SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM HỌC 2008 - 2009 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình 3 3 3 1 1 5x x x+ + − = Câu 2. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có: 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + Câu 3. (2,0 điểm) Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 1 11 10 1 9 n n u u u n, n N. + =   = + − ∀ ∈  Tìm công thức tính u n theo n. Câu 4. (2,0 điểm) Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định các số đó. Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’. a) Chứng minh rằng (IJK) song song với các mặt đáy. b) Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy. _________________Hết_________________ ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1. (5 điểm) ( ) 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1 1 5 2 3 1 1 1 5 5 1 5 4 5 0 0 2 5 2 x x x x x x x x x x x x x x ;x . Thö l¹i ta thÊy ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm: x = 0; x = . + + − = ⇔ + − + + − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = ± ± Câu 2: (4 điểm) Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 x x y y y y z z z z x x   + ≥  ÷     + ≥  ÷     ≥  ÷   Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được: 2 2 2 2 2 2 3 2   + + + ≥ + +  ÷   x y z x y z y z x y z x (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được: 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 x y z x y z . . y z x y z x + + ≥ = (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x     + + ≥ + +  ÷  ÷     Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Câu 3: Ta có: 1 2 3 11 10 1 10 11 1 9 102 100 2 10 102 1 9 2 1003 1000 3 u u . u . . = = + = + − = = + = + − = = + Dự đoán u n = 10 n + n (1) Chứng minh: Ta có: u 1 = 11 = 10 1 + 1 công thức (1) đúng với n = 1. Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: u k = 10 k + k Ta có: u k + 1 = 10(10 k + k) + 1 - 9k = 10 k+1 + (k + 1). Công thức (1) đúng với n = k + 1. Vậy u n = 10 n + n, n .∀ ∈ ¥ Câu 4. (4 điểm) Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 A B M D I N C H ( ) ( ) 4 1 2008 2 2 1 4016 2 251 m m mk m k m . − ⇒ + = ⇒ + − = = Nếu m lẻ ⇒ 2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 2 4 (không xảy ra) Nếu m chẵn ⇒ 2k + m - 1 lẻ. Ta có: 4 2 1 251 2 k m m + − =   =  16 118 m k =  ⇒  =  Vậy các số cần tìm là 118, 119,…133. Câu 5. (3 điểm) Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có: ABM HBM(c.g.c) vµ CBN = HBN(c.g.c).∆ = ∆ ∆ ∆ Do đó: MH = AM và NH = CN. · · · · 0 0 90 90BHM BAM vµ BHN BCN .= = = = Suy ra M, H, N thẳng hàng, BI vuông góc với Mn tại H và MN = AM + NC. Vậy ( ) 1 1 2 2 BMN S BH.MN a AM NC .= = + Vì AM = 3MD nên 1 3 4 4 MD a;AM a.= = Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông MDN, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 16 7 1 3 25 2 4 7 56 BMN MN MD DN AM NC MD DC NC a a a x a x x a Suy ra : S a a a . = + ⇔ + = + −   ⇔ + = + − ⇔ =  ÷     = + =  ÷   . GD&ĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM HỌC 2008 - 2009 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1. (2,0. 3 11 10 1 10 11 1 9 102 100 2 10 102 1 9 2 1003 1000 3 u u . u . . = = + = + − = = + = + − = = + Dự đoán u n = 10 n + n (1) Chứng minh: Ta có: u 1 = 11