Hàm s liên tc 1 Ch : HÀM S LIÊN TC Ch  bám sát (lp 11 ban CB) Biên son:  THANH HÂN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A/ MC TIÊU: - Cung cp cho hc sinh mt s dng bài tp thng gp có liên quan n s liên tc cu hàm s và phng pháp gii các dng bài ó. - Rèn k nng bin i, din t cht ch. - Góp phn xây dng nng lc t duy lôgic, t duy c lp sáng to. B/ THI LNG: 3 tit C/ NI DUNG: Ch  gm có 3 phn: - Phn A: Tóm tt lí thuyt. - Phn B: Các dng bài tp thng gp. - Phn C: Câu hi trc nghim. D/ CHÚ THÍCH V MC  YÊU CU: - Ch  này thuc loi ch  bám sát, nhm h thng mt s dng bài tp c bn và k nng gii các dng bài ó, giúp nâng cao kh nng t hc ca hc sinh di s hng dn ca giáo viên. - ây là tài liu t hc có hng dn nhm t  c mc tiêu nh ã nêu trên. - Có b sung mt s ít bài tp nâng cao giúp các em hc sinh khá có thêm tài liu tham kho. - - - - - - - - - - - - - Hàm s liên tc 2 A/ TÓM TT LÍ THUYT: I. nh ngha hàm s liên tc: 1) nh ngha 1: Gi s! hàm s ( ) f x xác ∀nh trên khong ( ) ;a b và ( ) 0 ;x a b∈ . Hàm s f  c gi là liên tc ti i#m x 0 nu ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = . Hàm s không liên tc ti i#m x 0  c gi là gián on ti x 0 . 2) nh ngha 2: Hàm s f liên tc trên khong ( ) ;a b nu nó liên tc ti mi i#m thuc khong ó. Hàm s f liên tc trên on [ ] ;a b nu nó liên tc trên khong ( ) ;a b và ( ) ( ) ( ) ( ) lim , lim . x a x b f x f a f x f b + − → → = = II. Mt s nh lí c bn v hàm s liên tc: 1) nh lí 1: a) Hàm a th∃c liên tc trên tp R. b) Hàm phân th∃c h%u t& và các hàm s l ng giác liên tc trên t∋ng khong cu tp xác ∀nh ca chúng. 2) nh lí 2: Gi s! ( ) y f x= và ( ) y g x= là hai hàm s liên tc ti i#m x 0 . Khi ó: a) Các hàm s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , .y f x g x y f x g x y f x g x= + = − = liên tc ti i#m x 0 . b) Hàm s ( ) ( ) f x y g x = liên tc ti i#m x 0 nu ( ) 0 0. g x ≠ 3) nh lí 3: Nu hàm s ( ) y f x= liên tc trên on [ ] ; a b và ( ) ( ) . 0 f a f b < , thì tn ti ít nht mt i#m ( ) ; c a b∈ sao cho ( ) 0 f c = . Nói cách khác: Nu hàm s ( ) y f x= liên tc trên on [ ] ; a b và ( ) ( ) . 0 f a f b < , thì phng trình ( ) 0 f x = có ít nht mt nghim ( ) 0 ; x a b∈ . Hàm s liên tc 3 B/ CÁC DNG BÀI TP THNG GP: Dng1: Xét tính liên tc ca hàm s ti im x 0 . Phng pháp gii: • Tính ( ) 0 f x . • Tìm ( ) 0 lim x x f x → và áp dng ∀nh ngha 1). Ví d 1: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x 0 = 2. ( ) 3 2 8 x 2 2 10 x = 2 3 x khi x x f x khi  − ≠   − − =     Li gii: Ta có ( ) 10 2 3 f = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 8 4 10 lim lim lim lim 2 2 1 2 1 3 x x x x x x x x x x f x f x x x x x → → → → − + + − + + = = = = = − − + − + . Vy hàm s f liên tc ti i#m x 0 = 2. - - - - - - - - - - - - - - - Ví d 2: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x 