Đang tải... (xem toàn văn)
Một số vấn đề cơ bản về phương trình nghiệm nguyên.
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆm NGUN Trong chương trình tốn THCS THPT phương trình nghiệm ngun ln đề tài hay khó học sinh Các tốn nghiệm ngun thường xun có mặt kì thi lớn , nhỏ , nước Trong viết muốn đề cập đến vấn đề nghiệm nguyên ( dạng ; phương pháp giải ) không sâu ( vốn hiểu biết có hạn ) Tơi khơng nói phương trình Pell ( có nhiều sách ) phương trình Pythagore ; Fermat ( có nhiều sách ; khái niệm đơn giản ) Chú ý : bạn tìm đọc thêm “ phương trình tốn nghiệm ngun “ thầy Vũ Hữu Bình Phương Pháp Áp Dụng Tính Chia Hết Dạng :phương trình dạng Ví dụ 1:: giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Có thể dễ dàng thấy chẵn Đặt Phương trình trở thành : Từ ta có nghiệm phương trình : Chú ý : Ta cịn có cách thứ để tìm nghiệm phương trình Đó phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc ẩn Ta dựa vào định lí sau : Nếu phương trình với có tập nghiệm nghiệm phương trình nhận từ cơng thức : Định lí chứng minh khơng khó ( cách trực tiếp vào phương trình ) Dựa vào định lý ; ta cần tìm nghiệm riêng phương trình Đối với phương trình có hệ số nhỏ việc tìm nghiệm đơn giản với phương trình có lớn khơng dễ dàng chút Do ta phải dùng đến thuật toán lit ( bạn tìm đọc sách ; tơi khơng nói nhiều thuật tốn ) Ngồi cịn có thêm phương pháp hàm Euler Dạng : Đưa phương trình ước số : Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải : Lập bảng dễ dàng tìm nghiệm phương trình Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm ngun sau : Giải : số chưa biết ; đc xác định sau Xét phương trình : Chọn Từ ta có phương trình ước số : Dạng 3:Phương pháp tách giá trị nguyên Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải : Phương Pháp : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay gọi xét số dư vế ) Trước tiên ta có tính chất sau : số phương chia dư ; chia dư ; chia dư Ví Dụ : Giải phương trình nghiệm ngun sau : Giải: Cịn Do phương trình vơ nghiệm Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương Ta đến với Ví Dụ sau : Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm ngun dương sau : Giải: Dễ thấy Mặt khác : chẵn ; lẻ Cịn ( vơ lí) Do phương trình vơ nghiệm Chú ý : Nhiều tốn nghiệm ngun đề thi vơ địch tốn nước đơi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau : Ví Dụ :(Balkan1998) Giải phương trình nghiệm ngun sau : Giải: ( vơ lí) Do phương trình vơ nghiệm Chỉ dịng ; thật ngắn gọn đẹp phải khơng Nói chung để xét modulo hiệu phải tùy thuộc vào nhạy bén người làm tốn Nói thêm : Đối với phương trình nghiệm ngun có tham gia số lập phương modulo thường dùng ( tự chứng minh ) Ta xét Ví Dụ sau Ví Dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Dựa vào nhận xét : Cịn ( vơ lí) Do phương trình vô nghiệm Phương Pháp : Dùng Bất Đẳng Thức Dạng : Đối với phương trình mà biến có vai trị người ta thường dùng phương pháp xếp thứ tự biến Ví Dụ : Giải phương trình nghiệm ngun dương sau : Giải : Khơng tính tổng qt giả sử Nghiệm phương trình Dạng : Đối với phương trình nghịch đảo biến ta dùng phương pháp ( vai trò