln(x + 1) ,x¹0 ï Bài Chứng tỏ hàm số F(x) = í x ï0 ,x = ỵ ì ln(x + 1) ,x¹0 ï nguyên hàm hàm số f(x) = í x + x2 ï1 ,x=0 ỵ Bài Xác định a, b, c cho hàm soá F(x) = (ax + bx + c).e- x nguyên hàm hàm số f(x) = (2x - 5x + 2)e- x R ĐS: a = –2 ; b = ; c = –1 Bài a/ b/ Tính nguyên hàm F(x) f(x) = Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin ÑS: a/ F(x) = Baøi a/ x + 3x + 3x - vaø F(0) = (x + 1)2 x2 +x+ ; x +1 x ổ pử p vaứ F ỗ ữ = è2ø b/ F(x) = (x - sin x + 1) Xác định số a, b, c cho hàm số: F(x) = (ax + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số: f(x) = b/ 20x - 30x + ổ3 treõn khoaỷng ỗ ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ĐS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x - 2x + 10) 2x - - 22 Trang Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ị f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ Ví dụ 1: CMR , ị f(x)dx = F(x) + C Giải: Ta có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ a Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 ị f(ax + b)dx = a ị (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) Ghi chú: Công thức áp dụng cho hàm số hợp: ị f(t)dt = F(t) + C Þ ị f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: a/ ị (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò 2e x dx ex + d/ ò (2 ln x + 1)2 dx x Giaûi: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 +C= + C a/ Ta có: ị (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = 2 b/ Ta có: ị cos4 x.sin xdx = - ị cos xd(cos x) = c/ Ta coù: cos5 x +C 2ex d(ex + 1) dx = ò x = ln(e x + 1) + C ò ex + e +1 (2 ln x + 1)2 1 d/ Ta có: ị dx = ị (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C x 2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau: a/ ị 2sin x dx b/ ò cot g2 xdx c/ ị tgxdx Giải: a/ Ta có: ị 2sin x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C ỉ b/ Ta coự: ũ cot g xdx = ũ ỗ - ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta coù: ò tgxdx = ò sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang d/ ò tgx dx cos3 x Trần Só Tùng d/ Ta có: Tích phân tgx ò cos x dx = ò sin x d(cos x) 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C 4 cos x cos x 3cos3 x Ví dụ 4: Tính tích phân bất định sau: a/ x ị + x dx b/ òx dx - 3x + Giải: a/ Ta có: x d(1 + x ) dx = ò = ln(1 + x ) + C ò + x2 1+ x b/ Ta có: ịx 1 ỉ dx = ị dx = ũ ỗ ữdx - 3x + (x - 1)(x - 2) è x - x -1 ø = ln x - - ln x - + C = ln x-2 + C x -1 BAØI TẬP Bài Tìm nguyên hàm hàm số: x a/ f(x) = cos2 ; b/ ÑS: a/ (x + sin x) + C ; f(x) sin x - cos x + cos3 x + C b/ Bài Tính tích phân bất định : a/ ị e (2 - e d/ e2-5x + ò ex dx; x -x )dx; b/ e/ ÑS: a/ 2e - x + C; x d/ ex ò 2x dx ; c/ 2x.3x.5x ò 10x dx ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x b/ - e2-6 x - e- x + C; e/ c/ 6x +C ln ln(ex + 2) + C Baøi Tính tích phân bất định : a/ ị d/ ò (1 - 2x) x + x -4 + dx ; 2001 dx; e/ x3 ÑS: a/ - + C; x d/ ò b/ ò x x dx ; c/ òx x + dx ; - ln x dx x 55 x + C; b/ (1 - 2x)2002 - + C; 2002 Trang e/ c/ (x + 1) x + + C ; (3 + ln x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức mà nguyên hàm biểu thức nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt phép phân tích rút ý tưởng cho riêng từ vài minh hoạ sau: · Với f(x) = (x - 2)2 viết lại f(x) = x - 4x + · Với f(x) = x - 4x + viết laïi f(x) = x - + x -1 x -1 · Với f(x) = 1 viết lại f(x) = x - 5x + x -3 x -2 · Với