Đang tải... (xem toàn văn)
Về nhóm con của nhóm so(3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ THẾ KHÔI THÁI NGUYÊN - 2008 ờ ó ó é q t ệ ề tr ĩ ự ủ t ọ ó ó ột ố tợ ể ợ ứở ề t ọ ố tợ ợ trì tr ó ủ ó s ở é q ó ữ q trụ óó é q ợ q t ứ ó ó ứ ụtr í tết s ột í tết ứ q trì ủ ủ ột số ữ ì ệ trớ tr ổ ủ ột ọ ú t ỉ t tr tì ểết q số t tý trì ợ í tết s t số ứ tr tì ể trú số ủ ó G(p, q) s ở é q q trụ ó ớ ó q ợt 2/p 2/q ú t ứ ó ớ ú ý t ó ột số ết q ớ s ế p q G(p, q) ó ữ ế p q G(p, q) ó ịệ ữ G(4, 4) ó ố ứ ủ ì ò tt trờ ợ G(p, q) trù t tr ợ trì t ủ t r ết qí t ủ í ị í trú ị í ỉ rr ó G(p, q) ớ tí tự tí tự ớ ó ủ ó ó ó ị ệ ết q tế t ị í ề t ủ tử ó r ọ tử ủ óG(p, q) ề ó tể ể ễ ột t ớ tí ủ ột số tử ó ụ tể ị í r tr ố ò ứ ột í ụ ề ó ủ ó sở é q ớ ó q tí ủ 2 ớ ột số tỉ sệt sử ụ ĩ tt ứ ợột số trờ ợ ó tr í ụ ớ ó tự s ở tử ồ ể ớ tệ ệ tí t tr í ụ ọ ề é q tr é q ó tự tí tự tí tự ớ ó ụ ụ s trì ữ ộ í ủ ồ P trì ể ễ ó G(p, q) P trì í t ỗ tử ủ ó G(p, q) trì t ột í ụ ứ ề ó é qG(v, 4) tr ó ó ó q v ột số tỉ trớ ớ 2 ótrì í ụ ứ ớ ề ó G(, 4) ớ eit cos() s ệt ợ t ớ sự ớ t tì ủ s ũế tỏ sự í trọ ò ết s s tớ tr trọ t P s ọ P t tr ị t ế tứ sở tr trọ ệ ồ ệ trờP tr trọ ữ ờ t ớ ọ t ộ ú ỡ t tr q trì t ế tứ ị ột số ị ĩ ết q s Pé q tr é qPé q ó ột tử ủ ó t ị ĩé q q trụ ủ ệ trụ tọ ộ tr ề ớ ó q ị ĩ Pé q q trụ ớ ó q tr ề ớ ệ trụ t ộ ề ó ột tử ủó ó tr t ứ 1 0 00 cos sin0 sin cos.í ệ RxRx=1 0 00 cos sin0 sin cos. ũ ị ĩ t tự é q Ry Rzt ứ q trụ ớ tr t ứ ợt cos 0 sin0 1 0sin 0 coscos sin 0sin cos 00 0 1. ề tr ủ tế tí ó tể t P tế ttrì ý tết ó tự ể ễ ó tí tự tí tự ớ ó t ó tự ị ĩ ột t S ủ ó F ợ ọ sở tự ủF ế ọ : S G từ ột t S ế ó G ề ó tể ở rộ t t ột ồ : F G s (s) = (s), s S t ó s ồSFG!ột ó F ợ ọ ó tự ế ó ó ột t sở tự ủ F í ụ ét ó C ợ ết t ố ồ ỹ từ ủ tử a ó C ó C = { ., a2, a1, 1 = a0, a = a1, a2, a3, .}, é ợ ị ĩ ai.aj= ai+jớ i, j Z ó C ột ó tự ớ sở tự t S {a}.t ế : S G ột t ì (a) = g G tì ồ ở rộ : C G ợ ị ĩ ở (ai) = gi. ể ở rộ t ú ý r C ò ó ột sở tự ữ ó t {a1} ó sở tự t ủ C. tự t ũ óó số Z ớ C ó tự ớ sở tự {1} {1} ể ễ ó ở tử s ệ tứ ố t ó ết r ột tử s r ó r ột q ệ ữ ú tờ ù í ệG = a1, a2, a3, .|u1= v1, u2= v2, .,tr ó ai í tự uj, vj từ t ở ai tr ó t u = v uv1= 1 ì tế t ó tể ể ễ ó ớ tG = a1, a2, .|r1= 1, r2= 1, .,tr ó ri= uiv1iớ i = 1, 2, 3, . ể t í ệG = a1, a2, .|r1, r2, ị ĩ ột ể ễ P = S|D ột ồ ột tS tử s ột t D từ tr S ọ ệ tử ị ĩó ể ễ ở P í ệ gp(P ) ó FS/NDtr ó FSó tự ớ sở tự S ND ó t ủ D tr FSó ó t ỏ t ủ FSứ D. ó ế r D tìr ND ì tế r = 1gp(P )ế G = gp(P ) t tờ ết G = S|D tết ệt ó sự t ó ó ột ể ễ P = S|D ọ ữ s ế S ó ữ tử q ệ ữ ế D ó ữ tử ế S D ề ó ữ tử tì P ột ể ễ ữế S = {a1, a2, a3, .}, D = {r1, r2, r3, .} t sử ụ í ệP = a1, a2, a3, .|r1, r2, r3, .,tr trờ ợ riợ ọ ệ tử P = a1, a2, .|r1= 1, r2= 1, .,tì ri= 1 ọ ệ tứ í ụ ó C ợ ết t ố ớ tửs a ó ể ễ C = a| ớ ệ tử ị ĩ rỗ ổ qt ó tự FSớ sở tự S ó ể ễ F = S|. ó ữ Cnó ó ể ễ Cn= a|an= 1. í tự ị ĩ sử H K ó ó ợ ọ tí tự ủ H K ế ó ồ iH: H L iK: K L t ề ệ s ớ ọ ồ : H G : H Gtr ó G ó t ì tì ó t ồ : L G s = iH = iK ó ể ồH L KGiH!iK t õ ể ồ ễ t r tí tự ủ H K t s ột í ệ ó H K.ễ t r tí tự tồ t ì t ó tể ết r ể ễ H K sử H K ợ ở ể ễ H = S|D K = T |E t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết S T ờ tứ S T = ì ể ễ H K ó H K = S T |D E ị ĩ ò ỏ iH iK ữ ồ s ởsự tr ữ tử s ề t ết ị ĩ : H K H t ứ s s t 1 ớ ọ s H ọ t K tì ột ồ iH ồ ồ t tr H ó iH t ũ ó H K = {1} tự iK ố ù ồ , tr ị ĩ ợ ở(s) = (s) ớ ọ s S (t) = (t) ớ ọ t T tì ịột ồ từ ị ĩ t ị t r ù ột ị ĩ tì tí tự H K ó tự ứ H K ó H K ợ ọ tử tự ủ H K í ụ Zp= |p= 1 Zq= |q= 1 tìZp Zq= , |p= 1, q= 1,Zp Zq= , |p, q.ột ể tứ ột từ tr H K ột tí ó h1k1h2k2ã ã ã hmkmtr ó hi H ki K q ớ t từ ó tể ột h1 km ợ ể ễ tứ ố ủ ể tứ ó tể ó ể tứ ó tể ó ộttr ố h1k1h2k2ã ã ã hmkm k1h2k2ã ã ã hmkmtr ó h1ợ ể ễ h1k1h2k2ã ã ã hmtr ó km ợ ể ễ k1h2k2h2ã ã ã hmtr ó km ợ ể ễố tử ợ ể ễ ọ ộ ủ từ từ ể tứrỗ ó ộ ột ể tứ ợ ọ rút ọ ếỗ hi= 1H ki= 1K ể ễ ế ột ể tứ ợ rút ọ ó sẽ ột ể tứ t ợ ờ ột tr tử ộ ú ó ế hi= 1Hể tứ h1k1ã ã ã ki1hikiã ã ã hmkmó tể t tế ểtứ h1k1ã ã ã hi1(ki1ki)hi+1ã ã ã hmkmó ít sự ể ễ ù ó tử ế tụ t ố ù t ế ột ể tứ rút ọ ể ễ ù ột ó tử ú ý r ể tứ rỗ ể tứ ợ rút ọừ í ở tr t ó ị í ó tể ứ tết tr tr ị ý ị í tỗ tử ủ H K ợ ể ễ ột ể tứ t ó h1k1h2k2ã ã ã hmkmớ hi= 1H ki= 1K ự t ở ó ĩ ế ể tứ tr H K ụ tểh1k1ã ã ã hmkm= h1k1ã ã ã hnkntr H K tì n = m ỗ hi= hitrH ỗ ki= kitr K ớ ọ i = 1, 2, , m í tự ớ ó tổ qt ệ ự tí tự s sử H K ó ột ó ì tế ó ột é ú : M H : M K ố ó tự t ứ H K ó ủ ú (M) (M) trù tứ H K = (M) = (M) ị ĩ ó L ợ ọ tí tự ủ H K ớ ó M ế ó iH: H L iK: K L s iH = iK t ề ệ s ỗ ồ : H G : K G s = tr ó G ó t ì tì ó t ồ : L G t = iH = iK ó ểồMH L KGiH!iK õ ể ồ tr t ễ ỉ r r tí tự L ủ H Kớ ó M t s ột í ệ L = H MKũ ễ ỉ r r tí tự ớ ó tồ t ì tó tể ết r ể ễ L = H MK sử H K ợ ở ểễ H = S|D K = T |E sử M = Q|V t ổột tr ữ ế tết t ó tể tết S T = ì ểễ H MK t ợ ở sự t ù ồ t ủ M