0 = 1. ( ) 1 x 1 1 1 x = 1 x khi f x x khi  − ≠  =  −   Li gii: Ta có ( ) 1 1f = ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 1 2 1 1 1 x x x x x x f x f x x x x → → → → − − = = = = ≠ − + − + . Vy hàm s f không liên tc ti i#m x 0 = 1. - - - - - - - - - - - - - - - Ví d 3: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x 0 = 2. ( ) 2 2 x > 2 2 5 x 2 x x khi f x x x khi  − −  = −   − ≤  Li gii: Ta có ( ) 2 3f = ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 lim lim lim lim 1 3 2 2 x x x x x x x x f x x x x + + + + → → → → − + − − = = = + = − − . Hàm s liên tc 4 ( ) ( ) 2 2 lim lim 5 3 x x f x x − − → → = − = . Suy ra ( ) ( ) 2 lim 2 x f x f → = Vy hàm s f liên tc ti i#m x 0 = 2. - - - - - - - - - - - - - - - Bài tp t gii: Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m x 0 a) ( ) 2 2 2 3 x 3 9 1 x = 3 4 x x khi x f x khi  − − ≠   − =     (x 0 = 3). b) ( ) 3 2 x 1 1 1 x = 1 4 x khi x f x khi  + − ≠   − =     (x 0 = 1). c) ( ) ( ) 2 5 x > 5 2 1 3 5 3 x 5 x khi x f x x khi −   − − =   − + ≤  (x 0 = 5). - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Dng2: nh ( ) 0 f x  hàm s f liên tc ti im x 0 . Phng pháp gii Tìm ( ) 0 lim x x f x → và ly ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x → = . Ví d 1: ∀nh ( ) 0f # hàm s sau liên tc ti x = 0. ( ) ( ) 2 4 0 x f x x x − − = ≠ Li gii: Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 4 4 2 4 1 1 lim lim lim lim 4 2 4 2 4 x x x x x x f x x x x x → → → → − − − − = = = = + − + − . Vy hàm s ã cho liên tc ti x = 0 khi ( ) 1 0 . 4 f = - - - - - - - - - - - - - - - Ví d 2: Cho hàm s ( ) 1 2 x 3 3 x = 3 x khi f x x a khi  + − ≠  =  −   ∀nh a # hàm s ã cho liên tc ti x = 3. Hàm s liên tc 5 Li gii: Ta có ( ) 3f a= ( ) ( ) 3 3 3 3 1 2 ( 1) 4 1 1 lim lim lim lim 3 4 1 2 ( 3) 1 2 x x x x x x f x x x x x → → → → + − + − = = = = − + + − + + . Vy hàm s ã cho liên tc ti x = 3 khi 1 . 4 a = - - - - - - - - - - - - - - - Bài tp t gii: a) ∀nh ( ) 9f # hàm s sau liên tc ti x = 9 ( ) ( ) 3 9 . 9 x f x x x − = ≠ − b) Cho hàm s ( ) 2 1 1 x 0 3 x = 0 x x khi f x x a khi  + + −  ≠ =    ∀nh a # hàm s ã cho liên tc ti x = 0. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Dng 3: Xét tính liên tc ca hàm s trên khong, on. Phng pháp gii: • Dùng ∀nh ngha. • Dùng ∀nh lí c bn. Ví d 1: Ch∃ng minh hàm s ( ) 2 8 2f x x= − liên tc trên on [ ] 2;2 .− Li gii: Hàm s ( ) 2 8 2f x x= − xác ∀nh trên on [ ] 2;2 .− ( ) 0 2;2x∀ ∈ − ta có ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 lim lim 8 2 8 2 x x x x f x x x f x → → = − = − = Vy hàm s ã cho liên tc trên khong ( ) 2;2 .− Mt khác: ( ) ( ) 2 ( 2) ( 2) lim lim 8 2 0 2 x x f x x f + + → − → − = − = = − ( ) ( ) 2 2 2 lim lim 8 2 0 2 x x f x x f − − → → = − = = Do ó hàm s ã cho liên tc trên on [ ] 2;2 .