f(x) = · Với f(x) = (2 x - 3x )2 viết lại f(x) = x - 2.6 x + x · Với f(x) = cos3 x.sin x viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 1 viết lại f(x) = ( - 2x - 2x + 1) 2x + + - 2x = cos3x.sin x + cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + sin 2x · tg x = (1 + tg x) - · cot g x = (1 + cot g x) - · x n (1 + x ) + 1 = xn + 1+ x + x2 Đó vài minh hoạ mang tính điển hình Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I = ị x(1 - x)2002 dx Giải: Sử dụng đồng thức : x = – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 Khi đó: I = ị (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C 2003 2004 Toång quát: Tính tích phân bất định: I = ị x(ax + b)a dx, với a ¹ 1 Sử dụng đồng thức: x = ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10 Tích phân Trần Só Tùng * Gọi S diện tích hình tròn (C) Þ S = p.R = 8p * 4ư ỉ Gọi S2 phần diện tích hình tròn lại Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ç p + ÷ 3ø è Û S2 = p - Ví dụ (vấn đề 4): Chứng minh m thay đổi Parabol (P): y = x2 + cắt đường thẳng (d): y = mx + hai điểm phân biệt Hãy xác định m cho phần diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng parabol nhỏ Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x + = mx + Û x - mx - = (1) y D = m + > 0, "m (P) (d) * Vậy (d): cắt (P) điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 nghiệm (1) * Diện tích hình phẳng S là: A B x2 x2 ỉ x mx + x÷ S = ị (mx + - x - 1)dx = ỗ - + è ø x1 x1 x1 x x2 m = - (x - x1 ) + (x - x1 ) + (x - x1 ) 2 2 = - (x - x1 ) é2(x + x1x + x1 ) - 3m(x + x1 ) - ù ë û 1 é ù =m + ë2(m + 1) - 3m - û = (m + 4)3 ³ 6 Vaäy: S = m = Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2 , y = x2 27 ,y= x Giaûi: x2 27 * Đồ thị (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y = x hình vẽ * (P1) A x2 = 27 Û x = 27 Û x = Þ toạ độ A(3, 9) x Phương trình hoành độ giao điểm (P2) (H): Trang 138 (P2) (H) Phương trình hoành độ giao điểm (P1) vaø (H): * y 9/2 B S2 S1 x Trần Só Tùng Tích phân x 27 ỉ 9ư = Û x = Þ toaù ủoọ B ỗ 6, ữ x ố 2ø * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = ò (x ổ 27 x x2 )dx + ũ ỗ 8 3è x ÷ dx = = 27 ln (đvdt) ø Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: parabol (P): y = 4x - x đường tiếp tuyến với parabol này, biết tiếp tuyến qua M(5/2, 6) Giải: * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K: y (d2) 5ử ổ y = Kỗ x - ÷ + è 2ø * (d) tiếp xúc (P) hệ sau có nghiệm: ì 5ư ỉ ù4x - x = K ỗ x - ữ + 2ø è í ï4 - 2x = K î * (1) (d1) M S1 S2 A (2) (P) Thế (2) vào (1) ta được: 4x - x = (4 - 2x)(x - ) + B 5/2 x éx = Þ K = Û x - 5x + = Û ê ë x = Þ K = -4 * Vậy có phương trình tiếp tuyến là: (d1 ) :y = 2x + 1; (d ) : y = -4x + 16 * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = 5/2 ò (2x + - 4x + x )dx + ò (-4x + 16 - 4x + x )dx = = 5/ (đvdt) Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn đường: y = x - 4x + vaø y = Giải: * Vẽ đồ thị (C): y = f(x) = x - 4x + ì f(x), f(x) ³ * Xét đồ thị (C’) : y = f(x) = í ỵ -f(x), f(x) < * Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) sau: ì+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm Ox í ỵ+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm Ox qua trục hoành * Đồ thị (C’) hợp phần Trang 139 y (C) –1 x Tích phân Trần Só Tùng * Đường thẳng y = cắt (C’) A(0 ; 3), B(4 ; 3) * Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm * Do tính đối xứng nên ta có: S = 2(S1 + S2 ) 2 é1 ù = 2.