ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2008-2009) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 42 21yx mx m=− +− (1) , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình ( ) 2 2sin 2 3sin cos 1 3 cos 3sinx xx x x++=+ . 2) Giải phương trình 2 2 log 2 2log 4 log 8 xx x += . Câu III (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số () 2 11yx x= +− . Câu IV (1 điểm) Trong không gian cho lăng trụ đứng 111 .ABC A B C có 1 ,2,25ABaAC aAA a== = và n 120BAC = D . Gọi M là trung điểm của cạnh 1 CC . Hãy chứng minh 1 MBMA ⊥ và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( 1 A BM ). Câu V (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực: () 4 4 13 1 0xxmx m−++−= ∈\ . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng :2 3 0 dxy − += . Câu VII.a (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của () 18 5 1 20xx x ⎛⎞ +> ⎜⎟ ⎝⎠ . Câu VIII.a (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 21 1 x y x + = − tại giao điểm của đồ thị với trục hoành. 2. Theo chương trình Nâng cao. Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A . Biết ()( ) 1; 4 , 1; 4AB−− và đường thẳng BC đi qua điểm 1 2; 2 M ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ . Hãy tìm toạ độ đỉnh C . Câu VII.b (1 điểm) Tìm hệ số của 8 x trong khai triển nhị thức Niutơn của ( ) 2 2 n x + , biết 321 849 nnn ACC−+= . ( k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Câu VIII.b (1 điểm) Cho hàm số 2 43 2 xx y x −+ + = − . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số. ----------------------------------Hết---------------------------------- ÔN THI ĐH 2009 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI 12 (2008- 2009) (Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm I (2điểm) 1.(1 điểm). Khi 1m = hàm số trở thành: 42 2yx x =− • TXĐ: D= \ • Sự biến thiên: () '3 2 0 4 404 10 1 x yxx xx x = ⎡ =−=⇔ −=⇔ ⎢ = ± ⎣ 0.25 () ( ) 00, 1 1 CD CT yy yy== =±=− 0.25 • Bảng biến thiên x - ∞ -1 0 1 + ∞ y ’ − 0 + 0 − 0 + y + ∞ 0 + ∞ -1 -1 0.25 • Đồ thị 0.25 2. (1 điểm) () '3 2 2 0 44 4 0 x yxmxxxm x m = ⎡ =− = −=⇔ ⎢ = ⎣ Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ pt ' 0y = có ba nghiệm phân biệt và ' y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0m⇔ > 0.25 • Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: () ()( ) 22 0; 1 , ; 1 , ; 1Am B mmm Cmmm−−−+− −+− 0.25 • 2 1 . 2 ABC B A C B S yyxx mm =− −= + ; 4 ,2ABAC m mBC m== + = 0.25 • () 4 3 2 1 2 11210 51 4 4 2 ABC m mm m AB AC BC Rmm S mm m = ⎡ + ⎢ ==⇔ =⇔−+=⇔ − ⎢ = ⎢ ⎣ + 0.25 II (2điểm) 1) () 31 1 3 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 3 sin 1 sin 2 cos 2 3 cos sin 22 22 x xx x x x x x ⎛⎞⎛⎞ +−=+⇔+ − = + ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 0.50 2 2 1 cos 2 3cos 2 cos 3cos 33 33 xx xx π πππ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔+ − = − ⇔ − = − ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 0.25 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 0 -5 5 10 5 cos 0 332 6 x xkxk πππ π π π ⎛⎞ ⇔ − =⇔−=+ ⇔= + ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) k ∈ ] . 0.25 2. (1 điểm) Điều kiện 1 0, 1, 2 xxx >≠≠ 0.25 • Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với 22222222 14 6 1 4 6 1 2 log log 2 log 2 log 1 log 1 log log 1 log x xxx x xx x +=⇔+ = ⇔= ++ + 0.50 2 log 1 2xx⇔=⇔= 0.25 III (1 điểm) • Tập xác định: D = [ ] 1; 1− ; 2 ' 2 1 21 0 1 1 2 x D xx y x D x = −∈ ⎡ −−+ ⎢ ==⇔ ⎢ =∈ − ⎣ 0.50 () () 133 10, , 10 24 yy y ⎛⎞ −= = = ⎜⎟ ⎝⎠ . Vậy [] [] 1;1 1;1 33 max ; min 0 4 yy −− = = 0.50 IV (1 điểm) () () 2 2 22 2 2222 2 1111 2 5 9 ; 2 . .cos120 7MA A C C M a a a BC AB AC AB AC a=+ = + = =+− = D ; () ( ) 22 22 22 2222 2 2 11 7512; 25 21BM BC CM a a a A B AA AB a a a=+ =+ = =+= += . Suy ra 222 11 1 A BMAMB MBMA =+⇒⊥ . 