LỜI NĨI ĐẦU Trước đây, Tuyển tập 30 năm Tốn học Tuổi trẻ mắt bạn đọc độc giả nước nồng nhiệt đón nhận Do khuôn khổ sách, Tuyển tập 30 năm in từ năm 1964 năm 1991 Nhiều bạn đọc có nguyện vọng đọc sau Vì vậy, chúng tơi xuất tiếp Tuyển tập năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Cuốn sách tập hợp viết toán Toán học Tuổi trẻ từ cuối năm 1991 đến năm 1995, Sách chia làm hai phần Phần thứ viết chọn lọc xếp theo chủ đề Phần thứ hai tốn xếp theo phân mơn : Số học, Giải tích Đại số, Hình học - Lượng giác Cuốn sách dùng làm tài liệu tham khảo cho thầy, giáo tốn, bạn học sinh u tốn, cán đạo chun mơn Sở, Phịng Giáo dục u thích Tốn học Chúng tơi hi vọng sách tham khảo bổ ích cho trường trung học Tốn học.và Tuổi trể cịn đáp ứng nhu cầu bạn đọc với tuyển chọn viết đề toán năm Tuyển tập năm tạp chí Tốn học Tuổi trể mắt bạn đọc kỉ niệm 40 năm tạp chí Toán học Tuổi trẻ Hi vọng Tuyển tập bạn đọc gần xa đón nhận Sách cịn thiếu sót Mong bạn đọc cho sai sót để lần tái sau tốt Mọi thư từ góp ý xin gửi địa : Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ 187B Giảng Võ HÀ NỘI TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ Phần thứ TUYỂN CHỌN CÁC BÀI VIẾT Chuong I | DANH CHO TRUNG HOC CG SG VỚI KIẾN THỨC VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC Ở LỚP 8, HÃY THỬ TẬP TÌM TỊI SÁNG TẠO NGUYỄN KHÁNH NGUYÊN THCS Hồng Bàng - Hải Phịng khơng thoả ˆ Ở lớp học tỉ số lượng giác góc nhọn Những bạn yêu toán hết nên mãn với kiến thức ỏi Chờ lên lớp học được, tốt thử sức chút, cố gắng dùng óc bạn để tìm tịi suy Khi biết tỉ số lượng giác góc nhọn z dĩ nhiên người ta muốn từ z ; điều tỉ số lượng giác góc gần gũi với a Trước hết góc phụ với z : 90° — giảng cho biết Góc bù với z chang ? Nhung a nhọn nên 180° — a lại tù Sự gị bó thúc đẩy ta muốn mở rộng tỉ số lượng giác cho góc tù Vấn đề tạm để xin tận dụng hiểu biết tỉ số lượng giác góc nhọn Vậy ngồi góc 90° — a, cịn góc đáng ý ? Góc 2a chẳng hạn (với điều kiện a < 45” để 2a nhọn) Ta thử xem : lẽ tự nhiên ta dựng góc¿ góc 2a vị trí thuận lợi cho việc nghiên cứu dựng góc 2a dùng phân giác chia thành hai góc, góc ø (h.1) Để có tỉ số lượng gidc cia a, ta dung đường vuông góc với phân giác có tam giác cân ABC (h.1) Để có tỉ số lượng giác 2z ta dựng BK AC Để cho tiện ta chọn 4B (hoặc AC) làm đơn vi dai Thé thi sina = HC, cosa = Hinh AH, sin2a =BK, cos2a = AK V&n dé 1a tìm mối quan hệ dang AHC va BKC bén 1a HC, HA va mot bén 1a BK, AK Ta ý đến hai tam giác vuông đồng AH _HC_ AC BK KC BC từ : , (*) , BK.AC = AH.BC hay hay BK.1 = AH.2HC sin2a = 2sinacosa (1) Ciing tir (*) suy ra: HC.BC = KC.AC hay HC.2HC = (1- AK).1 hay 2sin2a = — cos2a " (2) Thay