biến ) Cách giải khác dành cho Ví Dụ 9: Chia vế phương trình cho ta đc : Giải: Khơng tính tổng quát giả sử Ta xét đến Ví Dụ để thấy hiệu phương pháp Ví Dụ 10 : Giải phương trình nghiệm ngun dương sau : Giải: Khơng tính tổng quát giả sử Lần lượt thử : phương trình vơ nghiệm ngun Xét Mặc khác Ta thử phương trình vơ nghiệm ngun Xét Mặc khác Vậy nghiệm phương trình hốn vị Dạng : Áp Dụng Các Bất Đẳng Thức Cổ Điển Ví Dụ 11 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Áp Dụng BDT Cauchy cho số ; ta đc Dấu xảy Từ phương trình ( phương trình ước số ; dễ dàng tìm đc Đáp số : nghiệm phương trình tìm ) Ghi : Việc Áp Dụng BDT vào tốn nghiệm ngun dùng ẩn ý dùng BDT dễ bị "lộ" người đề khơng khéo léo Tuy nhiên có vài trường hợp dùng BDT hay Ta đến với Ví Dụ sau Ví Dụ 12 : Giải phương trình nghiệm ngun dương sau với số đôi khác Giải: Áp dụng BDT quen thuộc sau : Vì khác Lần lượt thử giá trị Đáp số : hốn vị ta tìm đc Dạng : Áp dụng tính đơn điệu tốn Ta vài giá trị biến thoả phương trình chứng minh nghiệm Ví Dụ 13 : Giải phương trình nghiệm ngun dương sau Giải: phương trình vơ nghiệm ngun ; thoả mãn Do nghiệm phương trình Cịn phương trình : Bằng cách tương tự ; dễ dàng nhận nghiệm Nói thêm : Đối với phương trình ; ta có tốn tổng qt Tìm số nguyên dương thoả : Đáp số đơn giản cách giải vô tác dụng với Để giải hữu hiệu xét modulo ( phương trình chứa ẩn mũ phương pháp tốt xét modulo ) Phần nói thêm nên tạm thời khơng giải tốn mà để lại dịp khác Dạng : Dùng điều kiện để phương trình bậc có nghiệm Ví Dụ 14 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Giải bất phương trình khơng khó ; dễ dàng suy : Do nguyên nên dễ dàng khoanh vùng giá trị thử chọn Nói chung phương pháp dùng có dạng ( ) với hệ số Cịn dùng phương pháp nói đến ví dụ để đưa phương trình ước số cách nhanh chóng Phương Pháp 4: Phương pháp chặn hay ta gọi tên khác đẹp phương pháp đánh giá Phương pháp đánh giá dựa vào nhận xét sau : 1/ khơng tồn thoả với 2/ với Ta đến với Ví Dụ sau Ví Dụ 15: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Xét hiệu Xét hiệu Theo nhận xét Thế vào phương trình ban đầu Nhận xét mở rộng với số lập phương ; ta đến với ví dụ : Ví Dụ 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Bằng cách ta có : xét ta tìm nghiệm phương trình là: Phương Pháp 5: Dùng tính chất số phương Dạng : Trước tiên ta đến với mệnh đề sau : với Chứng minh mệnh đề khơng khó ; ta chứng minh phản chứng : Giả sử khơng số phương nên phân tích thành ước nguyên tố tồn số chứa ước nguyên tố p với số mũ lẻ Giả sử Vì nên không chứa thừa số chứa thừa số với số mũ lẻ ( vơ lí trái với điều kiện số phương) Bây ta đến với ví dụ Ví Dụ 17: Giải phương trình nghiệm ngun sau : Giải: Rõ ràng Từ phương trình ( phương trình ước số) Từ tìm nghiệm phương trình Đáp số : Dạng : Ta có mệnh đề thứ : Nếu số nguyên thoả ; Chứng minh mệnh đề khơng khó : Giả sử Dùng phương pháp chặn : Vơ lí mệnh đề chứng minh Bây áp dụng mệnh đê ; ta đến với ví dụ sau Ví Dụ 18: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: => hoặc Phương trình cịn cách giải khác điều tơi muốn nhấn mạnh việc dùng mệnh đề giúp