0.50 • Hình chóp 1 MBAA và 1 CABA có chung đáy là tam giác 1 BAA và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. Suy ra 11 3 1 111 15 . 2 5. .2 .sin120 332 3 MBAA CBAA ABC a VV V AAS a aa=== = = D + 1 3 1 1 15 6. 36 5 3 (,( )) .3 12.3 MBA a VV a dA ABM SMBMA aa ⇒==== + 0.50 V (1 điểm) () 44 44 4 4 32 10 13 1 0 13 1 13 1 1 4691 x xxmx xxmx x xm x x xxx m −≥ ⎧ ⎪ −++−=⇔ −+=−⇔ ⎨ −+=− ⎪ ⎩ ≤ ⎧ ⇔ ⎨ −−−=− ⎩ 0.25 M A C B A1 B1 C1 Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng ym = − cắt phần đồ thị hàm số () 32 4691f xxxx =−−− với 1x ≤ tại đúng một điểm. 0.25 Xét hàm số () 32 4691f xxxx=−−− với 1x ≤ . Với 1x ≤ thì () '2 1 12 12 9 0 2 fx x x x=−−=⇔=− 0.25 Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 − 1 y ’ + 0 − y 3 2 −∞ 12− Từ bảng biến thiên ta có: Yêu cầu bài toán 33 22 12 12 mm mm ⎡⎡ −= =− ⎢⎢ ⇔⇔ ⎢⎢ −<− > ⎣⎣ 0.25 VI.a (1 điểm) ()( ) ( ) ,;0,0;,;A Ox B Oy Aa B b AB ab∈∈⇒ =− JJJG 0.25 Vectơ chỉ phương của d là ( ) 1; 2u = G Toạ độ trung điểm I của AB là ; 22 ab ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 0.25 A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi 20 4 .0 2 30 2 ab a AB u b b a Id −+ = ⎧ ⎧ = − ⎧ = ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎨ = − −+= ∈ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎩ JJJGG . Vậy ( ) ( ) 4; 0 , 0; 2AB− − 0.50 VII.a (1 điểm) Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của 18 5 1 2 x x ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ là () 6 18 18 18 5 118 18 5 1 .2 . .2 . k k k kkk k TCx C x x − − − + ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ 0.50 Số hạng không chứa x ứng với k thoả mãn 6 18 0 15 5 k k − =⇔= . Vậy số hạng cần tìm là 15 3 16 18 .2 6528TC == 0.50 VIII.a (1 điểm) • Giao điểm của đồ thị với trục hoành là 1 ;0 2 A ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ . () '' 2 314 ; 23 1 yy x − ⎛⎞ =−=− ⎜⎟ ⎝⎠ − 0.50 • Pt tiếp tuyến của đồ thị tại 1 ;0 2 A ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ là 41 42 32 33 yx yx ⎛⎞ = −+⇔=−− ⎜⎟ ⎝⎠ 0.50 VI.b (1 điểm) Đt BC đi qua () 1; 4B − và 1 2; 2 M ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ nên có pt: 14 9 1 2 xy − + = 92170xy⇔−−= 917 ;, 2 t CBC Ct t − ⎛⎞ ∈⇒ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ \ 0.50 () 925 2; 8 ; 1; 2 t AB AC t − ⎛⎞ =− =+ ⎜⎟ ⎝⎠ JJJGJJJG . Vì tam giác ABC vuông tại A nên .0AB AC = JJJG JJJG Suy ra 925 14. 0 3. 2 t tt − +− = ⇔= Vậy ( ) 3; 5C 0.50 VII.b (1 điểm) Điều kiện 4,nn≥∈ ` . Ta có: () 22 0 22 n n kknk n k xCx − = += ∑ . Hệ số của 8 x là 44 .2 n n C − 0.50 ()( ) ( ) 321 32 84921414977490 nnn ACC n nn nnn nn n−+=⇔− −−−+=⇔−+−= () ( ) 2 770 7nn n⇔− +=⇔= Vậy hệ số của 8 x là 43 7 .2 280C = 0.50 VIII.b (1 điểm) 2 43 7 2 22 xx yx xx −+ + ==−++ −− . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. () ;M xy∈ (C) 7 2 2 yx x ⇔=−++ − . Tiệm cận xiên: 220yx xy=− + ⇔ + − = ; Tiệm cận đứng: 2x = 0.50 Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là: 1 2 7 22.2 xy d x +− == − . Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: 2 2dx= − . Ta có: 12 77 2 2. 2 2 dd x x =−= − . Suy ra điều phải chứng minh 0.50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. ------------------Hết------------------ . ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2008-2009) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT. '2 1 12 12 9 0 2 fx x x x=−−=⇔=− 0.25 Bảng biến thi n: x −∞ 1 2 − 1 y ’ + 0 − y 3 2 −∞ 12 Từ bảng biến thi n ta có: Yêu cầu bài toán 33 22 12 12 mm mm