Đang tải... (xem toàn văn)
Về nguyên lý nhân tử LAGRANGE
1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHẠM PHÚC LONGVỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬLAGRANGEChuyên ngành: Giải tíchMã số: 60 46 01LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS. TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀThái Nguyên- Năm 2010Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2MỤC LỤCMở đầu: . 2Chương I. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁNTỐI ƯU TRƠN.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị .51.1.1 Khả vi Gateaux và khả vi Frechet .51.1.2 Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử 91.1.3 Định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn .101.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn 121.2.1 Phát biểu bài toán 121.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều 171.2.3 Trường hợp tổng quát .27Chương II. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁNTỐI ƯU LỒI.2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi 312.1.1 Tập lồi .312.1.2 Hàm lồi .322.1.3 Tập Affine .342.1.3 Các định lý tách .352.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi 362.1.6 Định lý cơ bản về dưới vi phân của tổng các hàm lồi .382.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu lồi .432.2.1 Bài toán không có ràng buộc .442.2.2 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 442.2.3 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức 47KẾT LUẬN 55TÀI LIỆU THAM KHẢO 56Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3MỞ ĐẦUTrong cuộc sống, ai cũng mong muốn công việc hàng ngày của mìnhđược hoàn thành một cách tốt nhất. Ai cũng tự đặt ra hai câu hỏi chính:Làm thế nào để công việc hoàn thành tốt nhất, và khi tốt nhất thì được cáigì? Như vậy, chẳng qua mọi người cũng phải giải các bài toán tối ưu củamình theo một nghĩa nào đó. Một vấn đề quan trọng nhất đặt ra cho mỗibài toán tối ưu là: Với điều kiện nào, bài toán có nghiệm, và nếu có nghiệmđiều gì sẽ xảy ra. Tất nhiên, điều kiện càng đơn giản thì việc tìm nghiệmcàng dễ. Biết được điều gì xảy ra nếu có lời giải, thì việc tìm ra lời giảicàng dễ dàng hơn.Ta biết trong bài toán tối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập chấp nhậnđược (hay tập ràng buộc) và Hàm mục tiêu xác định trên tập đó. Vậy thìkhi xét đến điều kiện để tồn tại nghiệm tối ưu, ta phải quan tâm tới cácđiều kiện, tính chất của hai đối tượng ấy. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệmvà tìm ra phương pháp giải nghiệm, người ta thường phân loại các bài toántheo cấu trúc của tập chấp nhận được và tính chất hàm mục tiêu của bàitoán. Trong luận văn này, tác giả đề cập tới hai loại bài toán chính sau:1. Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức.Cụ thể:Cho X, Y là các không gian Banach, hàm f xác định trên X, ánh xạF : X −→Y. Bài toán:f (x) −→ infF(x) = 0.được gọi là bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức nếu hàm fvà ánh xạ F thỏa mãn tính trơn.2. Bài toán tối ưu lồi.Cụ thể:Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A ⊂ X là mộttập lồi đóng không rỗng. f ,gi: X −→R = R∪{±∞} và hj: X −→ Rlà những hàm affine. Bài toán quy hoạch lồi tổng quát cho dưới dạngSố hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4sau:min f(x)x ∈ Agi(x) ≤ 0 (i = 1,2, . ,m)hj(x) = 0 (j = 1,2, . , p).Trong giải tích cổ điển, ta đã biết định lý Weierstrass nổi tiếng: “ Mộthàm số liên tục trên tập compact luôn đạt cực đại và cực tiểu”. Những mởrộng hay biến dạng khác nhau của định lý này chỉ ra nhiều điều kiện đủcho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu. Khi hàm số khả vi, một điểmlà nghiệm tối ưu của bài toán không có ràng buộc, thì đạo hàm của nó tạiđiểm này phải bằng không. Đó là điều kiện cần tối ưu. Khẳng định nàyvẫn còn đúng cho hàm lồi với đạo hàm được thay bằng dưới vi phân. Vớiý tưởng như vậy, khi nghiên cứu một bài toán tối ưu có ràng buộc, ngườita tìm cách đưa nó về một bài toán không có ràng buộc hoặc chỉ có nhữngràng buộc tương đối đơn giản. Có thể thấy điều đó trong các công trìnhnghiên cứu của Lagrange về tính biến phân từ cuối thế kỷ XVIII. Đó là:• Xây dựng hàm Lagrange cho bài toán tối ưu.