cho lời giải toán trở nên ngắn gọn Phương Pháp 6: Lùi vô hạn ( hay gọi phương pháp xuống thang) Phương pháp dùng để chứng minh phương trình ngồi nghiệm tầm thường khơng cịn nghiệm khác Phương pháp diễn giải sau : Bắt đầu việc giả sử nghiệm Nhờ biến đổi ; suy luận số học ta tìm nghiệm khác cho nghiệm quan hệ với nghiệm tỉ số Ví Dụ : Rồi lại từ thoả Quá trình tiếp tục dẫn đến : chia hết cho với số tự nhiên tuỳ ý Điều xảy Để rõ ràng ta xét Ví Dụ Ví Dụ 19: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Gọi nghiệm phương trình Xét theo modulo Ta chứng minh chia hết cho Thật ; rõ ràng vế phải chia hết cho Ta có : Do Đặt Rõ ràng chia hết cho Thế vào rút gọn : Đặt Thế vào rút gọn : Do nghiệm phương trình nghiệm Tiếp tục lý luận chia hết cho Ta lại tìm nghiệm thứ với Tiếp tục ta dẫn đến : Điều xảy Ví Dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : U]Giải:[/u] Giả sử ( Korea 1996) nghiệm phương trình Rõ ràng chẵn ( chẵn ) nên có trường hợp xảy Trường Hợp : có số lẻ ; số chẵn Khơng tính tổng qt giả sử lẻ Xét theo modulo : chẵn Cịn ( chẵn ) ( vơ lí) Trường Hợp : số chẵn Đặt vào rút gọn ta : lập luận ta lại chẵn Q trình lại tiếp tục đến : với Điều xảy Tóm lại nghiệm phương trình Phương Pháp 7: Nguyên Tắc Cực Hạn hay gọi Ngun Lí Khởi Đầu Cực Trị Về mặt hình thức phương pháp khác với phương pháp lùi vơ hạn ý tưởng sử dụng ; chứng minh phương trình khơng có nghiệm không tầm thường Phương pháp bắt đầu việc giả sử nghiệm với điều kiện ràng buộc với Ví Dụ nhỏ nhỏ v v Bằng phép biến đổi số học ta tìm nghiệm khác trái với điều kiện ràng buộc Ví dụ chon với nhỏ ta lại tìm thoả Từ dẫn đến phương trình cho có nghiêm Ta xét ví dụ Ví Dụ 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Giả sử nghiệm phương trình với điều kiện Từ phương trình chẵn Đặt Thế vào rút gọn ta : Rõ ràng chẵn.Đặt Tiếp tục chẵn Đặt Và dễ thấy nhỏ chẵn.Đặt Nhìn vào phương trình rõ ràng nghiệm phương trình dễ thấy ( vơ lí ta chọn nhỏ ) Do phương trình có nghiệm Chú y : ta chọn thoả nhỏ ; lý luận tương tự dễ thấy từ dẫn đến kết luận toán Phương Pháp 8: Sử Dụng Một Mệnh Đề Cơ Bản Của Số Học Trước tiên ta đến với toán nhỏ sau: Cho số ngun tố có dạng Chứng minh: Giả sử ko chia hết cho Theo fermat nhỏ : với nguyên dương ; số tự nhiên lẻ Chứng minh rõ ràng ko chia hết Mặt khác lẻ nên theo đẳng thức ( : số ) RÕ ràng ( giả thiết Do theo ta có điều phải chứng minh Xét trường hợp nhỏ toán : Khi ; lẻ nên ) Lúc ta có mệnh đề sau : số nguyên tố có dạng Khi Mệnh đề đơn giản lại công cụ vô hiệu đối vơi nhiều tốn khó Ví Dụ 22: ( tốn Lebesgue) Giải phương trình nghiệm ngun sau : ( trường hợp nhỏ phương trình Mordell ) Ghi : Phương trình Mordell phương trình có dạng trường hợp phương trình Mordell với Giải: Trước tiên ta có bổ đề nhỏ sau : Mọi số ngun có dạng có ước nguyên tố có dạng Chứng Minh: Giả sử A khơng có ước ngun số có dạng ( vơ lí) Do A có ước dạng ; tốn Nếu số nguyên tố bổ đề chứng minh Nếu hợp số Lý luận tương tự ta lại có có ước có dạng Nếu lại hợp số lai tiếp tục Vì trình hữu hạn nên ta có điều phải chứng minh Quay lại tốn Xét chẵn ( vơ lí Xét lẻ viết lại phương trình : ) Nếu Nếu Do ln có ước dạng theo bổ đề ln có ước ngun tố Theo mệnh đề ( vơ lí) Do phương trình vơ nghiệm Ví Dụ 23: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : ( phương trình Mordell với Giải: ) Xét chẵn ( vơ lí ) Xét lẻ Nếu ( vơ lí Nếu Viết lại phương trình ) Rõ ràng Do có ước ngun tố ( vơ lí) Do phương trình vơ nghiệm Và cuối để thấy thêm hiệu mệnh đề ; ta đến với tốn Euler Ví Dụ 24: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Nhưng trước hết xem lời giải Euler để nhìn nhận giá trị mệnh đề : giả sử pt có tâp nghiệm với giá trị nhỏ => => => => CỘng vào vế (*) : Ta đc : (*) => => Vậy pt (*) có nghiệm (**) pt (*)cũng có nghiệm giá trị nhỏ => nghiệm => => pt (**) > (*) => => => => => (1) Vì có vai trị nên ta cm đc (2) Từ (1) (2) => => pt (*) : => => ( vơ lí ) Vậy pt vơ nghiệm Nhưng dùng mệnh đề lời giải ngắn gọn nhiều : Rõ ràng có dạng Thật : Do có ước ngun tố ( vơ lí) Do phương trình vơ nghiệm Các dạng phương trình vơ định nghiệm nguyên giới thiệu hết Việc xếp dạng ; phương pháp theo chủ ý nên nhiều sai sót Sau phần nói thêm phương trình vơ định siêu việt phương trình khác ( kiến thức sơ sai nên nói sơ thơi ) Đầu tiên phương trình dạng mũ : Như nói phương trình dạng mũ thường có phương pháp chung xét Modulo ( luôn ) Ta đến với Ví Dụ : Ví Dụ 25: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: ( ) : phương trình vơ nghiệm Xét ( vơ lí Nghiệm phương trình ) Ví Dụ 26: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : ( Giải: Xét lẻ Đặt ) ( Xét : chẵn.Đặt ) ( vơ lí) ( ) Phương trình ước số ; đơn giản Đáp số Ví Dụ 26: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : với ( Việt Nam 1982) Giải: Rõ ràng lẻ Lý luận Nghiệm phương trình Chú ý : Với cách giải ta xử đẹp phương trình dạng : ( ) Đáp số : Ví dụ 27: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Trong phương trình có tham gia số lập phương nói phần phương pháp lựa chọn modulo ; modulo ta xét modulo ; phương trình vơ nghiệm ngun (vơ lí Ta đến với tốn khó Ví Dụ 28: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Rõ ràng Xét nghiệm Khơng tính tống quát giả sử y nguyên nên Đặt Thế vào ta : Rõ ràng nguyên ( giả sử ) lúc rõ ràng Ta chứng minh : Do nên ta việc chứng minh : Ta cm quy nạp theo ; Giả sử khẳng định với tức ) Ta cm khẳng định với nạp : tức chứng minh Rất đơn giản ; theo giả thiết quy ( ) Do phương trình vơ nghiệm với Kết luận : nghiệm phương trình với Chú ý : Ta giải phương trình theo cách khác Nhưng trước hết ; ta cần chứng minh mệnh đề sau : Ta chứng minh phần thuận ; phần đảo điều hiển nhiên Trong phân tích dạng chuẩn tắc số ngun tố có lũy thừa tương ứng Do phân tích dạng chuẩn tắc số ngun tố có lũy thừa tương ứng Vì Vì chọn tuỳ ý nên Quay lại với toán Ta xét trường hợp Khơng tính tổng qt giả sử Đặt Rồi làm tương tự Ví Dụ 29 : Giải phương trình nghiệm ngun khơng âm sau : Giải: Xét theo modulo Viết lại phương trình Xét : Xét Mặt khác : Đặt chẵn ( Nếu Nếu chẵn ( vơ lí) Kết luận : nghiệm phương trình Ví Dụ 30 : Giải phương trình nghiệm ngun khơng âm sau : Bài tốn đề cập phần trước lời giải : Xét theo modulo Đặt chẵn Do có trường hợp xảy : Trường Hợp : ( ) Điều không xảy Nhưng khơng chia hết cho Trường Hợp 2: Do lẻ Ta có : Do lẻ nên rõ ràng chẵn Đặt Nếu Nếu [ Ta có Tuy nhiên xét modulo cho vế phải Nếu chẵn ; Nếu lẻ ; Từ ta có cịn ( vơ lí) Kết luận : nghiệm phương trình Ví Dụ 31 : Giải phương trình nghiệm ngun dương : Giải: lẻ Đặt Nếu Nếu chẵn lẻ Còn Vơ lí phương trình vơ nghiệm Bài tốn với nghiệm ngun tố Ví Dụ 31 : Tìm để a) số nguyên tố b) số nguyên tố c) số nguyên tố Giải: a) số nguyên tố b) làm ta c) Chú ý lẻ Đáp số : Ví Dụ 32 : Tìm số nguyên tố Giải: chẵn để số nguyên tố ( không thoả ) lẻ chẵn nên hợp số Vậy không tồn số thoả điều kiện Ví Dụ 33 : Tìm số nguyên tố Xét lẻ Xét chẵn thoả : chẵn ( không tồn thoả ) Nếu lẻ Đặt Nếu chẵn ( vơ lí) Kết luận : nghiệm phương trình Từ tốn hẳn dễ dàng hình dung lời giải tốn sau: Tìm số ngun tố thoả : Các Phương Trình chứng minh vơ số nghiệm : Ví Dụ 34 : Chứng minh phương trình Giải: Ta xây dựng nghiệm phương trình có vơ số nghiệm Đặt Thế vào ta : Phương trình có vơ số nghiệm có dạng : Tổng qt hố tốn với phương trình Với cách giải ; phương trình có vơ số nghiệm có dạng : Chú ý: Công Thức chưa lấy hết tất nghiệm toán cần có để hồn thành tốn Ví Dụ 35 : Chứng minh phương trình Giải : Dựa vào Hằng Đẳng Thức sau : có vô số nghiệm Đặt Chọn Do nguyên nên Giải hệ ta Kết luận : Phương trình có vơ số nghiệm có dạng : Ví Dụ 36 : Chứng minh phương trình Đặt Rõ ràng tồn vơ số số n để có vơ số nghiệm Thật ; xét phương trình ( rõ ràng có vơ số nghiệm) Chú ý Do phương trình có vơ số nghiệm có dạng : Do nên ngun Cịn với phương trình : Rất đơn giản Ta đưa phương trình Ví dụ Sau phần tập ; xếp tập không theo dạng bạn phải xác định dạng để có phương án xử lí thích hợp Phương trình với tập Z : 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 21/ 22/ 23/ ( Hàn quốc 1988) 24/ 25/ 26/ 27/ 28/ 29/ 30/ 31/ 32/ 33/ 34/ 35/ Tập N 36/ 37/ 38/ ( Bulgari 1998) 39/ 40/ 41/ 42/ Các Toán với số nguyên tố : 43/ Tìm để số nguyên tố 44/ 45/ 46/ ( nguyên tố ; ) nguyên tố 47/ ( ngun tố ) Các tốn khó : 48/ (APMO ) Tìm n nguyên dương để phương trỉnh sau có nghiệm 49/ Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm : ( Brazil 1990 ) 50/ (Rumani 2001) ( ) 51/ 52/ ( ) 53/ Cho CMR 54/ ( Nga 1996) số nguyên số phương 55/ Chứng minh phương trình sau có vơ số nghiệm 56/ 57/ 58/ 59/ ( 60/ ) ( ) 61/ ( ) 62/ ( ) 63/ ( Sáng Tác) Chứng minh phương trình 64/ ( Sáng Tác) ( ) 65/ (IMO 2006) 66/ Tìm n để phương trình có nghiệm ( ) 67/ 68/ 69/ 70/ số ngun CMR có vơ số nghiệm ... thoả : Các Phương Trình chứng minh vơ số nghiệm : Ví Dụ 34 : Chứng minh phương trình Giải: Ta xây dựng nghiệm phương trình có vô số nghiệm Đặt Thế vào ta : Phương trình có vơ số nghiệm có dạng... thừa số chứa thừa số với số mũ lẻ ( vơ lí trái với điều kiện số phương) Bây ta đến với ví dụ Ví Dụ 17: Giải phương trình nghiệm nguyên sau : Giải: Rõ ràng Từ phương trình ( phương trình ước số) ... luận Nghiệm phương trình Chú ý : Với cách giải ta xử đẹp phương trình dạng : ( ) Đáp số : Ví dụ 27: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau : Giải: Trong phương trình có tham gia số lập phương