Bài Bất phương trình hữu tỉ vơ tỉ Giả sử f(x) g(x) hàm số xác định miền D E tương ứng Giải bất phương trình f(x) > g(x) (hay f(x) ≥ g(x)) nghĩa tìm tất điểm xo ∈ D ∩ E cho f(xo) > g(xo) (hay f(xo ≥ g(xo)) bất đẳng thức Tập hợp điểm xo gọi tập hợp nghiệm bất phương trình Hai bất phương trình gọi tương đương hai tập hợp nghiệm tương ứng chúng trùng Ta dùng dấu ⇔ để tương đương hai bất phương trình Bất phương trình hữu tỉ Trong bất phương trình f(x) > g(x) mà f g hàm hữu tỉ gọi bất phương trình hữu tỉ 1.1 Bất phương trình bậc Đó bất phương trình dạng ax + b > (1) (hoặc ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) a) Nếu a = (1) ⇔ 0x + b > Do b > (1) nghiệm với ∀x ∈ R b < (1) vơ nghiệm b) Nếu a > (1) ⇔ x > − b a  b  Tập nghiệm  − , ∞   a  c) Nếu a < (1) ⇔ x < − b b  Tập nghiệm  −∞,  a a  Ví dụ Giải bất phương trình (a + a + 1)x + a − a > 0, (2) (a tham số) Vì a + a + > nên (1) ⇔ x > a − a3 a2 + a + Ví dụ Giải bất phương trình (ẩn x) (a + 1)x + (a + 2) ≥ (3) Giải a) a = − 1, (3) nghiệm với x b) a > − 1, (3) ⇔ x > − a2 + a +1 c) a < − 1, (3) ⇔ x < − a2 + a +1 Ví dụ Giải hệ bất phương trình 2x + > (4)   x−3≤0  x > −   Hệ (4) ⇔  ⇔ x ∈  − , 3   x ≤ −3  1.2 Bất phương trình bậc hai 1.2.1 Xét bất phương trình bậc hai ax + bx + c > (hoặc ax + bx + c ≥ 0), a ≠ 0, a, b, c ∈ R Xét bất phương trình f(x) : = ax + bx + c > 0, a ≠ (5)  b  ∆   , ∆ = b − 4ac Ta có f(x) = a  x +  − 2a   4a    a) Giả sử ∆ < Khi + a > f(x) ln ln dương (5) nghiệm với x + a < (5) vô nghiệm b) Giả sử ∆ = + a > (5) có tập nghiệm b   b    −∞, −  ∪  − , + ∞    2a   2a + a < (5) vơ nghiệm c) Giả sử ∆ > Khi f(x) = a(x − x )(x − x ), −b − ∆ −b + ∆ x1 = , x2 = 2a 2a Từ : + Nếu a > (5) có tập nghiệm ( −∞ , x ) ∪ (x , + ∞ ) + Nếu a < (5) có tập nghiệm (x , x ) Ví dụ Giải bất phương trình 2x − 3x + < (6) Giải Tam thức bậc hai 2x − 3x + có nghiệm x1 = 1  , x = a = > Vì (6) có tập nghiệm  , 1 2  Ví dụ Tìm a để phương trình (a − 2)x − 2ax + 2a − = (7) Có hai nghiệm phân biệt Giải (7) có hai nghiệm phân biệt a ≠ a ≠ a ≠  ⇔  ⇔   −4(a − 1)(a − 6) > ∆ > 4a − 4(a − 2)(2a − 3) >  ⇔ a ∈ (1, 2) ∪ (2, 6) Ví dụ Tìm a để nghiệm bất