• Tìm các điều kiện để hàm Lagrange đạt cực trị.Chính việc áp dụng rộng rãi nguyên lý nhân tử Lagrange trong các bài toántối ưu đã khiến tác giả chọn đề tài nghiên cứu này.Luận văn trình bày hệ thống và chi tiết một số điều kiện tối ưu cho cácbài toán tối ưu trơn, và bài toán tối ưu lồi được trình bày từ các tài liệuchuyên đề chính [1− 4], và có tham khảo thêm các tài liệu [5− 7]. Cácđiều kiện này được thể hiện thông qua các nhân tử Lagrange. Luận văn baogồm: Phần mở đầu, hai chương và phần tài liệu tham khảo.Chương I: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bàitoán tối ưu trơn. Đầu tiên chúng ta nhắc lại một số kiến thức về khả viGateaux, khả vi Frechet, định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn, sau đó trìnhbày điều kiện cần cấp một và điều kiện cần đủ cấp hai thông qua sự tồn tạicủa vi phân cấp hai và nhân tử Lagrange.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Chương II: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bàitoán tối ưu lồi. Tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi,định lý Moreau-Rockafellar, và định lý cổ điển Kuhn-Tucker về điều kiệncần và đủ của bài toán tối ưu lồi thông qua sự tồn tại của nhân tử Lagrangetương ứng với dưới vi phân tại điểm đó.Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS TrươngXuân Đức Hà, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ bảo tận tình tác giả trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả cũngbày tỏ tình cảm của mình trước sự giúp đỡ, động viên của gia đình, bạn bè,và tập thể học viên cao học Toán K16-ĐHSPTN.Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sựgóp ý của thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.Thái Nguyên, tháng 8, năm 2010.Phạm Phúc LongSố hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ NHÂN TỬLAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠNChương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bàitoán tối ưu trơn thông qua sự tồn tại của các nhân tử Lagrange. Những kếtquả này được tham khảo từ những tài liệu chuyên đề chính [1−4].1.1. Một số kiến thức chuẩn bị.Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về khả vi Gateaux,khả vi Frechet, định lý Hahn-Banach, định lý Ljusternik và định lý hàm ẩn.1.1.1. Khả vi Gateaux và khả vi Frechet.Định Nghĩa 1.1.Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính, U là lân cận của x∈ X, ánhxạ F : U −→Y. Ánh xạ F được gọi là khả vi Gateaux tại x nếu tồn tại toántử tuyến tính liên tục F(x) : X −→ Y thỏa mãn:limt→0F(x +th)−F(x)−tF(x)ht= 0. ∀h ∈ X.Định Nghĩa 1.2.Cho X, Y là các không gian Banach, U là lân cận của x ∈ X, ánh xạF : U −→ Y . Ánh xạ F được gọi là khả vi Frechet tại x nếu tồn tại toán tửtuyến tính liên tục F(x) : X −→ Y thỏa mãn:limh→0F(x +h)−F(x)−F(x)h||h||= 0.Định Nghĩa 1.3.Cho U là tập con mở trong không gian X, ánh xạ F : X −→ Y với X,Ylà các không gian Banach. Nếu với mọi điểm của tập U, tồn tại đạo hàmF(x) và ánh xạ x−→ F(x) là liên tục trong không gian L(X,Y ) trên U thìF gọi là khả vi liên tục trên U , hoặc ánh xạ thuộc lớp C1trên U .Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7Định Nghĩa 1.4.Ta nói rằng, ánh xạ F : X −→ Y là chính quy tại điểm x nếu nó khả viFrechet tại điểm đó, và ImF(x) = Y .Định Nghĩa 1.5.Cho hàm số f (x) xác định trên không gian tôpô tuyến tính X. Điểmx ∈ X thỏa mãn f(x) = 0 được gọi là điểm dừng.