ó H MK = S T |D E, (q) = (q), q Q. iH iKò ỏ ồ s t ộ tửs ề ữ t ó tể ỉ r HK = (M) = (M)ố ù ồ tr ị ĩ ợ ở(s) = (s), s S (t) = (t), t T tì ị ột ồ ồ t t ị ĩ r trờ ợ M ó t tờ tì H MK q ề tí tự H Kó í ệ ù ợ tờ ợ sử ụ ó A = (M) H B = (M) Ktì A, B ớ q ồ = 1: A B ótí tự ớ ó A = B tờ ợ í ệ H A=BK ợ ể ễ ớ t sH A=BK = S T |D E, a = (a), a (Q). í ụ ét ó H = c| K = d| ớ ó t ứ A = c2 B = d3 A B ớ q c2 d3tì tí tự t ứ ủ ú G = H A=BK = c, d| c2= d3.ể sử ụ ó ệ q tí tự ớ ó t ột ểtứ í t t ỗ tử ữ ể tí t ú ũ ể ứ ữ ể tứ G = H A=BK ột tí tự ớ ó í ệ ột từ ột ể tứ ũ ố tr tí tự õ rỗ tử g G ột ể tứ ó ó ột sốú ý tết t ết H K ợ ú G ì tế t ể tứ ó tự ở tr G [...]... là nhóm nhị diện Trong các trường hợp (ii), (iii) ta có thể giới thiệu thêm phần tử sinh mới à mà sau đó ta đặt bằng p/2 và trong trường hợp (iii) ta giới thiệu mới và đặt bằng q/2 Nhóm con của nhóm G(p, q) sinh bởi và là Dp , nhóm con của nhóm và G(p, q) sinh bởi và là Dq Trong trường hợp (iii), à sinh ra nhóm con D2 2.1.7 Hệ quả tích tự do Nếu p Zp Nếu Z2 4 p và 2.1.8 Chú ý 3 lẻ thì nhóm. .. 4) trong đó m = [p, q] Điều này cho ta một tích tự do với nhóm con chung D4 là Dm trong đó 2.2 D4 G(4, 4), /2 D4 là nhóm con sinh bởi Rx và Rz Dạng chính tắc nhóm G(p ,q) Phần này ta xây dựng dạng chính tắc cho mỗi phần tử của nhóm Do (2.15) G(p, q) G(p, q) luôn là nhóm con của nhóm G(pq, 4, 1) nên đầu tiên ta xây dựng 24 dạng chính tắc cho nhóm G(m, 4, 1) với m là số nguyên bất kì (trường hợp m =... nghiên cứu về nhóm G(v, 4) 2/4 v Rx , Ry trong đó = v là tích của một số vô tỉ cho trước với 2 Sau đó có định lí nghiên cứu bước đầu về nhóm 2/4 G(, 4) = Rx , Ry với ei là siêu việt 3.1 Biểu diễn cho nhóm G(v,4) Cho v = 2 tan1 (1/2) = tan1 (4/3) Trong không gian 3 chiều, xét nhóm /2 v G(v, 4, 4) sinh bởi T = Rx , Rx và /2 Ry Xét nhóm con G(v, 4, 1) sinh bởi /2 v T = Rx và Ry , và xa hơn là nhóm con G(v,... dạng chính tắc của G(4m, 4, 1) m không chia hết cho 4 thì g được viết như là tích của các ma trận mà bản thân G(m, 4, 1) / (ii),Việc lấy những giá trị của Có một nhóm con H1 của H mà có thể được giao hoán (hoặc không giao hoán) (tức là hoán đổi vị trí với được hấp thụ vào W được hiểu như sau ST a hoặc không) qua luỹ thừa của ST a hoặc ST a (tức là cùng ST a tạo thành một luỹ thừa mới của ST a ) Nhân... trọng nhất của luận văn đó là biểu diễn cho nhóm G(p, q) (Định lí 2.1.2) và chỉ ra dạng chính tắc cho mỗi phần