− - - - - - - - - - - - - - - - Hàm s liên tc 6 Ví d 2: Ch∃ng minh hàm s ( ) 3 1 x 1 1 3 x = 1 x khi f x x khi  − ≠  = −    liên tc trên R. Li gii: Hàm s xác ∀nh trên R. + Nu 1x ≠ thì ( ) 3 1 1 x f x x − = − Do ( ) f x là hàm phân th∃c có tp xác ∀nh ( ) ( ) ;1 1;D = −∞ ∪ +∞ nên ( ) f x liên tc trên các khong ( ) ( ) ;1 ; 1;−∞ +∞ . + Nu 1x = thì ( ) 1 3f = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 3 1 1 x x x x f x x x f x → → → − = = + + = = − Suy ra ( ) f x liên tc ti 1x = . T∋ hai kt qu trên ta có ( ) f x liên tc trên R. - - - - - - - - - - - - - - - Bài tp t gii: a) Ch∃ng minh hàm s ( ) 1 2 f x x = − liên tc trên khong ( ) ;2 .−∞ b) Ch∃ng minh hàm s ( ) 2 3 2 x 2 2 1 x = 2 x x khi f x x khi  − + ≠  = −    liên tc trên R. c) Ch∃ng minh hàm s ( ) 3 1f x x= − + liên tc trên khong [3; ).+∞ d) Cho hàm s ( ) 2 2 x 1 1 x = -1 x x khi f x x a khi  − − ≠ −  = +    ∀nh a # hàm s ã cho liên tc trên R. - - - - - - - - - - - - - - - Dng 4: Chng minh mt phng trình có nghim. Phng pháp gii: S! dng kt qu: Nu hàm s ( ) y f x= liên tc trên on [ ] ;a b và ( ) ( ) . 0f a f b < , thì phng trình ( ) 0f x = có ít nht mt nghim ( ) 0 ;x a b∈ . Hàm s liên tc 7 Ví d 1: Ch∃ng minh rng phng trình 7 5 3 2 0x x+ − = có ít nht mt nghim. Li gii: Xét hàm s ( ) 7 5 3 2f x x x= + − Ta có ( ) f x liên tc trên R Và ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 . 1 0 1 2 0 f f f f  = − <   <  = >   Nên phng trình ( ) 0f x = có ít nht mt nghim ( ) 0 0;1x ∈ , vy bài toán  c ch∃ng minh. - - - - - - - - - - - - - - - Ví d 2: Ch∃ng minh phng trình 2 sin cos 1 0x x x x+ + = có ít nht mt nghim ( ) 0 0;x π ∈ . Li gii: Ta có hàm s ( ) 2 sin cos 1f x x x x x= + + liên tc trên R Và ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 . 0 1 0 f f f f π π π  = >   <  = − + <   Nên phng trình ( ) 0f x = có ít nht mt nghim ( ) 0 0;x π ∈ . (pcm) - - - - - - - - - - - - - - - Ví d 3: Ch∃ng minh phng trình ( ) ( ) 3 1 2 2 3 0m x x x− − + − = luôn có nghim vi mi giá tr∀ ca m. Li gii: Ta có hàm s ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 3f x m x x x= − − + − liên tc trên R Và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 . 2 0 2 1 0 f f f m R f  = − <   < ∀ ∈  = >   Nên phng trình ( ) ( ) 3 1 2 2 3 0m x x x− − + − = luôn có nghim vi mi giá tr∀ ca m. (pcm) - - - - - - - - - - - - - - - Ví d 4: Ch∃ng minh phng trình 2sin sin 2 1 0x m x+ + = luôn có nghim vi mi giá tr∀ ca m. Li gii: Ta có hàm s ( ) 2sin sin 2 1f x x m x= + + liên tc trên R Và 3 0 2 . 