sin2z — cos?z (thay hai thay một) ta cịn viết (2) dạng : ‘cos2a =2cos* a-1 (2') cos2a = cos’ a—sin’ a (2") Có sin2a cos2a tính tg2a : 2sinacosa ———-_ cos đ—§11 đ đem chia tử số mẫu số vế sau cho cos”a, ta : tg2g=——= Các thật, (2), (3) nhiên @) bạn thấy khơng Lịng ham muốn đây, mặt tốn khơng Dĩ nhiên phải khuếch trương tính tỉ số lượng giác tự tìm tịi quan trọng Khi có lịng ham có khó khăn đáng kể mà ba chiến (1), chiến Tính tỉ số lượng giác 2z dĩ 4a, 8a 2"a (miễn n ø phải cho 2a < 90°)" Mot-huéng ngược lại tính tỉ số lượng giác góc s — dụ, công thức (2') cho ta : Ví | cos30° = 2cos*15° — hay cos? 155 = LÝ ©0530 o B il+— =—Ừ _2t⁄3 Vay cos15° -wt Để khuếch trương chiến quả, tư phải động Chỉ đường ngay, mực thẳng : gấp 2, gấp 4, gấp 8, , chia đơi, chia 4, chia chưa ăn thua Chẳng hạn gấp đơi dính với gấp ba, gấp năm = + ; = 2.2 +1 Mà hai góc phụ cộng với 90° Do đó, ta nghĩ dén 2a + a = 90° (trường hợp khơng cho ta có a = 30”), 4a = a = 90° titc a = 18° =— , 4a = 72°= 2.36° ; áp dụng công thức (1) (2), ta đến phương trình : 8x? 8x? +x+1=0 (x= cos36°) | (4 (*) Sự hạn chế làm cho muốn mở rộng tỉ số lượng giác khơng cho góc tù mà cịn rộng Nhưng lại đẻ tài khác: Đừng thấy phương trình bậc mà hoảng sợ Hãy bình tĩnh nghiên cứu vế thứ (4) : 8x22 ~1)+x+1=(Œx+D{8x2(~1)+ HÏ Vậy (4) có nghiệm x, = -— Ba nghiệm lại nghiệm phương trình bậc ba : 8x?(x?~1)+1=0 hay 8x? —8x7 +1=0 Cũng đừng thấy bậc ba mà hoảng Vế đầu viết (2#)`-2(2x) +1=0 Dat 2x = X, ta c6 phương trình X? - 2X+ = có nghiệm rõ rệt X = Vậy phương trình bậc ba có nghiệm x; => Biét duoc hai nghiém x, = -1 va Xo => (4), ta tính dễ dàng hai nghiệm lại : x= LOỂ, nS X, -1o35 cos60° Vay Chi cé x, va x; 1a duong ; nhung cos36° = +5 Se Cách giải dài, giải (4) điều lí thú Ta nghĩ xem có cách tìm cos36° gọn khơng Vì góc 36° xuất cách tự nhiên nên ta nghĩ phản ánh tự nhiên tam giác Ta thử dựng tam giác cân ABC có gốc đỉnh A 36” (h.2) góc đáy 72° Vì 72 = 2.36 nên ta dựng phân giác CD góc C Để đưa tỉ số lượng giác vào ta kẻ thêm đường cao CH Bạn phát nhiều quan hệ đặc biệt góc đoạn thẳng giúp bạn tính dé dang cos36° = 1+45 47 Nhu vay, cách giải phương trình (4) hình học Ta lại tiếp tục tiến cơng : 36° góc phụ 54° ma 54° gap d6i 27° va gap ba 18” vv Những mối quan hệ đặc biệt gợi mở nhiều suy nghĩ Chẳng hạn, ta đựng tam giác ABC (h.3) cân, có góc đáy 36° góc đỉnh 108° = 2.54° Những mối quan hệ đặc biệt hình cho ta cách chứng minh hình học đơn giản cos36° > tg36°, điều mà ta kiểm tra lại tính tốn lượng giác Đến chưa phải hết xin tạm dừng kết luận : từ định nghĩa đơn giản tỉ số lượng giác góc nhọn, cần có lịng ham tìm tịi óc bạn lơi nhiều kiến thức mà trước