Tài liệu Phần 2: Cơ học môi trường liên tục pdf

23 728 4
Tài liệu Phần 2: Cơ học môi trường liên tục pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHÁƯN II: CÅ HC MTLT CHỈÅNG I: MÄÜT SÄÚ KHẠI NIÃÛM CÅ BN. §1. TEN XÅ V CẠC PHẸP TÊNH XÅ. 1.Âënh nghéa: Ten xå l trỉåìng håüp riãng ca hãû thäúng pháưn tỉí, cạc thnh pháưn ca nọ l hàưng säú hồûc hm säú xạc âënh trong hãû cå såí â cho våïi phẹp biãún âäøi hãû ta âäü cạc thnh pháưn ny thay âäøi theo mäüt quy lût xạc âënh. Vê dủ: -Ten xå hảng 0: hm âäúi våïi cạc biãún trong khäng gian. ( n21 x, .,x,xF ) )()( Fx, .,x,xFX, .,X,XF n21n21 == (F l âải lỉåüng vä hỉåïng) -Ten xå hảng 1: Nãúu mäüt âäúi tỉåüng biãøu diãùn cạc vẹc tå cå såíú A r i E r l ten xå hảng 1. AEAA i i r r r →= Khi thay âäøi hãû ta âäü: ' ii EE rr → ta cọ: '' i j jj EAEAA rr r == , trong âọ liãn hãû ij AA &' ii j j' AbA =         ∂ ∂ = j i i j x X b Ta gi l cạc thnh pháưn phn biãún ca A ten xå hảng 1. i A -Ten xå hảng hai v hảng cao. Âäúi tỉåüng , khi thay âäøi hãû ta âäü ta cọ: ji ij EETT rr = l ten xå hảng 2. TTb.bT pqj q i p 'ij →= ij T : cạc thnh pháưn phn biãún. mlkji ijklm EEE.E.ETT rrrrr = →= m t l r k p j q i s sqprtijklm bbbbbTT T l ten xå hảng 5. 2.Pheùp bióỳn õọứi toỹa õọỹ & veùctồ cồ sồỳ. a)Pheùp bióỳn õọứi toỹa õọỹ. i x : bióỳn ồ le i X : bióỳn Lagrange () 321 ,, XXXxX ii = j i i j j j i i X x a,dX X x dx = = i j aJ = ởnh thổùc ma trỏỷn pheùp bióỳn õọứi Jacọbien Pheùp bióỳn õọứi ngổồỹc laỷi. j i i j j j i i x X bdx x X dX = = ; Trong õoù laỡ nghởch õaớo cuớa i j b i j a = = 0 1 x X . X x b.a i k k j j i j k i j Kyù hióỷu Crọnecke ki ki = b) ọỳi vồùi veùctồ cồ sồỳ: , ii E,E rr : i i x r E = r r ; i i dx.Erd r r = j' j j , j dx.Erd; x r E r r r r = = i ji , i a.EE r r = , i E r goỹi veùc tồ cồ sồỳ hióỷp bióỳn. = ji j,i E.Egg rr g laỡ ten xồ mótrờc ổa vaỡo veùc tồ cồ sồỳ mồùi trong i x j iji EgE rr = Coỡn trong i X q pqp EgE rr = ' Mọựi quan hóỷ nhổ sau i'p E&E rr ip i 'p EbE rr = caùc veùc tồ cồ sồỳ phaớn bióỳn i r c)Ten xồ họựn hồỹp. phaớn bión ji ij EETT rr = ij T ji ij EETT rr = hióỷp bión ij T →= j ij i EETT rr T l ten xå häùn håüp j i T 3)Cạc phẹp tênh ca ten xå a)Phẹp cäüng: Chè thỉûc hiãûn âỉåüc våïi cạc ten xå cng hảng cng báûc αβ βα AaaA jiij ' = () n,1j,i,, =βα αβ βα BaaB jiij ' = () εβαβ βα BAaaBA jiijij +=+ '' b)Nhán våïi mäüt vä hỉåïng () β α α β λ=λ AabjA j j' i c)Phẹp nhán x       n m A x         + + =         qn pm C q p B Trong âọ m,p chè láưn phn biãún cn n,q hiãûp biãún Vê dủ: αβ βα = AaaA ji ' ij γ γ BbB kk . ' ' = x x , ij A βα == ji, k, ij k' aaCB γ γ Bb k , våïi γ αβγ βα = C.b.a.aC k ,j,i, k, ij γ αβ γ αβ = BAC k,, ij k, ij B.AC = d) Phẹp cün. Nãúu trong mäüt ten xå häùn håüp khi cho mäüt chè säú trãn bàòng chè säú dỉåïi thç hảng ca tenxå gim âi hai. Cho tenxå A våïi cạc thnh pháưn , nãúu k=j ta cọ: k, ij A β αβ αγ αβγ αγ αβγ βα =δ== AaA.aAba.aA i k i k ,ki k, ik Ten xå hảng 1. → β αβ A Phẹp nhán cọ sỉû rụt gn (n-2) gi phẹp cün. CHỈÅNG II: CHUØN VË V BIÃÚN DẢNG. TEN XÅ BIÃÚN DẢNG. §1. CHUØN VË V BIÃÚN DẢNG 1.Chuøn vë. Xẹt mäitrỉåìng liãn tủc tải cọ dảng v tải t cọ dảng S 0t = 0 S 321321 XXX0&xxx0 l hai hãû ta âäü Âãư cạcvng gọc Xd:SQ,P 000 r ∈ Sau khi chuøn dëch v biãún dảng xd:PQ r → Tênh hiãûu: XdXdxd.xdXdxd 2 2 rr rr r r −=− kk i dx dx dX dX=− i Theo Lagrange: i i k k dX X x dx ∂ ∂ = ji j k i k 2 dXdX X x X x xd ∂ ∂ ∂ ∂ = r jiijii 2 dXdXdXdXXd δ== r Thay vo ta cọ: jiij j k i k 2 2 dXdX X x X x Xdxd ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ δ− ∂ ∂ ∂ ∂ =− r r jiij dXdXE2= Våïi ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ δ− ∂ ∂ ∂ ∂ = ij j k i k ij X x X x 2 1 E gi l ten xå biãún dảng hỉỵu hản Grin Theo Å le: jiij 2 dx.dxxd δ= r ji j k i k 2 dxdx x X x X Xd ∂ ∂ ∂ ∂ = r jiijji j k i k ij 2 2 dxdx.L2dx.dx x X x X Xdxd = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ −δ=− r r våïi ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ −δ= j k i k ijij x X x X 2 1 L gi l ten xå biãún dảng hỉỵu hản Amàngxi 2.Biãøu diãùn ten xå biãún dảng qua chuøn vë . Ta cọ vẹc tå chuøn vë ca pháưn tỉí : 0 P Xxu r rr −= hay iii Xxu −= Theo biãún Lagrange: ij j i j i ij j i j i X u X x X x X u δ+ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇒δ− ∂ ∂ = ∂ ∂ Cn theo Å le ta cọ: ij j i j i j i ij j i x u x X x X x u δ+ ∂ ∂ −= ∂ ∂ ⇒ ∂ ∂ −δ= ∂ ∂ Thãú vo ten xå ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ δ− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ δ+ ∂ ∂ = ij i k ij j k ij X u X u 2 1 E ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = j k i k i j j i X u X u X u X u 2 1 Ten xå ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = j k i k i j j i ij x u x u x u X u 2 1 L §2.TEN XÅ BIÃÚN DẢNG BẸ V TEN XÅ QUAY. 1.Ten xå biãún dảng bẹ . B quạ cạc säú hảng nh báûc cao âäúi våïi i k x u ∂ ∂ ta cn lải nhỉ sau: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ =ε→ i j j i ijij X u X u 2 1 E ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ =→ i j j i ijij x u x u 2 1 lL Gi l ten xå biãún dảng bẹ, âáy l ten xå âäúi xỉïng hảng 2: jiijjiij ll, =ε=ε 2.Ten xồ quay. udu rr + Ta coù vaỡ u r laỡ veùc tồ chuyóứn vở cuớa chuyóứn vở tổồng õọỳi giổợa laỡ: 00 Q&P 00 P&Q 00 PQ uuud rrr = iPiQi