tử của nhóm G(p, q) (Định lí 2.2.1 và 2.2.6) 2.1 Biểu diễn nhóm G(p,q) 2.1.1 Định nghĩa quay 2/p A = Rx , Cho các số nguyên dương 2/l L = Ry , 2/4 S = Ry quay quanh trục Ox với góc quay , p, l, q Ta định nghĩa các phép 2/q B = Rz Trong đó 2/p Rx là phép 2/p Gọi G(p, l, q) = A, L, B là nhóm sinh... H = G(4, 4, 1) là nhóm 24 phần tử sinh bởi S và U , H1 là nhóm con 8 phần tử sinh bởi S 2 và SU S 1 , và H = H1 S 3 H1 U H1 (iii), Khi m chia hết cho 4, dạng chính tắc (2.16) là quan hệ đóng với tích tự do với nhóm con chung (2.15) Những lớp không tầm thường của G(4, 4)/D4 được biểu diễn bởi S và SU 1 Trong khi những lớp không tầm thường của Dm /D4 được biểu diễn bởi T a , với a (0, m/4) Nhân chúng... bước và sự phức tạp đến từ luỹ thừa của có 8 phần tử nhóm con H1 của H sinh bởi SU S 1 và S 2 của những phần tử có thể được giao hoán qua (hoặc hấp thu vào) dạng U Nhắc lại rằng ta ST a Ta viết gg 1 dưới W ST a1 ã ã ã ST an S 1 (SEW )ST a1 ã ã ã ST an E và SEW có thể được biểu thị là xh, trong đó x {I, S 3 , U } và h H1 Ta có thể đẩy h theo tất cả các cách về bên phải cho biểu thức có dạng W ST... (y u z v + y u z v )/y 2 2i I / 19 Chứng minh (Bổ đề 2.1.4) Bản chất của việc chứng minh bổ đề này là ta phải đếm số mũ tử (1 + y) sao cho (1 + y)w (y u + y u ) là bội của 2 trong Z[y] (Cần nhớ là ta xét trong Z[y] chứ không phải trong Z[x]) Ta có một số tính chất về luỹ thừa của (1) Nếu (vì và w của nhân 2q k = c là một luỹ thừa của 2 thì (1 + y)c 1 + y c 1 y c (mod 2) 2q k!(2q k)! và t1 1 + y2... cho 4 và G(p, q) = G(m, 4, 1) của ta chỉ là một trường hợp đặc biệt), đó chính là nội dung Định lí 2.2.1 Trong các trường hợp còn lại p chẵn và q không chia hết cho 4, Định lí (2.2.6) cho dạng chính tắc mỗi phần tử nhóm G(p, q) như là tích các phần tử sinh của nhóm G(p, q) Ta vẫn định nghĩa Nhớ rằng , 2/m T = Rx và định nghĩa thêm 2/4 U = Rx S, U là hai phần tử sinh ra nhóm G(4, 4, 1) 2.2.1 Định lý... q) là đẳng cấu với Dq , trong đó p/2 Zp chẵn và với nhóm con chung q/2 Dq 4 chẵn và q q = 2s, s D2 p/2 Dp là Dp D2 3 Dq được đồng nhất với lẻ thì Trong đó được đồng nhất với Trong trường hợp (iv), G(p, q) à Dq đẳng cấu với tích tự do Dp được đồng nhất với à Dq G(p, q) không thể tổng quát được viết như là một tích tự do với nhóm con chung của Zp (hoặc Dp hoặc G(p, 4) với Zq ( hoặc Dq hoặc G(4, . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05