bạn chưa biết, giống nhà ảo thuật lôi từ nắm tay thứ Các bạn tập làm nhà ảo thuật B - A I ae A S€ / E F OD Hình > c THU MG RONG MOT BAI TOAN QUEN THUOC VŨ QUỐC LƯƠNG THCS Chu Văn An, Hà Nội Các bạn trẻ thân mến ! Chắc bạn gặp toán hay sau : Cho tam giác đêu BAC, M điểm tuỳ ý tam giác Gọi MH,, MH;, MH; khoảng cách từ M tới cạnh tam giác Chứng minh MH, + MH; + MH; = k (*) k số khơng phụ thuộc điểm M Chứng minh (xem hình 1) Ta có SAnực T SAAwc + Sasa = Sapac => a a S(MH, + MH, | +MH,)= Lời giải tốn khơng q khó khăn, "băn khoăn BH C mới” đến với cách tự nhiên sau giải xong tốn : liệu có cịn đa giác có tính chất (*) kì lạ khơng ? Để nghiên cứu tốn tổng qt, ta đưa định nghĩa sau : Định nghĩa : Đa giác lôi A,, A; A„ gọi đa giác số tổng khoảng cách từ điểm M nằm miền đa giác tới cạnh số khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Vấn đề đặt : "dấu hiệu" để nhận biết đa giác cho trước có phải đa giác số hay khơng ? Ai Phan tích lời giải trên, ta thấy cách giải hồn tồn áp dụng cho đa giác lồi có tất cạnh An Nói cách khác đa giác lồi có tất cạnh (đương Ah nhiên đa giác lồi đều) đa giác số Đến ta đưa giả thuyết : phải chăng, đa giác số đa giác có tất cạnh tất góc ? Thế Ai hình bình hành tứ giác số (bạn đọc dễ lạ Th d HH Hình Ay J AD Aa dàng kiểm tra lại) mà không thoả mãn điều kiện điêu kiện Vậy vấn đề chỗ ? Ta có nhận xét quan trọng sau : Nếu đa giắc A, A; A, đa giác số ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đa giác, chang han A’,A’, (xem hình 2), đa giác thu : Á',Á2A z A,, lồi, đa giác số Thật MH, i=l va > MH !,, sai khác số b (bằng khoảng cách hai inl : đường thẳng song song A,4; A A2) Do A,4;4; A„ đa giác số, A,A';4; „ đa giác số Từ nhận xét này, ta dé dang chứng minh định lí sau : Định lí : Nếu hai đa giác lơi có cạnh tương ứng song song thi ching cing la da giác số khơng Từ định lí 1, ta thu kết tổng quát sau đây: Định lí : Nếu hai đa giác giác lơi có góc tương ứng chúng đa giác số khơng Đến khẳng định : Điều kiện tất cạnh tất góc điều kiện đủ mà không cần để đa giác lôi đa giác số (Chú ý : Hình bình hành phản ví dụ cho trường hợp tứ giác mà chưa thể phản ví dụ cho trường hợp tổng quát được) Những điều kiện đủ không làm thoả: mãn; cần cố gắng tìm điều kiện cần đủ để đa giác lồi đa giác số Mỗi lao vào vấn đề mới, ta phải nhìn lại tồn vấn đề biết, xuất phát từ nhận xét đơn giản, rời rạc để kết luận tổng quát Ta xuất phát từ nhận xét đơn giản sau : Nếu M, M“ điểm nằm đa giác lồi A;4; A„„ M” trung điểm đoạn > MH, +m H, , MM SM"H; =#———=——— Vậy tổng > MH, = fel ym ` H, =k thiténg >M"H, - #=l =k Ta hi vọng > MH, = ym H, =k điểm i=l M" nam trén đường thẳng MM’ đếu có tính chất