phương trình x − 3x + < (8) nghiệm bất phương trình f(x) : = ax − (3a + 1)x + > (9) Giải (8) có tập nghiệm (1, 2) Phương trình f(x) = (với a ≠ 0) có nghiệm a a) a = Khi (9) ⇔ x < a = giá trị cần tìm b) a < Khi 1  < < < (1, 2) ⊂  ,  Vậy a < a a  thỏa mãn c) Xét a > c ) Nếu < 1 ( ⇔ a < a < ) miền nghiệm (9) ( −∞ , 3) ∪ a 1   , ∞  ⊃ (1, 2) a  Như < a < thỏa mãn đầu 1 1  ≤ ( ⇔ a ≥ ) (9) có tập nghiệm M  −∞,  ∪ (3, + ∞ ) a  a 1 Để M ⊃ (1, 2) điều kiện cần đủ ≤ ⇔a≤ a c ) Xét Kết hợp l ại ta thấy 1 1  a∈R : ≤ a ≤ =  ,  3  { } tập hợp giá trị a cn tìm 1.2.2 Định lí đảo tam thức bậc hai Giả sử f(x) = ax + bx + c, a ≠ a) Nếu tồn α cho af( α ) < ∆ > f(x) có hai nghiệm x x thỏa mãn x1 < α < x2 b) Nếu tồn α cho ∆ > 0f  af(α ) > f(x) có hai nghiệm x < x α ∉ [x , x ] c) Nếu tồn α cho ∆>0 af( α ) = − b b > α (tương ứng − < α ), 2a 2a hai nghiệm x , x f(x) thỏa mãn α < x < x (tương ứng x < x < α ) d) Nếu tồn hai số α β ( α < β ) cho f( α )f( β ) < khoảng ( α , β ) f(x) có nghiệm Ví dụ Tìm tất số a cho phương trình x − 2(a − 1)x + (2a + 1) = (1) có hai nghiệm dương phân biệt Giải Theo 1.2.2.b), điều kiện cần đủ để (10) có hai nghiệm dương phân biệt : ∆ ' > a(a − 4) > 1.f(0) > ⇔ a − >  ⇔   2a + > − b >   2a  ⇔ a ≥ ⇔ a ∈ [4, + ∞ ) Ví dụ Tìm tất số a cho phương trình f(x) : = 2x − 2(2a + 1)x + a(a − 1) = (11) có hai nghiệm x , x thỏa mãn x < a < x Giải Theo 1.2.2.a), điều kiện cần đủ để (11) có hai nghiệm x , x thỏa mãn x < a < x 2.f(a) = 2a − 2(2a + 1)a + a(a − 1) < ⇔ − a − 3a < ⇔ a ∉ [ − 3, 0] Ví dụ Tìm a để bấtphương trình f(x) : = x + ax + a + 6a < (12) có nghiệm thuộc khoảng (1, 2) Giải Đầu tiên, nhận xét (12) có nghiệm ∆ > ⇔ − 3a − 24a > ⇔ a(a + 8) < ⇔ a ∈ ( − 8, 0) (13) Khi đó, (12) có tập nghiệm  −a − −3a(a + 8) −a + −3a(a + 8)  M= ,   2  M ∩ (1, 2) = ∅ ⇔ −a + −3a(a + 8) ≤ (14) −a − −3a(a + 8) ≥ (15) (13) & (14) ⇔ −3a(a + 8) ≤ a + ⇔ a ≥ −2  −7 + 45  a ≥ ⇔ a + 7a + ≥ ⇔   −8 < a <  −8 < a < ⇔ −7 + 45 < a < (16) (13) & (15) ⇔ − < a ≤ −4 − 12 (17) Từ M ∩ (1, 2) ≠ ∅ ⇔ −4 − < a < −7 + 45 1.3 Bất phương trình đại số bậc cao Đó bất phương trình có dạng f(x) := a o x n + a1x n −1 + + a n −1x + a n > , (18) ao, , an ∈ R, ao ≠ Cách giải (18) thường sử dụng phân tích f(x) dạng tích f(x) = a o (x − α1 )k1 (x − α m )k m (x + p1x + q1 )l1 (x2 + p r x + q r )l r , (18') α < α < < α m p1 − 4q1 < , , p − 4q r < r Sau lập bảng xét dấu để tìm khoảng nghiệm Ví dụ 10 Giải bất phương trình (x − 3)(3+ x)(2 − x) > (19) Giải (19) ⇔ [x − ( − 3)](x − 2)(x − 3) < Lập bảng xét dấu ta nhận (19) ⇔ x ∈ ( −∞ , − 3) ∪ (2, 3) Ví dụ 11 Giải bất phương trình f(x) = (x + 3)(x + 2) (2 − x) (2x + 2) (20) Giải Phương trình có nghiệm − 3, − 2, − 1, (20) ⇔ [x − ( − 3)][(x − ( − 2)]5 (x − 2) [x − ( − 1)]2 (21) Ta có sơ đồ sau : Từ (20) ⇔ x ∈ ( −∞ , − 3) ∪ ( − 2, − 1) ∪ ( − 1, 2) Nhận xét Nếu f(x) có dạng (18') dấu f(x) dấu với g(x) : = a o (x − α1 )k1 (x − α m )k m Từ f(x) > ⇔ g(x) > Giả sử ao > Khi g(x) > ( α m, + ∞ ) Nếu km chẵn g(x) dương ( α m−1 , α m) Nếu km lẻ g(x) < (α m −1, α m ) Tương tự, biết dấu g(x) khoảng (ai, +1 ) dấu g(x) giữ nguyên hay đổi dấu tùy thuộc vào ki chẵn hay lẻ Bằng cách ta xác định dấu g(x) khoảng (ai, +1 ) Từ tập nghiệm bất phương trình f(x) > (hay < 0) hợp khoảng mà g(x) > (hay g(x) < 0) Ví dụ 12 Giải bất phương trình a) f = x − 10x + 35x − 50x + 24 > 0, (22) b) g = 3x − 24x + 53x − 20x − 12 < (23) Gợi ý a) (22) ⇔ (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) > Đáp số x ∈ ( −∞ , 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, + ∞ )     b) (23) ⇔  x − +  (x − 1)(x − 3)  x − − 0, ⇔ f(x)g(x) > 0, g(x) b) f(x)g(x) < f(x) (24) x−2 (24) ⇔ x+2 > ⇔ (x − 2)(x + 2) > 2(x − 2) ⇔ x ∈ ( −∞ , − 2) ∪ (2, + ∞ ) Ví dụ 14 Giải bất phương trình Giải (25) ⇔ 1 + ≤ (25) x − x −1 x x2 − ≤0 x(x − 1)(x − 2) (x − 2)(x − 1)x(x − 2)(x + 2) ≤  (26) ⇔ x(x − 1)(x − 2) ≠  Sử dụng nhận xét mục 1.3 ta có (26) ⇔ x ∈ ( −∞ , − ] ∪ (0, 1) ∪ [ , 2) Ví dụ 15 Tìm a cho hệ bất phương trình  x + ax − −3   x − x +1 nghiệm với x  x − (a + 2)x + >0   x2 − x + Giải (27) ⇔   4x + (a − 3)x + >0  x2 − x +  x − (a + 2)x + >  ⇔  (28) 4x + (a − 3)x + >  Vậy để (27) nghiệm ∆1 : = (a + 2)2 − 16 <  (29)  ∆ : = (a − 3)2 − 16 <  với x cần đủ (a + 6)(a − 2) < ⇔ ⇔ a ∈ ( − 6, 2) ∩ ( − 1, 7) (a − 7)(a + 1) < ⇔ a ∈ ( − 