ò (3 - x - 4x + )dx = ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x + 4x - 3)]dx ú ë0 û = (ñvdt) Bảng xét dấu: x x2–4x+3 + – Trang 140 + Trần Só Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài Cho Parabol (P): y = x - 4x + đường thẳng (d) : y = x – Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (P) trục Ox; b/ (P), trục Ox trục Oy; c/ (P), trục Ox, x = vaø x = 4; d/ (P) vaø (d); e/ (P), (d), x = vaø x = 4 b/ ; c/ 2; d/ ; ÑS: a/ ; 3 Bài Tính diện tích giới hạn đường: a/ (C) : y = x + , tiệm cận xiên (C), x = vaø x = 3; 2x b/ y = x(x + 1) , trục Ox, trục Oy x = 1; e/ c/ 2(y - 1)2 = x vaø (y - 1)2 = x - ; d/ y = x - 2x + 2, y = x + 4x + y = x - 4x + vaø y = 1; x2 e/ y = , y = , y = (với x > 0) x x 418 b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2 ĐS: a/ ; 35 Bài Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (C) : y = x - 2x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3 ; 3) (C) b/ (C) : y = x - 2x + 4x - 3, y = tiếp tuyến với (C) tiếp điểm có hoành độ x = ; ĐS: a/ b/ 48 Bài Cho Parabol (P): y2 = x đường tròn (C) : x + y2 - 4x + = a/ Chứng tỏ (P) (C) tiếp xúc A B b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) tiếp tuyến chung A B ỉ3 6ư 6 ỉ3 6ử 6 ẹS: a/ A ỗ ; x+ ; Bỗ ; x b/ ữ; y = ữ; y = è2 ø è2 ø Bài Đường thẳng (d): x – 3y + = chia đường tròn (C): x + y2 = thành hai phần, tính diện tích phần 5p 15p ĐS: S1 = - ; S2 = + 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a/ y = x , y = x b/ x - y3 + = 0; x + y - = c/ x + y2 = 8; y2 = 2x d/ y = - x ; y3 = x Trang 141 Tích phân Trần Só Tùng x e/ y = ÑS: a/ - x4 ; x = 0; x = ; b/ ; 4 c/ p + ; d/ 32 ; 15 e/ p 12 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = b/ y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e c/ y = e x ; y = e- x ; x = d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = - x e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = ÑS: a/ e2 - + 2; b/ e/ 24 + ; 25ln d/ (e - 1); 23 - e c/ e + - 2; Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x2 + 2x vaø y = x + 4; b/ y = - x + x + vaø 3x + 5y - = 0; c/ y = x vaø y = 0; x = 1; x = 2; x +1 d/ y = ln x ; y = 0; x = ÑS: a/ 26 ; b/ 55 ; c/ - ln ; vaø x = e e d/ - e Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = sin x + cos2 x, trục toạ độ vaø x = p; b/ y = sin x + sin x + 1, trục toạ độ x = p c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = p d/ y = x + sin x; y = p;x = 0; x = p p ÑS: a/ + ; b/ + 3p ; c/ 4; d/ p Bài 10 Diện tích giới hạn đường thẳng x = –1; x = 2; y = Parabol (P) 15 Tìm phương trình (P), biết (P) có đỉnh I(1 ; 2) ĐS: y = 3x - 6x + x + 2x - Baøi 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = , tiện cận xiên x+2 x = x = m > Tìm giới hạn dieọn tớch naứy m đ+ Ơ ổm+2ử ẹS: S = 3ln ỗ ữ ; lim S = +Ơ ố ứ m đ+Ơ Trang 142 Tran Sú Tuứng Baứi 12 Cho (H): y = Tích phân 2x x -1 a/ Chứng minh hình phẳng giới hạn (H), tiệm cận ngang đường thẳng x = a + 1; x = 2a + coù diện tích không phụ thuộc vào tham số a dương b/ Lập phương trình tiếp tuyến (d) (H) gốc toạ độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (H), (d) đường thẳng x = ĐS: a/ 2ln2; b/ 2ln3 Baøi 13 Cho Parabol (P) : y = x2 Hai điểm A B di động (P) cho AB = a/ Tìm tập hợp trung điểm I AB b/ Xác định vị trí A, B cho diện tích phần mặt phẳng giới hạn (P) cát tuyến AB đạt