vậy, nghĩa là: iM "H, =k Điều i=l chứng minh nhờ định lí Talét Chú ý : Đối với điểm Ä⁄” e MM” nằm ngồi đa giác khoảng cách từ M” tới cạnh đa giác cần "mở rộng" thành độ dài đại số mà dấu xác định sau : Mỗi cạnh đa giác kéo dài chia mặt phẳng thành hai miền Khoảng cách từ M” tới cạnh dương hay âm tuỳ theo M” cing phía hay khác phía so với miền đa giác Với "mở rộng" này, ta khơng cần gị bó điểm M phải nằm miễn đa giác Từ nhận xét ta tiến đến kết đẹp sau : Định lí : Điều kiện cần đủ để đa giác đa giác số có ba điểm khơng thẳng hàng, mà tổng khoảng cách từ điểm tới cạnh đa giác Điều kiện cần hiển nhiên Điều kiện đủ xin dành cho bạn đọc chứng minh dựa vào nhận Xét Định lí phản ánh mối liên hệ sâu sắc toàn điểm mặt phẳng với điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng chứa đa giác số, đồng thời cho ta phương pháp kiểm tra xem đa giác cho trước có phải đa giác số hay không Cuối tác giả lưu ý : hình 1, ta cịn có kết : BH, + CH; + AH; = số Điều tổng qt hố ? Đó vấn đề mà bạn bắt tay nghiên cứu Chúc bạn thành công học tập, nghiên cứu 10 Tim CAC CHU SO TAN CUNG CUA MOT SO NGUYEN VŨ THANH Cao đẳng sư phạm Tiên Giang Tìm một, hai, ba chữ số tận số tìm dư phép chia số cho 10, 100 1000 Nhưng khảo sát chữ số tận số, có phương pháp đặc biệt lí thú 1.Tìm chữ số tận a" — Nếu z tận O0; ; ; a” tận O; ; ; — Nếu ø tận ; ; ? Dùng kí hiệu a = b (mod) để chi a ~ b chia hét cho m, ta có :: = 16 = (mod 10) 3“ = 8l! = (mod 10) 7# = 49”' = (mod 10) Do để tìm chữ số tận a" (với a tận ; ; 7) ta lấy số mũ ø chia cho Giả sử n = 4k + rír =0; 1; 2; 3) + Nếu a = (mod 10) a"= 2" = 2= 6.2' (mod 10) + Nếu a=3 ; (mod 10) 4” = atta al (mod 10) Thí dụ : Tìm chữ số tận 1992! Giải : Ta có 1992!” = 2'3 (mod 10) Ma _ 1993=4.498+1dođó 2!” = (2°%*.2 =2 (mod 10) Vậy chữ số tận 19921” 2 Tìm hai chữ số tan cing cia a” Giả sử a có chữ số tận x:0 < x < Theo nhị thức, Niuton, ta có: đ” = (10k + x)”= (10k) + 20 (10x + 20(10k)x'? + x??= x” (mod 100) | Vậy hai chữ số tận z” hai chữ số tận x” Nhận xét: ae = 76 (mod 100); 6°= 76 (mod 100) ® = (mod 100); 7* = (mod 100) Dung quy ” ta có: 76”= 76 (mod 100) = 25 (mod 100) (m> 2) Từ Suy VỚI mỌi 7n > Ì : a = (mod 100) néu a = (mod 10) a@™ = (mod 100) a = l ; ; ; (mod 10) a" = 25 (mod 100) néu a = (mod 10) a = 76 (mod 100) néu a = 2; 4; 6; (mod 10) 11 Vay để tìm hai chữ số tận đ” ta tìm dư phép chia số mũ ø cho 20 Thí dụ : Tìm hai chữ số tận 2?” (có 1992 số 2) Viải : Đặt a„= 2?” (có n số 2) Ta có : a= jog, = 41991 Ta tim du phép chia ajo, cho 20 Ta có địa, S22 ` =2099 = 2,22%”!= 2,2? —2(101 +8) =20/ + 16 Œc2) Do đisạ; = 2”"* ! = 215 76 = 36 (mod 100) Tìm ba chữ số tận a" Giả sử n = 100k +r,0