0 2 2 1 0 2 f f f m R f π π π π    = >            − < ∀ ∈             − = − <       Hàm s liên tc 8 Nên phng trình 2sin sin 2 1 0x m x+ + = luôn có nghim vi mi giá tr∀ ca m. (pcm) - - - - - - - - - - - - - - - Bài tp t gii: 1) Ch∃ng minh phng trình 3 3 1 0x x− + = có 3 nghim phân bit. 2) Ch∃ng minh phng trình 4 3 0x x− − = có nghim ( ) 0 1;2x ∈ và 7 0 12.x > 3) Ch∃ng minh vi mi giá tr∀ ca m, các phng trình sau luôn có nghim: a) ( ) ( ) 3 1 2 2 3 0m x x x− + + + = b) 4 2 2 2 0x mx mx+ − − = c) 2cos cos 2 1 0x m x+ − = - - - - - - - - - - - - - - - Chú ý: Nu iu kin liên tc ca hàm s f trên on [ ] ;a b không còn thì không th# kt lun v s tn ti nghim ca phng trình ( ) 0f x = trên khong ( ) ; .a b Ví d: Hàm s ( ) 1 f x x = có ( ) ( ) 1 . 1 1 0f f− = − < , nhng phng trình 1 0 x = vô nghim. - - - - - - - - - - - - - - - C/ CÂU HI TRC NGHIM: 1) Cho hàm s ( ) ( ) 1 1 0 x f x x x + − = ≠ . Hàm s ó liên tc ti 0x = khi ( ) 0f có giá tr∀ là: A. -1 B. 1 2 C. 1 D. 2 2) Cho hàm s ( ) 3 3 1 2 3 x khi x f x x m khi x −  ≠  = + −   =  . Hàm s ó liên tc ti 3x = khi m có giá tr∀ là: A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 3) Cho hàm s ( ) 1 0 0 khi x f x x a khi x <  =  + ≥  . Hàm s ó liên tc ti 0x = khi a có giá tr∀ là: A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 Hàm s liên tc 9 4) Hàm s nào trong các hàm s sau ây không liên tc trên R? A. ( ) 4 2 2 1f x x x= − + B. ( ) sin 2cosf x x x= + C. ( ) 1 1 1 2 1 x khi x f x x khi x −  ≠  = −   =  D. ( ) 2 1 1 1 2 1 x khi x f x x khi x  − ≠ −  = +   = −  5) Hàm s nào trong các hàm s sau ây gián on ti 0x = ? A. ( ) cotf x x= B. ( ) 0 0 x khi x f x x khi x  ≥  =  − <   C. ( ) 1 1 0 1 0 2 x khi x x f x khi x  + − ≠   =   =   D. ( ) 2 0 0 0 x x khi x f x x khi x  + ≠  =   =  6) Tìm kh(ng ∀nh sai trong các kh(ng ∀nh sau: A. Phng trình sin cos 1x m x+ = có nghim .m R∀ ∈ B. Phng trình 3 2 1 0x ax bx+ + − = có nghim , .a b R∀ ∈ C. Hàm s ( ) 1 1f x x= + − liên tc trên khong [ 1; )− +∞ . D. Nu hàm s ( ) f x có ( ) ( ) . 0f a f b < , thì phng trình ( ) 0f x = có ít nht mt nghim ( ) 0 ;x a b∈ . 7) Cho phng trình 3 4 1 0x x+ − = , kh(ng ∀nh nào sau ây sai? A. Hàm s ( ) 3 4 1f x x x= + − liên tc trên R B. Phng trình 3 4 1 0x x+ − = luôn có ít nht mt nghim. C. Phng trình 3 4 1 0x x+ − = có nghim ( ) 0 ;0x ∈ −∞ D. Phng trình 3 4 1 0x x+ − = có nghim ( ) 0 1;1x ∈ − 8) Cho hàm s ( ) 4 2 1f x x mx= + − , kh(ng ∀nh nào sau ây sai? A. Hàm s ( ) f x liên tc trên R B. Phng trình ( ) 0f x = có nghim .m R∀ ∈ C. Phng trình ( ) 0f x = có ít nht hai nghim .m R∀ ∈ D. Tn ti m R∈ sao cho phng trình ( ) 0f x = vô nghim - - - - - - - - - - H)T - - - - - - - - - . − =   − + ≤  (x 0 = 5). - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Dng2: nh ( ) 0 f x  hàm s f liên tc ti im x 0 . Phng. Hàm s liên tc 1 Ch : HÀM S LIÊN TC Ch  bám sát (lp 11 ban CB) Biên son:  THANH HÂN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A/