Định Nghĩa 1.6.Cho Ω là miền mở, giới nội trong Rn. Hàm số f : Ω −→ R với x ∈ Ω,x = (x1, .,xn). Giả sử f có các đạo hàm riêng∂f∂xi(x), (i = 1, .,n), thìvectơ∂f∂x1(x), . ,∂f∂xn(x)gọi là Gradient của f tại x. Kí hiệu:∇f (x) =∂f∂x1(x), . ,∂f∂xn(x).Ma trận J =∂f∂x1(x), . ,∂f∂xn(x)gọi là Jacobian của f tại x.Nếu∂f∂xi(x) có các đạo hàm riêng thứ j với (j = 1, . ,n), đạo hàm riêngnày được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo các biến i, j của f tại x, và đượckí hiệu là∂2f∂xi∂xj(x), i, j = 1, . ,n. Ma trậnH =∂2f∂xi∂xj(x),i, j = 1, .,n.được gọi là Hessian của f tại x.Ví Dụ 1.1. Tính khả vi của một số hàm và ánh xạ.1) Trong R2hàm f (x1,x2) được cho bởi công thức.1 nếu x1= x220 Trong các trường hợp còn lại.là khả vi Gateaux tại gốc tọa độ.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 82) Ánh xạ affine.Một ánh xạ A : X −→ Y với X,Y là các không gian tuyến tính được gọilà affine nếu:A(x) =λx +a.trong đó a ∈ Y vàλ: X −→ Y là ánh xạ tuyến tính.Nếu X,Y là các không gian Banach,λlà ánh xạ tuyến tính liên tục,thì ánh xạ A là khả vi Frechet tại mọi điểm vàA(x) =λ.Đạo hàm cấp hai của A là:A(x) = 0.(điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa).Nói riêng, đạo hàm Frechet của hàm affinea(x) = x∗,x.làa(x) = x∗tại ∀x.3) Hàm Bậc Hai.Cho X là không gian Banach, B(x1,x2) là hàm song tuyến tính liên tụctrên X ×X, và Q(x) = B(x,x) là một dạng toàn phương. Về bản chất:Q(x +h) = B(x +h,x +h)= B(x,x) +B(x,h) +B(h,x) +B(h,h)= Q(x) +B(x,h) +B(h,x) +o(||h||), (khi h −→ 0).Do đó hàm Q(x) là khả vi Frechet và:Q(x)h = B(x,h) +B(h,x).Nói riêng, nếu X là không gian Hilbert thì mọi dạng bậc hai có thể biểudiễn dưới dạngQ(x) =12λx,x, vớiλ∈ L(X,Y ),λ∗=λ.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9VàQ(x) =λx.Trong không gian hilbert, tổng của một dạng bậc hai với một hàm affineK(x) =12λx,x +x,a +α.gọi là hàm bậc hai. Khi đóK(x) =λx +a.vàK(x) =λ.các đạo hàm còn lại bằng không.Đặc biệt, nếu hàme(x) =12||x||2=12x,x.thìe(x) = x.e(x) = I.e(x) = ··· = 0.4) Chuẩn trong không gian Hilbert.Hàm số f (x) = ||x|| là khả vi Frechet tại mọi điểm khác không vàf(x) =x||x||.Tiếp theo chúng ta nhắc lại định lý Hahn-Banach, toán tử liên hợp, vàmột bổ đề quan trọng đó là, bổ đề về linh hóa tử (annihilator).Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 101.1.2. Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử.Định Lý 1.1. (Hahn-Banach).Cho X là không gian tôpô tuyến tính, A ⊂ X là tập lồi mở, L⊂ X là mộtkhông gian con rời A. Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗trên X thỏa mãn• x∗,x > 0 với ∀x ∈ A.• x∗,x = 0 với ∀x ∈ L.Chúng ta chú ý rằng, tập L⊥= {x∗∈ X∗| x∗,x = 0, ∀x ∈ L} được gọi làlinh hóa tử của L.Hệ Quả 1.1.Cho L là một không gian con đóng của một không gian tôpô tuyến tínhlồi địa phương, thì linh hóa tử của L chứa ít nhất một phần tử khác không.Định Nghĩa 1.7. (Toán tử liên hợp)Cho X,Y là các không gian tuyến tính lồi địa phương,λ: X −→ Y làtoán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, toán tử liên hợpλ∗: Y∗−→ X∗đượcxác định bởiλ∗y∗,x = y∗,λx với ∀y∗∈ Y∗, x ∈ X.Bổ Đề 1.1. (Bổ đề về linh hóa tử)Cho X,Y là các không gian Banach,λ: X −→ Y là toán tử tuyến tínhliên tục thỏa mãn Imλ= Y. Khi đó(Kerλ)⊥= Imλ∗.Định Lý 1.2.Cho ánh xạ F : X −→ Rnvà F(x) =f1(x), . , fn(x)là khả vi Frechettại x0. Ánh xạ F là chính quy tại x0nếu và chỉ nếu các vectơf1(x0), . , fn(x0)là độc lập tuyến tính.Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... của hệ quả (1.3) cũng được suy ra trực tiếp từ định lý (1.