www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An Hướng dẫn giải bài tập Bài1: Nhận xét 6a; 2-a; a-1; -a không đồng thời bằng 0 Câu a: Tính D; Dx;Dy Biện luận • a≠-1 và 2 5 hệ có 1nghiệm duy nhất: x = (4) (1)(25) a aa −+ +− ; y= 3(1 3 ) (1)(25) a aa + +− a=-1 ⇒ D=0; Dx ≠ 0 Hệ vô nghiệm a≠ 2 5 (6 ) 3 2x ya y− =− Câu b: (x,y) là nghiệm của hệ ⇒ ()2x ya x− =+ ⇒ 632 2 x yy x yx −− = −+ đpcm. Bài2: ax+y=0 Câu a: hệ có dạng 2 x ay c c+=+ Tính D= 2 1a − ; Dx= 2 () cc−+;Dy= 2 () ac c+ Biện luận: 22 22 () 1; 11 cc acc axy aa ++ ≠± ⇒ = −− x tuỳ ý 1a = và c=0 hoặc 1c =− hệ có vô số nghiệm yx= − x tuỳ ý 1a =− và c=0 hoặc 1c =− hệ có vô số nghiệm yx= 1a =± và 0c ≠ và 1c ≠− hệ vô nghiệm Câu b: Nếu 1a ≠± ⇒ hệ luôn có nghiệm duy nhất không phụ thuộc b Nếu a=1 ⇒ hệ có nghiệm ⇔ Dx=Dy=0 ⇔ 2 0ccb+−= có nghiệm c 14 0b⇔ ∆= + ≥ 1 4 b ≥− www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An Nếu 1a =− ⇒ hệ có nghiệm ⇔ Dx=Dy=0 2 1 0140 4 ccb b b⇔++=⇔∆=−≥⇒≤ Kết hợp các trường hợp ta có với 11 44 b− ≤≤ thì với a∀ luôn tìm được c để hệ có nghiệm 3. Bài 3: • Thế ymx=− vào phương trình (2) được: 2 2( 1) 2 mx m+ =+ (3) • 1m =− ⇒ (3) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm • 1m ≠− ⇒ (3) có nghiệm duy nhất 2 2 2( 1) m x m + = + 2 22 2( 1) mm y m +− = + 4. Bài 4: • Từ (1) 2(1) yax⇒= − + thế vào (2) được f(a) 22 22(21)3640 xaxaa−−+−+= (3) có nghiệm '2 2 28702 2 aa⇔∆ =− + − ≥ ⇔ − • Có () () 2 22 2 13 32 () 22 xyxyxy aafa  =+−+=−+=  1 2 - 2 2 2 2 2 • ()f a có a đ =1 nên trên khoảng 22 22 22 a+− ≤ ≤ + hàm đồng biến ⇒ min 2 () (2 ) 2 fa f=− Kết luận với 2 2 2 a =− thì xy min. vấn đề 2: hệ phương trình bậc hai hai ẩn Một số loại hệ phương trình bậc hai hai ẩn thường gặp và cách giải chúng. Hệ phương trình đối xứng loại 1: là hệ phương trình có tính chất từng phương trình không thay đổi khi ta thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x. Cách giải loại nay: ta có thể giải bằng phương pháp chung như: bằng phương pháp thế…Ngoài ra còn phương pháp riêng là đặt x y+ = S; xy = P với điều kiện x yS+= S 2 ≥ 4P(khi đó hệ mới có nghiệm x,y) xyP= Xét một số ví dụ: x yxym+ += 1. Ví dụ 1: cho hệ phương trình (I) 22 x ym+ = a.Giải hệ khi m=5 b. Tìm m để hệ có nghiệm www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An Giải: x ys+= Đặt 22 x yP+= SPm+= PmS= − ⇒ hệ trở thành: ⇔ (*) 2 2 SPm−= 2 23 0 SSm+ −= Câu a: Khi m=5 5 S = − Phương trình (*) trở thành: 2 S2150 S+ −=⇔ 3 S = Với 510SP=− ⇒ = không thoả mãn điều kiện 2 4 SP≥ nên loại trường hợp này Với 32SP=⇒ = không thoả mãn điều kiện 2 4 SP≥ 3xy+= ⇒ ⇒ x,y là nghiệm của pt: 2 