1, 2) hay − < a < Ví dụ 15 Giải biện luận bất phương trình g(x) = x − 5x + − a > (30) x −1 Giải Kí hiệu f(x) = x − 5x + − a Biệt thức f ∆ = 4a + a) Nếu a < − f(x) > với ∀ x ∈ R Khi g(x) > ∀ x > 5  x −   > x > x ≠ b) Nếu a = − g(x) =  x −1 c) Xét a > −  5− +1  x < = x1   f(x) >    5+ +1 = x2  x − > ⇔    x > g(x) > ⇔    f(x) <  x >    x − <   x1 < x < x   x <  + Nếu < x ⇔ − < a < hệ đầu cho ta < x < x x > x hệ sau vô nghiệm + Nếu x = ⇔ a = hệ sau vơ nghiệm cịn hệ đầu cho ta x > + Nếu x < ⇔ a > hệ sau cho x > x hệ đầu cho x < x < x > x Tóm lại a) a < − b) a = − : x ∈ (1, + ∞ ) {} : x ∈ (1, + ∞ )\ c) a < : x ∈ (1, x ) ∪ (x , + ∞ ) d) a = : x ∈ (4, + ∞ ) e) a > : x ∈ (x , 1) ∪ (x , + ∞ ) Bất phương trình vơ tỉ Đó bất phương trình dạng f(x) > (f(x) < 0), f(x) hàm mà ẩn x có mặt Trong q trình giải người ta thường sử dụng phép biến đổi tương đương sau : a) 2n +1 f(x) > g(x) ⇔ f(x) > g2x +1 (x)  g(x) ≤  f(x) > 2n f(x) > g(x) ⇔  b)  g(x) ≥   2n   f(x) > g (x) c) 2n f(x) < g(x) ⇔ f(x) < g2n +1 (x) f(x) ≥ d) 2n f(x) < g(x) ⇔ g(x) ≥   2n f(x) < g (x)  f(x) = Chú ý 1) Bất phương trình f(x) ≥ ⇔   f(x) > 2) Khi giải bất phương trình vơ tỉ cần phải xác định tập xác định, sau thực phép biến đổi tương đương tập xác định hàm Ví dụ Giải bất phương trình (x − 1) x − x − ≥ (1)  x − ≥  x ≥      x2 − x − ≥   (x − 2)(x + 1) ≥ ⇔  Giải (1) ⇔  x ≤  x − ≤      x − x − =    x2 − x − ≤  x ≥ ⇔  ⇔ x ∈ { − 1} ∪ [2, + ∞ )  x = −1 Ví dụ Giải bất phương trình −x + 6x − > − 2x (2)  8 − 2x ≥  x ≤     2   −x + 6x − > − 2x  −x + 6x − > (8 − 2x)   (2) ⇔  ⇔   8 − 2x <   x >    2  −x + 6x − ≥     −x + 6x − > − 2x  x ≤   (x − 3)  x − 23  < 3 < x ≤   ⇔  ⇔  ⇔ < x ≤ 5    4 < x ≤  x >  (x − 1)(x − 5) ≤  Ví dụ Giải bất phương trình 4x − > 16x − 2x (3) 4x − ≥  x ≥ 1,5 Giải (3) ⇔ 6x − 2x ≥ ⇔  (x − 1)(x − 2) >  2 (4x − 6) > 6x − 2x ⇔ < x ≤ Ví dụ − x + 4x − ≥2 x  x >  x >       − x + 4x − ≥ 2x   − x ≥ − 2x   ⇔  (4) ⇔  x   3 − 2x <  2 − x ≥ 3   2 < x ≤  x >  1 ≤ x ≤  3 − 2x ≥ ⇔  ⇔ 1 ≤ x ≤ ⇔   x <  2 − x ≥ (3 − 2x)2  x <    x <  3 − 2x ≥  2 − x ≥   2 − x ≤ (3 − 2x)2   Ví dụ Giải bất phương trình x − 8x + 15 + x + 2x − 15 > 4x − 18x + 18 (5) Giải Tập xác định gồm x ∈ R thỏa mãn x − 8x + 15 ≥   x + 2x − 15 ≥ ⇔   4x − 18x + 18 ≥  x ≤ ∨ x ≥ x ≤ −5 ∨ x ≥   x ≤ − ∨ x ≥   Vậy D = {3} ∪ ( −∞ , − 5] ∪ [5, + ∞ ) x = không nghiệm Vậy x ≥5  (5) ⇔   x2 − 8x + 15 + x + 2x − 15 > 4x − 18x + 18  x ≥5  ⇔   x2 − 8x + 15 x + 2x − 15 > (x − 3)2  x ≥5  ⇔  2 (x − 3) (x − 25) > (x − 3)  x ≥5 x ≥5 17  ⇔  ⇔  ⇔x≥ 2 6x ≥ 34 x − 25 > (x − 3)  Ví dụ Giải bất phương trình x− 1 x −1 − 1− > (6) x x x Tập xác định gồm x thỏa mãn  (x + 1)(x − 1) ≥0 x + ≥    x ⇔ x −1 ⇔ x ∈ [ − 1, 0) ∪ [1, + ∞ )   x ≥0 x −1 ≥   x  Với x vậy, để x nghiệm (6) x− 1 > − ⇔ x > x x Trên (1, + ∞ ), (6) ⇔ ⇔ x +1 −1 > ⇔ x +1+ x −1 ⇔ x ( x −1 x −1  x −1 − >   x x  x  x +1 − x −1 x2 − −2 >1 x x x2 − − x − x + x > ⇔ x +1 x2 − − x ) >0 x −1 > (7) x (vì vế trái (7) dương) ⇔ Vậy tập nghiệm (6) (1, + ∞ ) Ví dụ Giải biện luận (x − a)(x + a − 2) ≥ 2x − a − (7) Điều kiện (x − a)(x + a − 2) ≥ ⇔ (x − 1) − (a − 1) ≥ x ≥ + a −  ⇔  (8) x ≤ − a −  (7) ⇔ (x − 1)2 − (a − 1)2 ≥ 2(x − 1) − (a − 1)  (x − 1)2 ≥ (a − 1)2    2(x − 1) − (a − 1) ≤  ⇔    (x − 1)2 − (a − 1)2 ≥ [2(x − 1) − (a − 1)]2   2(x − 1) − (a − 1) ≥   x ≥ + a −  x ≤ − a −  x ≤ − a −     x =  x ≤ + a −  ⇔  ⇔  x = a    2  x > + a −  (x − 1) + 2[(x − 1) − (a − 1)] ≤    a −1  x > +   ⇔ x ≤ 1− a −1 Ví dụ Giải bất phương trình x + a > x + (10) Giải Tập xác định {x : x ≥ − a} Khi  x + <  −a ≤ x < −1    x + a ≥ (10) ⇔  ⇔  1 − a < x < + a  x + ≥    x > −1    4(x + 1) > (x + 1)2  Từ đó, + < a ≤ − a < x < + a + a > − a ≤ x < + a a ≤ phương trình vơ nghiệm  ... Chú ý 1) Bất phương trình f(x) ≥ ⇔   f(x) > 2) Khi giải bất phương trình vơ tỉ cần phải xác định tập xác định, sau thực phép biến đổi tương đương tập xác định hàm Ví dụ Giải bất phương trình (x... 2) ∪ (2, 6) Ví dụ Tìm a để nghiệm bất phương trình x − 3x + < (8) nghiệm bất phương trình f(x) : = ax − (3a + 1)x + > (9) Giải (8) có tập nghiệm (1, 2) Phương trình f(x) = (với a ≠ 0) có nghiệm... ∈  − , 3   x ≤ −3  1.2 Bất phương trình bậc hai 1.2.1 Xét bất phương trình bậc hai ax + bx + c > (hoặc ax + bx + c ≥ 0), a ≠ 0, a, b, c ∈ R Xét bất phương trình f(x) : = ax + bx + c > 0,