giá trị lớn ĐS: a/ y = x + ; + 4x b/ max S = 1; A( -1; 1);B(1; 1) ỉ1 Bài 14 ẹửụứng thaỳng (D) ủi qua ủieồm M ỗ ; 1÷ bán kính trục dương Ox, Oy lập è2 ø thành tam giác Xác định (D) để diện tích tam giác có giá trị nhỏ tính giá trị ĐS: (D) : y = -2x + Baøi 15 Cho Parabol (P): y = x2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I(1 ; 3) cho diện tích hình phẳng giới hạn (d) (P) đạt giá trị nhỏ ĐS: y = 2x + Bài 16 Trên Parabol (P) : y = x lấy hai điểm A(–1 ; 1) B(3 ; 3) Tìm điểm M » cung AB (P) cho tam giác MAB có diện tớch lụựn nhaỏt ổ1 1ử ẹS: M ỗ ; ữ è3 9ø Bài 17 Xét hình (H) giới hạn đường tròn (C): y = x + đường thẳng y = 0; x = 0; x = Tiếp tuyến điểm (C) cắt từ (H) hình thang có diện tích lớn ỉ1 5ư ĐS: max S = ; M ỗ ; ữ ố2 4ứ Trang 143 Tích phân Trần Só Tùng §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Chú ý: Khi tìm thể tích vật thể tròn xoay ta cần xác định: * Miền hình phẳng (H) sinh ((H) giới hạn đường: x = , x = , y = , y = ) * (H) quay quanh trục Ox trục Oy để ta dùng công thức thích hợp Nếu (H) quay quanh trục Ox hàm dấu tích phân y = f(x), biến x hai cận x Nếu (H) quay quanh trục Oy hàm dấu tích phân x = f(y), biến y hai cận y Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox tính công thức: b b V = pò y dx = pò [d(x)]2 dx a y a y (C) (H) a (C) b (H) a x b b x b Diện tích: S = ị f(x) dx Thể tích: V = pị [f(x)]2 dx a a Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C) :x = f(y), x = 0, y = a, y = b (a < b) sinh quay quanh trục Oy tính công thức: b b a a V = pò x dy = p ò [f(y)]2 dy y y b (C) b (C) (H) x 0 x a a b b Diện tích: S = ị f(y) dy Thể tích: V = pị [f(y)]2 dy a a Trang 144 Trần Só Tùng Tích phân Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C1 ) : y = f(x), (C2 ) : y = g(x), x = a, x = b (a < b) với f(x) g(x) dấu) sinh quay quanh trục Ox tính bởi: b V = pị f (x) - g (x) dx (3) a * f(x) g(x) dấu có nghóa hai phần đồ thị nằm phía trục Ox, với x Ỵ đoạn [a; b] * Để bỏ dấu “| |” công thức (3) ta ý trường hợp sau: y TH1: (C1 ) Ç (C2 ) = ặ vaứ f(x) > g(x) 0, "x ẻ [a; b]: b (C1) y (C2) (H) (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a a b a b x y TH2: (C1 ) Ç (C2 ) = Ỉ f(x) < g(x) £ 0, "x Ỵ [a; b]: b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx x (C2) y (C ) (H) a TH3: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có hoành độ y x = a, x = b d(x) > g(x) ³ 0, "x Ỵ [a; b]: A (H) B (C2) b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a TH4: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có hoành độ x = a f(x) < g(x) £ 0, "x Ỵ [a; b]: b (3) Û V = pị [f (x) - g (x)].dx a Trang 145 a b (C1) x y a b (C1) x A (H) B (C2) Tích phân Trần Só Tùng TH5: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B, C, xA = a y xB = b, xC = c với a < c < b hình bên: (3) Û V = V1 + V2 c B V1 A b a (C1) V2 C c = p ò [f (x) - g2 (x)]dx + pò [g2 (x) - f (x)]dx (C2) a c b x Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C1 ) : x = f(y), (C2 ) : x = g(y), y = a, y = b (a < b) với f(y) g(y) dấu) sinh quay quanh trục Oy tính bởi: b V = pị f (y) - g (x) dy (4) a y TH1: (C1 ) ầ (C ) =ặ vaứ x1 = f(y) > x = g(y) ³ 0, với y Ỵ [a; b] b C2 b x2 (4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy C1 (H) x1 a a y TH3: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có tung độ y A = a < yB = b vaø x1 = f(y) > x = g(y) ³ 0, x C2 C1 với y Ỵ [a; b] B b x2 b a (4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy (H) x1 A x a * Các TH2, TH4 TH5 thực tương tự vấn đề Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn (P) : y2 = 8x đường thẳng x = Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung Giải: a/ (P): y = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0) Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn (P) x = quanh trục Ox là: Trang 146 Trần Só Tùng Tích phân y V = p ò y dx = p ò 8x.dx = 16 p (ñvtt) (P) b/ (P) : y = 8x Û x = y Thể tích V khối quanh trục tung là: x 899 p ỉ1 ổ V = p ũ - ỗ y2 ữ du = p ũ ỗ 2 - y ÷ dy = = (đvtt) 64 ø 32 è8 ø -1 -4 è – x=2 Ví dụ 2: Gọi (H) hình phẳng giới hạn trục hoaønh vaø parabol (p) : y = 2x - x Tính thể tích khối tròn xoay cho (H) a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung Giải: a/ Thể tích V khối tròn xoay quay (H) quanh trục hoành là: 2 V = p ò y dx = pò (2x - x )2 dx = = 0 16 p (ñvtt) 15 y b/ (P) : y = 2x - x Û x - 2x + y = (1) D' = 1- y ³ Û £ y £ (P) x1 x2 (H) é x1 = - - y , (0 £ x1 £ 1) (1) Û ê ê x = + - y, (1 £ x £ 2) ë x Thể tích V khối tròn xoay quay (H) quanh trục tung là: 1 0 V = p ò (x - x )dy = pò (x + x1 )(x - x1 )dy = p ò 2(2 - y )dy = = 2 8p x2 + y = quay quanh trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: Giải: y x2 x2 2 (E) : + y = Û y = 1Û y=± - x , (| x |£ 2) 4 Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: V = p ị y dx = -2 p 8p ò2 (4 - x ).dx = = (ñvtt) 4- –2 –1 Ví dụ 4: Gọi (D) miền kín giới hạn đường: y = x, y = - x y = Tính thể tích vật thể tròn xoay quay (D) quanh trục Oy Giải: Trang 147 x Tích phân Trần Só Tùng · y = x Û x = x1 = · y = - x Û x = x = - y · Thể tích vật thể tròn xoay quay (D) quanh trục Oy là: y 1 V = p ò (x - x )dy = p ò [(2 - y)2 - (y )2 ] 2 0 y= x A x y = 2-x 32 p = (đvtt) 15 BÀI TẬP Bài 18 Tính vật thể tròn xoay sinh phép quay quanh trục Ox miền (D) giới hạn đường: a/ y = lnx; y = 0; x = b/ x + y - = 0; x + y - = c/ y = x ; y = x d/ y = x - 4x + 6; y = -x - 2x + e/ y = x(x - 1)2 f/ y = x.e x ; x = 1; y = (0 £ x £ 1) g/ y = e x ; y =- x + ; x = 0; x = h/ y = x ln(1 + x ); x = i/ (P) : y = x (x > 0), y = -3x + 10; y = (miền (D)) nằm (P)) p k/ y = cos x + sin x; y = 0; x = ; x = p 153p 3p ÑS: a/ p(ln - 1)2 ; b/ ; c/ ; 10 d/ 3p p e/ 105 g/ p(e2 - 1)2 ; h/ p (2 ln - 1) f/ p(e2 - 1) ; i/ 56 p k/ p2 Baøi 19 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x ; y = 1; y = b/ y = x ; x = y2 c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 3p 3p ÑS: a/ ; b/ ; c/ 24 p2 10 Bài 20 Xét hình (H) giới hạn đường cong y = ; trục Ox; x = x = t x a/ Tính diện tích S(t) (H) thể tích V(t) sinh (H) quay quanh Ox b/ Tính: lim S(t) lim V(t) t đ+Ơ t đ+Ơ Trang 148 Tran Sú Tuứng Tớch phân p ĐS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; t b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p t đ+Ơ t đ+Ơ Baứi 21 Cho miền (D) giới hạn đường tròn (C): x + y2 = vaø parabol (p): y2 = 2x a/ Tính diện tích S (D) b/ Tính thể tích V sinh (D) quay quanh Ox ĐS: a/ - p b/ 4p (8 - 7) Bài 22 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt tạo nên quay ủửụứng: ổxử a/ y = b ỗ ữ ốaứ 2/3 (0 £ x £ a) quanh truïc Ox b/ y = sin x; y = (0 £ x £ p) a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy x ổxử c/ y = b ỗ ữ ; y = b a èà a/ quanh trục Ox b/ Quanh truïc Oy d/ y = e - x ; y = (0 £ x < +¥) quanh trục Ox Oy ĐS: a/ pab ; p2 b/ a / Vx = ; b / Vy = p2 c/ a / Vx = pab ; 15 pab b / Vy = p d/ a / Vx = ; b / Vy = 2p Trang 149 Tích phân Trần Só Tùng ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: a/ 2 + x dx; x2 - dx; x b/ -2 c/ ò d/ x dx e/ ò ; (x + 1) g/ òe x f/ ; dx ò (1 + x )3 p/ ò ; x dx; cos2 x p/ sin x + cos x h/ ò dx; 3x + -p / cos xdx; i/ - x2 ò p/ x 2dx ò p cos2x.dx ò sin x + cos x + ; k/ p / 12 ò p / 12 (4 - 2); 1 e/ - + ln 2; 4 dx ; sin 2x + cos2 x + - p p ; c/ 3- ; d/ ; 3 p p/ 3p f/ + ln ; g/ (e - 1); h/ ; 2 16 i/ 2ln3 – 2; k/ ì-2)x + 1), x £ Tìm giá trị K để ị f(x).dx = Bài Biết f(x) = í ỵK(1 - x ), x > -1 ĐS: a/ b/ ĐS: K = Bài a/ Cho hàm số f(x) = e 2x ị t.ln t.dt Tìm hoành độ điểm cực đại x ex 2x sin t ỉ 3p b/ Tìm giá trị x ẻ ỗ 0; ủeồ haứm soỏ f(x) = ũ dt đạt cực đại ÷ è ø t x ÑS: a/ x = - ln b/ x = p x 2t + dt, - £ x £ t - 2t + Bài Cho hàm số f(x) = ị Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ỉ 1ư ĐS: a/ f = f ỗ - ữ ; b/ max f = f(1) è 2ø x Bài Cho hàm số f(x) = ị (t - 1)(t - 2)2 dt Tìm điểm cực trị điểm uốn đồ thị f Trang 150 Trần Só Tùng Tích phân 17 ư ổ 112 ổ ổ ẹS: CT : ỗ 1; - ữ ; ẹ.Uoỏn : ỗ 2; - ữ ; ỗ ; ữ ố 12 ứ ố ứ è 81 ø Bài Đường thẳng (D): x – 3y + = chia đường tròn (C) : x + y2 = thành phần, tính diện tích phần ĐS: S1 = 5p - ; S2 = 15p + Bài Xét hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C): y = ; y = ; x = 1; x = Tìm x toạ độ điểm M (C) mà tiếp tuyến M cắt từ (H) hình thang coự dieọn tớch lụựn nhaỏt ổ3 2ử ẹS: M ỗ ; ÷ è2 3ø Bài Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) pháp tuyến A (P) ((D) vuông góc với tiếp tuyến A với (P)) Định vị trí A để diện tích giới hạn đỉnh (P) (D) nhỏ ỉ1 1ư ỉ 1ử ẹS: S = ; A ỗ ; ữ hay A ỗ - ; ữ ố2 4ứ è 4ø ì x y2 =1 ï Bài Cho hình (H) giới hạn bởi: í16 ïx = ỵ Tính thể tích sinh (H) quay quanh Oy ĐS: 128p ìy = ax , a > Baøi 10 Cho hình (H) giới hạn bởi: í y = - bx, b > ỵ Quay hình (H) góc phần tư thứ hai hệ toạ độ quanh trục Ox Tìm hệ thức a b để thể tích khối tròn xoay sinh số, không phụ thuộc vào a b ĐS: b5 = K.a3, với K số dương Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x - 4x + , y = x + (Đề thi chung Bộ GDĐT–khối A_2002) 109 (đvdt) Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ĐS: x2 x2 y = 4và y = 4 (Đề thi chung Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Trang 151 Tích phân Trần Só Tùng ĐS: p + (đvdt) -3x - hai trục x -1 (Đề thi khối D_2002) Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = toạ độ ĐS: + ln (đvdt) Bài 14 Tính tích phân I = ị ĐS: p/2 ị ÑS: x x +4 (Ñeà thi khoái A_2003) ln Bài 15 Tính tích phân I = dx - 2sin x dx + sin 2x (Đề thi khoái B_2003) ln 2 Bài 16 Tính tích phân I = ị x - x dx (Đề thi khối D_2003) ĐS: Bài 17 Tính tích phân I = ĐS: x ị + x + dx (Đề thi khoái A_2004) 11 - ln Bài 18 Tính tích phân I = e ị ÑS: + ln x.ln x dx x (Đề thi khối B_2004) 116 135 Bài 19 Tính tích phân I = ị ln(x - x)dx (Đề thi khối D_2004) ĐS: 3ln3 – Trang 152 ... x) + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ị udv = uv - ị vdu Công thức tính tích phân phần: Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân phần... x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng... +1 (1) n -1 (t + k) = an Chú ý: Vì công thức (1) không trình bày phạm vi sách giáo khoa 12, em học sinh làm thi không phép sử dụng nó, trường hợp sử dụng công thức cồng kềnh khó nhớ cách xác,