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài toán tối ưu lồi, thông qua việc sử dụng các nhân tử Lagrange và khái niệm về dưới vi phân Các kết quả của chương này là của A D... tìm được là cực tiểu địa phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 1.2.3 Trường hợp tổng quát Trở lại bài toán (P1 ), những kết quả sau là tổng quát từ những trường hợp cụ thể, và được thể hiện thông qua định lý (1.10) và hai hệ quả quan trọng sau Định Lý 1.10 (Nguyên Lý Nhân Tử Lagrange) Cho hàm f và ánh xạ F khả vi Frechet tại x thỏa mãn F(x) = 0, với... kiện chính quy, suy ra y∗ = 0 Điều này mâu thuẫn với điều kiện của các nhân tử Lagrange là không đồng thời bằng không Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 • Phương trình (1.21) được gọi là phương trình Euler -Lagrange của bài toán (P1 ) Từ phương trình này ta thấy, x là điểm dừng của hàm Lagrange Chúng ta có hai trường hợp đặc biệt của bài toán (P1 ) 1) Trường... quyết bằng nhiều phương pháp Hàm Lagrange của bài toán (P2 ) có dạng L(x, y, λ ) = f (x, y) + λ h(x, y) ∇L = ∂f ∂x ∂f ∂y + λ ∂h ∂x ∂h + λ ∂y h(x, y) T = (∇ f + λ ∇h, h) Suy ra ∇L = 0 do hệ phương trình phi tuyến (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Giá trị λ gọi là nhân tử Lagrange Phương pháp xây dựng hàm Lagrange và thiết lập để các gradient... = 0 gọi là ràng buộc đẳng thức • Ω = {x ∈ X : F(x) = 0} gọi là tập chấp nhận được Hàm Lagrange của bài toán (P1 ) được thiết lập như sau L(x, λ0 , y∗ ) = λ0 f (x) + y∗ , F(x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên với λ0 ∈ R, y∗ ∈ Y ∗ http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 trong đó λ0 và y∗ gọi là các nhân tử Lagrange Để có một cái nhìn trực quan, chúng ta xét bài toán trong trường hợp cụ thể sau... Đại học Thái Nguyên ∇ f (x)y = 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Định Lý 1.7 (Điều Kiện Cần Cấp Một) Cho x là cực trị địa phương của bài toán (P3 ) Giả sử rằng x là điểm chính quy của các ràng buộc h j (x) = 0, j = 1, , m Khi đó, tồn tại λ ∈ Rm sao cho ∇ f (x) + λ T ∇h(x) = 0 Chứng minh Từ định lý (1.6) ta suy ra rằng, giá trị của bài toán max ∇ f (x)y ∇h(x)y = 0 là bằng không Theo định lý đối ngẫu... Nhận Xét 1.2 Thực ra, không cần các điều kiện của định lý (1.3) mà chỉ dựa vào định nghĩa của vectơ tiếp xúc với tập M tại x0, ta có thể chứng minh được: TM (x0 ) ⊂ Ker F (x0 ) Ý nghĩa thực tế của định lý Ljusternik là chuyển công việc tìm không gian tiếp xúc của một tập (điều mà không dễ dàng tìm được theo định nghĩa) về việc tìm hạch của một toán tử Giả sử ta có hệ gồm m phương trình với n biến số:... (x), φ2 (x), , φm (x), x) = 0, i = 1, , m Định lý hàm ẩn sẽ giúp ta chứng minh cách xác định không gian tiếp xúc của mặt ràng buộc sẽ được trình bày ở phần sau 1.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn Trong mục này chúng ta trình bày điều kiện cần cấp một và điều kiện cần đủ cấp hai thông qua sự tồn tại của vi phân cấp hai và nhân tử Lagrange Đây chính là trường hợp ta hay gặp trong thực... đặc biệt của bài toán (P1 ) 1) Trường hợp 1: Cho X,Y là các không gian hữu hạn chiều, khi đó bài toán có dạng (P5 ) f0(x) −→ in f f1(x) = 0, , fn (x) = 0 (1.22) trong đó, các nhân tử Lagrange là các số λ0, , λn sao cho hàm Lagrange có dạng n L(x, λ0 , , λn ) = ∑ λi fi (x) i=0 Hệ Quả 1.2 Cho các hàm số f0 , , fn thuộc lớp C1 tại x thỏa mãn điều kiện (1.22) Khi đó, nếu x là cực tiểu địa phương... λ gọi là nhân tử Lagrange Phương pháp xây dựng hàm Lagrange và thiết lập để các gradient của nó bằng không, gọi là phương pháp nhân tử Lagrange Ví Dụ 1.2 Tìm các giá trị cực trị của hàm f (x, y) = xy với ràng buộc h(x, y) = x2 y2 + − 1 = 0 8 2 Giải Đầu tiên, ta xây dựng hàm Lagrange và tìm gradient của nó x2 y2 L(x, y, λ ) = xy + λ ( + − 1) 8 2 y + λ4x ∇L(x, y, λ ) = x + λ y = 0 2 x2 + y . 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHẠM PHÚC LONGVỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬLAGRANGEChuyên ngành: Giải tíchMã số: 60 46 01LUẬN. là:• Xây dựng hàm Lagrange cho bài toán tối ưu.• Tìm các điều kiện để hàm Lagrange đạt cực trị.Chính việc áp dụng rộng rãi nguyên lý nhân tử Lagrange trong