320 XX− += 3 xy = 1 x = thì 2 y = ⇒ 12 1; 2X = ⇒ 2 x = thì 1y = ⇒ hệ có 2 nghiệm. Câu b: hệ (I) có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm thoả mãn điều kiện 2 4 SP≥ ' 13 0 m∆= + ≥ ⇔ ⇒ 1 3 m ≥− 2 4 SP≥ Phương trình (*) cho các nghiệm: 1 113Sm=− − + ; 2 113Sm=− + + • Nếu 1 113Sm=− − + ⇒ 1 1113Pm m=++ + . Kiểm tra điều kiện: 2 4SP≥ ta thấy: ()() 2 113 4 113mm m−− + ≥ ++ + ⇔ ( ) 2213mm−+≥ + vô nghiệm do 1 2 3 mm≥− ⇒ >− ( ) 20 2 0mm⇒+>⇒− + < • Nếu ( ) 222 113 113SmPmSmm=− + + ⇒ = − = + − + . Kiểm tra điều kiện 2 4 SP≥ ⇒ ()() 2 2 113 4 113 213 2 8 0 0 8mm m mmmm m−+ + ≥ +− + ⇔ + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ K ết hợp điều kiện 1 08 3 mm≥− ⇒ ≤ ≤ là giá trị cần tìm 2. Ví dụ 2: Cho hệ phương trình ( ) 22 21x ya+ =+ www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An () 2 4xy+ = a.Giải hệ khi a=1 b. Tìm các giá trị a để hệ có đúng hai nghiệm. Giải: Câu a: ( ) 22 21x ya+ =+ x+y= 2± Khi a=1 hệ trở thành ⇔ ⇒ ( ) 22 4xy+ = 0xy = ⇒ Hệ có các nghiệm: ()( ) ( ) ( ) 0, 2 ; 0, 2 ; 2,0 ; 2,0−− Câu b: Nhận xét thấy rằng nếu ( ) 00 ,x y là nghiệm của hệ thì ( ) 0 ,; o x y−− () 00 ,yx− cũng là nghiệm của hệ; lại thấy nếu ( ) 00 ,x y ( ) 00 ,x y≡− − ⇒ 0 20x = và 0 20y = 00 0xy⇒== nhưng ( ) 0, 0 không là nghiệm của hệ. Vậy hệ có 2 nghiệm thì () 00 ,x y () 0 , o yx≡ và ()( ) 00 00 ,,x yyx−− ≡−− điều này xảy ra khi 00 x y= . Hệ trở thành () 2 0 221x a=+ 0a = ⇔ 2 0 4x 4= 2 0 1x = ngược lại 0a = hệ có dạng 22 2xy+ = ⇔ () 2 4xy+ = 2 xy+=± x= 1± x=1 ⇔ ⇔ ⇒ Hệ có hai nghiệm 1xy = 1y = ± y=1 1x =− 1y =− Kết luận với a=0 hệ chỉ có 2 nghiệm B. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ pt khi thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại. Đối với hệ pt này ngoài cách giải thông thường còn có cách giải riêng bằng cách xét pt hiệu của pt trong hệ. ta xét một số ví dụ sau: 1.Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ sau: 2 10xay−+= (1) 2 ax+1=0y − (2) www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An Giải: lấy pt (1) trừ pt (2) ta có: ( ) ( )( ) 22 00xyaxy xyxya− +−=⇔− ++=⇔ x y= ⇔ yxa=− − • Trường hợp 1:y=x ⇒ thế vào (1): 2 x ax+1=0− pt có nghiệm ⇔ 2 40a∆= − ≥ ⇔ IaI 2 ≥ và nghiệm: 2 1,2 1,2 4 2 aa x y ±− == • Trường hợp 2: yxa=− − thế vào (1) ta có: 22 xax+a10 + += có 2 340 a∆=− − < vô nghiệm • Kết luận: - Với IaI<2 hệ vô nghiệm - Với IaI 2 ≥ hệ có nghiệm 2 4 2 aa xy + − == và 2 4 2 aa xy − − == 2. Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 23 2 4ax yx x=− + (1) 23 2 4 x yyay=− + (2) Giải:- Điều kiện cần: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ suy ra (y,x) cũng là nghiệm của hệ; do đó để hệ nghiệm duy nhất thì y=x thế vào pt (1) ta có: 0x = () 23 2 2 x4axxx50 xx xa=− +⇔ −+=⇔ 2 50xxa− += Để hệ có nghiệm duy nhất thì pt 2 50 xxa− += hoặc vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép bằng 0 25 4 0 a⇔∆= − < 25 4 a⇔> (trường hợp nghiệm kép bằng o không xảy ra vì 5 0 22 b a −=≠ ) -Điều kiện đủ: Với 25 4 a > hệ đã cho tương đương hệ sau: 23 2 4ax yx x=− + (1) () ( ) 22 33 0 xyx xy y ya  −+−+−+=  (*) x=y (*) ⇔ () 22 330xxy y ya+−+−+= có: () () 2 22 34 3 3 6490 x yyyayya∆= − − − + =− + − − < www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An với y∀ vì: () ' 9 3 4 9 36 12 0 y aa δ =− + = − < với mọi 25 4 a > Từ đây ta có () 22 330xxy y ya+−+−+> với ,x y∀ với điều kiện 25 4 a > do đó (*) chỉ có x=0 nghiệm x=y thế vào (1): 32 x5 ax=0 x− +⇔ 2 50xxa− += vô nghiệm vì 25 4 a > ⇒ Khi đó hệ có 1 nghiệm duy nhất x= y= 0 - Kết luận 25 4 a > hệ có 1 nghiệm duy nhất 3. Chú ý: hệ đối xứng loại 1, loại 2 luôn nhận (x,y) làm nghiệm thì cũng nhận (y,x) làm nghiệm. c. Hệ phương trình vế trái đẳng cấp: nghĩa là mọi số hạng vế trái của các phương trình trong hệ đều cùng 1 bậc. + Loại hệ này ngoài phương pháp thông thường còn có cách giải riêng bằng cách đặt x= ty hoặc y= tx. Cụ thể xét một vài ví dụ sau: 1. Ví dụ: Giải hệ sau 22 354 38 xxyy+−= 22 59315 xxyy−−= Giải: +nhận thấy y=0 ⇒ hệ trở thành 2 338x = 2 515 x = không nghiệm hệ. do đó đặt x= ty và hệ trở thành: () 22 354 38 tt y+− = 2 3540 tt+ −> ⇒ () 22 593 15 tt y−− = 2 354tt+ − 38 = (*) 2 593tt− − 15 (*) 2 18 145 417 54 0 3; 145 tt t⇔−−=⇒=− loại (không thoả mãn điều kiện) với t=3 22 38 38 1 1 3 yyyx⇒=⇒=⇒=±⇒=± Kết luận: Hệ pt có hai nghiệm:x= 3, 1 y± =± www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ______________________________________________________ Trần V ăn Thái - Trường PTTH Chu Văn An 2. Chú ý: Phương pháp phát triển có thể áp dụng với hệ pt đẳng cấp cao hơn (ví dụ cấp 3,…) Bài tập: Bài 1: cho hệ 1 xxyym++=+ 22 x yxy m+= a. Giải hệ với m=2 b. Tìm m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x, y >0 Bài 2: Giải và biện luận hệ 1 25 2 xy xy + += − + = − 2 2 xy a xy Bài 3: Cho hệ − += 22 4x xy y k (1) − = 2 34yxy (2) a.Giải hệ khi k=1 b. Chứng minh rằng hệ có nghiệm ∀k . . hệ phương trình bậc hai hai ẩn Một số loại hệ phương trình bậc hai hai ẩn thường gặp và cách giải chúng. Hệ phương trình đối xứng loại 1: là hệ phương trình. có 2 nghiệm B. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ pt khi thay ẩn x bằng ẩn y và ẩn y bằng ẩn x thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược