www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY A 2006. Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ). 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = - 1 3 x 3 + x 2 + 3x - 3. 2) Tìm m để phương trình : |x 3 | + 3x 2 – 9|x| + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt . Câu 2 (2 điểm ) : 1. Giải phương trình : 44 2 4(sin x cos x) + 3(sin x + cosx) - 8 0 22cosx + = − 2. Giải hệ; x x = 1 2(x 1)( 1) x = 2 yy yy ⎧ −+ ⎪ ⎨ ++−+ ⎪ ⎩ Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân /4 22 0 4cos x - 1 x 3cos x - sin x d π ∫ Câu 4 (1 điểm ). Cho hình nón có bán kính đáy và chiều cao đều bằng a. SA và SB là hai đường sinh của hình nón và nằm trong mặt phẳng cách tâm đáy O một khoảng là a/3. Tính thể tích khối chóp SABO theo a. Câu 5 (1 điểm ). Cho hai số x , y thực > 0 và thỏa : xy(x + y) = 2x 2 + 2y 2 . Tìm GTLN của biểu thức : A = 22 11 xy x y + Câu 6 (2 điểm ). 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A biết phương trình AB: 3x – 4y + 1 = 0 và AC: 4x + 3y – 7 = 0 và diện tích của nó là 16. Viết phương trình đường thẳng BC. 2. Trong không gian Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có A(0; 0; 0), B(4 ; 0; 0), C(0 ; 4; 0) và A’(0; 0; 6). a) Tính khoảng cách giữa BC’ và đường cao AH của đáy. b) Viết phương trình mặt phẳng qua BC’ và hợp với mặt phẳng (ACC’A’) một góc α mà cosα = 1/3. Câu 7 (1 điểm ). Cho phương trình : 27 x – 3 x + 1 . 6 x - 9.12 x - m. 8 x = 0 a) Giải khi m = - 11. b) Định m để phương trình có 2 nghiệm lớn hơn - 1. GIẢI VẮN TẮT Câu 1. 1. y’ = - x 2 + 2x + 3 = 0 Ù x = - 1 , x = 3. Đồ thị là đoạn màu xanh và màu đỏ. 2. PT Ù 32 1 | x| x - 3| x | - 3 = - - 3 33 m + www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số f(x ) = 32 1 | x| x - 3| x | - 3 3 + và đường thẳng y = - m/3 – 3 . -2 -1 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y Đồ thị hàm số f(x ) gồm hai phần đối xứng qua Oy vì hàm số này chẵn. Mặt khác khi x < 0 thì |x | = - x và f(x ) = - 1 3 x 3 + x 2 + 3x – 3 (cung màu đỏ đã vẽ ở phần 1) Do đó đồ thị hàm số f(x ) gồm cung màu đỏ và cung màu đen đối xứng của cung đỏ qua Oy. Căn cứ vào hình vẽ, đường thẳng y = - m/3 – 3 cắt đồ thị này tại 4 điểm khi YCBT Ù - 14/3 < - 3 3 m −<− 3 Ù 0 < m < 5 Câu 2. 1. 4(1 - 2 1 sin 2x 2 ) + 3(1 + sin 2x) – 8 = 0 (cosx ≠ 2/2 ) Ù 2sin 2 2x - 3sin 2x + 1 = 0 Ù sin2x = 1 , sin2x = ½ Ù x = π/4 + kπ (chỉ thỏa điều kiện khi k lẻ) hay x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện ) 2. Bình phương hai về của phương trình sau: 2x y + 2(x + y) + 2 = x + y + 4 + 4 x y+ Ù 2 xy + (x + y) - 4 x y+ - 2 = 0 (*) Đặt t = x y+ ≥ 0 , từ phương trình đầu: xy = t + 1. Thế vào (*) : Ù 2( t + 1) + t 2 - 4t – 2 = 0 Ù 2 20tt−= Ù t = 0 hay t = 2 . Vậy (x + y = 0 và xy = 1 ) hay ( x + y = 4 và x y = 3) Ù (x = 3; y = 1) hay (x = 1; y = 3) Câu 3. /4 /4 22 22 00 4cos 3cos sin 3cos sin xdx dx I JK x xxx ππ =−= −− ∫∫ − Tính J: J = /4 2 0 4cos 34sin xdx x π − ∫ Đặt t = sin x => dt = cosxdx => J = 2/2 /4 2 00 211 4 34 32323 dt dt t tt π ⎛⎞ =− − ⎜⎟ − −+ ⎝⎠ ∫∫ Tính K: : K = /4 2 0 1 3 tan cos dt 2 x x π ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎝⎠ ∫ . Đặt t = tanx : K = 11 2 00 111 3 23 3 3 dt dt t tt ⎛⎞ =− ⎜⎟ − −+ ⎝⎠ ∫∫ Câu 4: Gọi I là trung điểm của AB, kẻ OH vuông góc SI thì OH = a/3. www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 2 2 2222 11191 OI OH OS a a a =−=−= 8 => OI 2 = a 2 /8. => AI 2 = OA 2 – OI 2 = 7a 2 /8. => V = 3 117 . . . . 33 88 aa a OI AI SO a== 7 24 Câu 5: Đặt S = x + y, P = x y : SP = 2(S 2 – 2P) Ù P = 2 2 4 S S + A = 2 S P Đk : S 2 – 4P ≥ 0 Ù S 2 - 23 84 00 44 SSS SS − ≥ <=> ≥ ++ S A B O H I 2 Ù S ≥ 4 vì S > 0 . A = S /P 2 = 2 4 3 2 (4) 4 4 (4) SS S S S + = + A’ = 322 64 1 2( 4) ( 4) .3 ( 4)( 12) .0 44 SSS S S S SS +−+ +−− =<=> A nghịch biến. Vậy max A = f(4) = 2 3 8 4.4 4 = 1 Ù S = 4 và P = 4 Ù x = y = 2 Cách khác : Chia hai vế x 2 y 2 , giả thiết Ù 22 11 1 1 2( ) y xyx += + Đạt a = 1/x, b = 1/y, ta được : a + b = 2(a 2 + b 2 ) Mà a 2 + b 2 ≥ (a+ b) 2 /2 nên giả thiết cho ta: a + b ≥ (a + b) 2 => a + b ≤ 1 vì a + b > 0 A = 3 () () 4 ab ab vì ab ≤ (a + b)a b + +≤ 2 /4, suy ra A ≤ ¼. Vậy maxA = ¼ khi a = b = ½ Ù x = y = 2. Câu 6. 1. AB : 3x – 4y + 1 = 0 , AC: 4x + 3y – 7 = 0 Suy ra A = (1 ; 1) và góc A = 90 0 . Phương trình BC song song với các phân giác của AB, AC cho bởi : 3x 4 1 4x 3 7 0 3x 4 1 4x -3 7 0y y hay y y−++ +−= −+− += A B C A’ B’ C’ H => BC: 7x – y + c = 0 hay x + 7y + c = 0 Vì tam giác ABC vuông cân nên diện tích nó bằng : AH 2 = 16 ( H là chân đường cao) => AH = 4. Ù d(A, BC) = 4 Ù |6 | |8 | 44 52 52 cc hay ++ == Suy ra c và phương trình đường thẳng BC. 2. a) C’ (0; 4; 6) => ; ' ( 4; 4; 6) ; (2; 2;0)BC AH=− = JJJJG JJJG (0;4;0)AB = JJJG => [ ', ] ( 12;12 ; 16)BC AH =− − JJJJGJJJG => [' , ]. 4BC AH AB = JJJJG JJJG JJJG 8 www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 4 => d(BC’, AH) = 222 48 12 34 12 12 16 = ++ b) (ACC’A’): x = 0 PT (P) cần tìm : ax + by + cz – 4a = 0 vì qua B(4; 0; 0). Ta có : 4b + 6c – 4a = 0 Ù 2a – 2b – 3c = 0 vì (P) qua C’(0 ; 4; 6). Ta có : 222 || 1 cos 3 a abc α == ++ Thế b = (2a – 3c)/2 : 9a 2 = a 2 + (2a – 3c) 2 /4 + c 2 Ù 36a 2 = 4 a 2 + 4 a 2 – 12ac + 9 c 2 + 4c 2 Ù 13c 2 - 12ac – 28 a 2 = 0 Ù c = 2a hay c = - 14a/13 Vậy (P): x – 2y – 2z – 4 = 0 hay . . . Câu 7. Chia hai vế cho 8 x : (3/2) 3x – 3.(3/2) 2 x - 9.(3/2) x - m = 0 . a) m = - 11 : t 3 – 3t 2 - 9t + 11 = 0 Ù ( t – 1)(t 2 – 2t – 11) = 0 với t = (3/2) x > 0 Ù t = 1 hay t = 1 + 2 3 Ù x = log 3/2 2 hay x = log 3/2 (1 + 2 3) b) f(t) = t 3 – 3t 2 - 9t = m x > - 1 => t > 2/3. Khảo sát : f’(t) = 3t 2 – 6t – 9 = 0 Ù t = 3. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là f(3) = - 27 . Và f(2/3) = - 190/27 . Căn cứ vào BBT, phương trình có 2 nghiệm > - 1 khi – 27 < m < - 190/27. . ab ab vì ab ≤ (a + b )a b + +≤ 2 /4, suy ra A ≤ ¼. Vậy maxA = ¼ khi a = b = ½ Ù x = y = 2. Câu 6. 1. AB : 3x – 4y + 1 = 0 , AC: 4x + 3y – 7 = 0 Suy ra A. Đạt a = 1/x, b = 1/y, ta được : a + b = 2 (a 2 + b 2 ) Mà a 2 + b 2 ≥ (a+ b) 2 /2 nên giả thi t cho ta: a + b ≥ (a + b) 2 => a + b ≤ 1 vì a + b > 0 A