uudu 00 = Khai trióứn () jijijj i j j i i j j i j j i i dXdX X u X u 2 1 X u X u 2 1 dX X u du += + + = = = i j j i ij X u X u 2 1 goỹi laỡ ten xồ quay Lagrange Coỡn õọỳi vồùi bióỳn le: = i j j i ij x u x u 2 1 ~ goỹi laỡ ten xồ quay le Ten xồ quay laỡ ten xồ phaớn õọỳi xổùng. jiijjiij ~~ ; == Nón coù thóứù vióỳt dổồùi daỷng ma trỏỷn = 0 0 0 2313 2312 1312 ij Trong õoù: 32 123 23 u1u 2X X = = == 1 3 3 1 132 X u X u 2 1 == 2 1 1 2 212 X u X u 2 1 Hay: urot rr 2 1 = Trong trổồỡng hồỹp chuyóứn vở beù thỗ toỹa õọỹ õỏửu vaỡ cuọỳi cuớa mọỹt phỏửn tổớ rỏỳt gỏửn nhau nón gradien chuyóứn vở theo Lagrange vaỡ le gỏửn bũng nhau. nón vaỡ ijij l= ijij ~ = Ta thổồỡng duỡng bióỳn daỷng beù õi nghión cổùu vỏỷt rừn bióỳn daỷng. 3.Yẽ nghộa vỏỷt lyù cuớa ten xồ bióỳn daỷng beù vaỡ ten xồ quay . a)Ten xồ bióỳn daỷng nhoớ. 3 3 33 2 2 22 1 1 11 X u ; X u ; X u = = = Thaỡnh phỏửn X Xx 1 X x 1 X x X u 2 2 2 2 22 = = = = goỹi : phỏn tọỳ thúng truỡng truỷc Vỏỷy chờnh laỡ 00 QPX = 2 X 22 bióỳn daỷng daỡi tố õọỳicuớa phỏn tọỳ theo 2 X tổồng tổỷ : hay bióỳn daỷng daỡi tố õọỳi vồùi truỷc 332211 ,, ii i X Caùc thaỡnh phỏửn khọng nũm trón õổồỡng cheùo + = 3 2 2 3 32 X u X u 2 1 === = tg 'PQ Q'Q x u X u 2 3 2 3 === = tg 'PM M'M x u X u 3 2 3 2 Nón () 3232 2 1 2 1 =+= ij goỹi gocù trổồỹt trón mỷt phúng ji XX0 nón goỹi bióỳn daỷng trổồỹt. ( ji ij ) b)Ten xå quay () βαβαω 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 2 3 32 −=−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = X u X u α : gọc quay phán täú 00 QP : gọc quay phán täú β 00 MP do âọ α 2 1 gọc quay âỉåìng chẹo ca phán täú quanh trủc khi quay gọc . 0 P 0 B 0000 MBQP 1 X 00 QP Cn β 2 1 gọc quay ngỉåüc lải ca âỉåìng chẹo quanh trủc khi quay gọc β . 100000 MBQPBP ∈ 1 X 00 MP Nhỉ váûy 32 ω biãøu thë sỉû quay cạc âỉåìng chẹo cng gọc quay ca phán täú quanh trủc 00 BP 0000 MBQP 1 X Ta cọ iiPiQ duuu 00 += ( ) ( ) j P ijj P ijiP dxdxu 00 0 ωε ++= hay ωε ++= uuuu 00 PQ rrrr Trong âọ ω ω rr =u ud r ∧ §3TRẢNG THẠI BIÃÚN DẢNG TẢI LÁN CÁÛN TẢI MÄÜT ÂIÃØM. Trảng thại biãún dảng tải 1 âiãøm ca MTLT âỉåüc biãøu thë bàòng mäüt ten xå hảng hai âäúi xỉïng ij ε 1.Quy lût biãún âäøi khi thay âäøi hãû ta âäü. Âäúi våïi hãû ta âäü Âãư cạc ngỉåìi ta cọ cäng thỉïc biãún âäøi. mnjnimij aa ε=ε ijnjmimn bb ε=ε våúi , cn ( j ' iij X,xcosa = ) jiij ab = ọỳi vồùi hóỷ toỹa õọỹ cong: j b j a i i j i i j = = ' , ' 2.Bióỳn daỷng chờnh, phổồng chờnh, Bỏỳt bióỳn cuớa traỷng thaùi bióỳn daỷng. Taỷi mọỹt õióứm cuớa MTLT traỷng thaùi bióỳn daỷng õổồỹc õỷc trổng bồới ten xồ bióỳn daỷng thỗ bao giồỡ ta cuợng coù thóứ xaùc õởnh õổồỹc taỷi õióứm õoù coù 3 phổồng vuọng goùc vồùi nhau chố coù bióỳn daỷng daỡi kyù hióỷu ij ( IIIIIIIIIIII ,, ) >> . Caùc giaù trở laỡ bióỳn daỷng daỡi cổỷc trở goỹi laỡ bióỳn daỷng chờnh. IIIIII ,, Coỡn phổồng caùc bióỳn daỷng chờnh goỹi phổồng chờnh trón caùc mỷt phúng vuọng goùc phổồng chờnh khọng coù bióỳn daỷng trổồỹt. Bióỳn daỷng chờnh laỡ nghióỷm cuớa phổồng trỗnh sau: () () () 0 3 3 2 23 1 =+ : bỏỳt bióỳn cuớa ten xồ bióỳn daỷng vồùi. 321 ,, 332211ii1 ++== () 1131 1333 3323 3222 2212 2111 ijijjjij2 2 1 + + == 332313 322212 312111 3 = =++= = , dV dVdV 332211 0 0 õọỹ bióỳn õọứi tố õọỳi thóứ tờnh Thay vaỡo phổồng trỗnh: () () () () () () () =++ =++ =++ 0nnn 0nnn 0nnn 333223113 332222112 331221111 Vồùi caùc phổồng chờnh. 321 2 3 2 2 2 1 nn,n1nnn =++ 3.Ten xå cáưu v lãûch biãún dảng. trong âọ gi l ten xå cáưu ' ij ' ijij ε+ε=ε ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε ε ε =ε 00 00 00 ' ij Våïi () 332211 3 1 ε+ε+ε=ε . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε−εεε εε−εε εεε−ε =ε 332313 322212 312111 " ij §4.PHỈÅNG TRÇNH TỈÅNG THÊCH BIÃÚN DẢNG. 6 thnh pháưn ca ten xå biãún dảng bẹï âỉåüc xạc âënh 3 thnh pháưn u i chụng phủ thüc vo nhau. Sỉû phủ thüc ny bo âm cho cạc biãún dảng tỉång thêch våïi nhau (vç MTLT sau khi biãún dảng váùn cn LT). Âãø bo âm tênh liãn tủc ta phi loải b cạc thnh pháưn u i âỉåüc quan hãû giỉỵa cạc âảo hm ca cạc thnh pháưn ten xå. Tỉì âáy ta nháûn âỉåüc 6 phỉång trçnh âäüc láûp . −=−= jkikiủkjikij uuu ,,,, ( 2 1 )( 2 1 ω ủ j,i k ) () ik,jij,kij,kjk,i uuuu 2 1 −−−= i,jkj,ik ε−ε= Cho tçm theo trãn ta cáưn tçm ij ε i u ij ω Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø ( ) ii,jkj,ik dxε −ε cọ vi phán ton pháưn. M cọ vi phán ton pháưn, khi nãn ii dxA i,mm,i AA = 0 jk,imim,jkik,jmjm,ik =ε −ε−ε+ε [...]... ∂n2 ∂τ n = 0; ∂n 1 [ [ ] 2 ] ] 2 − σ III − 2 (σ I − σ III )n1 + (σ III − σ III )n 2 } 1 = 0 I 2 n 2 2 n II − σ III − 2 (σ I − σ III )n 1 + (σ II − σ III )n 2 } 2 = 0 Xẹt trỉåìng håüp 1: Xẹt trỉåìng håüp 2: n1 ≠ 0; n 2 = 0 n1 = 0; n 2 ≠ 0 1 ; n 2 = 0; n 3 = ± ⇒ n1 = ± Trỉìång håüp 1û 2 1 ⇒ n 1 = 0; n 2 = ± ; n3 = ± Trỉìång håüp 2 2 Tỉång tỉû n1 = ± τI = ± 1 2 1 2 1 1 ; n3 = 0 ; n2 = 2 2 σ II − σ III 2 . ijij x u x u 2 1 lL Gi l ten xå biãún dảng bẹ, âáy l ten xå âäúi xỉïng hảng 2: jiijjiij ll, =ε=ε 2.Ten xồ quay. udu rr + Ta coù vaỡ u r laỡ veùc tồ chuyóứn. =σ−σ+σ−σ−σ−σ =σ−σ+σ−σ−σ−σ ⇒ Xẹt trỉåìng håüp 1: 0n;0n 21 =≠ Xẹt trỉåìng håüp 2: 0n;0n 21 ≠= Trỉìång håüp 1û 2 1 n;0n; 2 1 n 321 ±==±=⇒ Trỉìång håüp 2 2 1

Ngày đăng: 15/12/2013, 14:15

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan