Đang tải... (xem toàn văn)
Phân lớp đối đồng đều các Ann-Hàm tử và các Ann-Phạm trù bện
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI −−−−−−−−− ĐẶNG ĐÌNH HANH PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG Hà Nội - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu viết chung với đồng tác giả Kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các số liệu, kết trình bày trong luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đặng Đình Hanh LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả sinh viên Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn đồng nghiệp Bộ môn Đại số Lý thuyết số, thầy bạn đồng nghiệp khoa Tốn -Tin tạo môi trường công tác nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn Ths Nguyễn Thu Thủy giúp đỡ chân thành Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học BCN khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn GS TS Nguyễn Quốc Thắng, GS TS Lê Văn Thuyết, PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn hai thầy/cơ phản biện độc lập góp ý bổ ích để luận án hồn thiện Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị em hai bên nội ngoại, vợ Gia đình nguồn động viên động lực to lớn tác giả Tác giả Mục lục Mở đầu Bảng ký hiệu Bảng thuật ngữ Sơ đồ liên hệ chương, mục MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phạm trù monoidal bện 1.1.1 ⊗-phạm trù 1.1.2 Phạm trù monoidal 1.1.3 Hàm tử monoidal 1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal 1.1.5 Phạm trù monoidal bện 1.2 Gr-phạm trù P ic-phạm trù 1.3 Ann-phạm trù 1.3.1 Định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù 1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử 1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn 1.4 Đối đồng điều 1.4.1 Nhóm đối đồng điều Mac Lane vành 1.4.2 Nhóm đối đồng điều Hochschild đại số 10 12 14 15 15 15 16 17 18 19 20 21 21 28 29 32 32 35 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN- HÀM TỬ 2.1 Phân lớp đối đồng điều Ann-hàm tử 2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương Ann-hàm tử 2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) 2.1.3 Ann-hàm tử nhóm đối đồng điều chiều thấp vành theo nghĩa Mac Lane 37 37 37 40 42 2.2 2.3 2.1.4 Ann-hàm tử đối đồng điều Hochschild 2.1.5 Ứng dụng Đối ngẫu Ann-phạm trù Mối liên hệ Ann-phạm trù vành phạm trù ANN-PHẠM TRÙ BỆN 3.1 Định nghĩa ví dụ Ann-phạm trù bện 3.2 Tính phụ thuộc hệ tiên đề Ann-phạm trù bện 3.3 Mối liên hệ với phạm trù có tính phân phối M L Laplaza 3.4 Mối liên hệ với phạm trù tựa vành 45 47 50 66 72 72 76 79 82 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN 4.1 86 Ann-hàm tử bện phép chuyển cấu trúc Ann-phạm trù bện thu gọn 4.2 Phân lớp Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) 4.3 Các định lý phân lớp KẾT LUẬN DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHỈ MỤC 86 93 97 102 103 104 109 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù đề xuất S Mac Lane [29], J Bénabou [51] vào năm 1963 Mỗi phạm trù monoidal tựa vị nhóm, tập C thay phạm trù phép toán nhân m : C × C → C thay hàm tử Trong [29], S Mac Lane đưa điều kiện đủ cho tính khớp ràng buộc tự nhiên phạm trù monoidal; điều kiện đủ cho tính khớp lớp phạm trù monoidal đối xứng, tức phạm trù monoidal có thêm ràng buộc giao hoán Bài toán khớp cho lớp phạm trù monoidal thường suy từ kết mạnh hơn: phạm trù monoidal tương đương với phạm trù monoidal chặt chẽ, tức phạm trù monoidal có ràng buộc phép đồng Kết chứng minh vài tác N D Thuận [50], C Kassel [23], P Schauenburg [48] Việc xem xét mối liên hệ phụ thuộc số tiên đề hệ tiên đề phạm trù monoidal đối xứng G M Kelly trình bày [26] Sau này, S Kasangian F Rossi xem xét thêm số mối liên hệ tính đối xứng phạm trù monoidal [24] Phạm trù monoidal "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm, bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (Xem M L Laplaza [28], N Saavedra Rivano [54]) Bây giờ, phạm trù groupoid (nghĩa mũi tên đẳng cấu) ta khái niệm monoidal category group-like (xem A Frăohlich v C T C Wall [16]), hay Gr-category (xem H X Sính [55]), hay nhóm phạm trù [6, 7, 8, 17], 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách gọi gần Các Gr-phạm trù phân lớp nhóm đối đồng điều nhóm H (G, A) (xem [55]) Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hốn, thu khái niệm phạm trù Picard (Pic-phạm trù ) [55], hay nhóm phạm trù đối xứng [5] 2-nhóm đối xứng [12, 19] Tâm phạm trù monoidal giới thiệu A Joyal R Street, khái quát hóa khái niệm tâm vị nhóm Tâm phạm trù monoidal cung cấp cấu trúc bện tự nhiên tầm thường, tensor phạm trù bện hay phạm trù monoidal bện nói chung khơng đối xứng Sau đó, tâm phạm trù xuất công cụ để nghiên cứu nhóm phạm trù [6] nhóm phạm trù phân bậc [17] Trong [11], A Davydov nghiên cứu tâm đầy đại số phạm trù tâm phạm trù monoidal thiết lập bất biến Morita xây dựng cách mở rộng đến phạm trù mơđun Tâm phạm trù monoidal xuất toán đối ngẫu phạm trù monoidal đưa S Majid [32, 33] Trong [20], A Joyal R Street phân lớp nhóm phạm trù bện phạm trù hàm quadratic (dựa kết S Eilenberg S Mac (G, A) Lane biểu diễn hàm quadratic nhóm đối đồng điều aben Hab [13, 14]) Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard) phân lớp H X Sính [55] Tình tổng quát nhóm phạm trù Picard a bi A Frăohlich v C T C Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau này, A Cegarra E Khmaladze gọi phạm trù Picard phân bậc [10]) Các định lý phân lớp đồng luân cho nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc, trường hợp riêng nó, phạm trù Picard phân bậc trình bày theo thứ tự [17], [9], [10] Từ phạm trù xuất 3-đối chu trình theo nghĩa mà lớp tương đẳng phạm trù loại tương ứng với lớp đối đồng điều chiều Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal thu hút quan tâm nhiều tác giả Năm 1972, M L Laplaza [27] nghiên cứu lớp phạm trù có tính phân phối Kết [27] chứng minh định lý khớp cho lớp phạm trù Sau ú, [16], A Frăohlich v C T C Wall đưa khái niệm phạm trù tựa vành với chủ ý đưa hệ tiên đề gọn M L Laplaza [27] Hai khái niệm hình thức hóa phạm trù mơđun vành giao hốn Năm 1994, M Kapranov V Voevodsky [25] bỏ đòi hỏi hệ tiên đề M L Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán phép nhân đưa tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù Họ sử dụng phạm trù không gian vectơ trường K , với tích tenxơ tổng trực tiếp để định nghĩa 2-không gian vectơ K Các phạm trù vành sử dụng công cụ để nghiên cứu phương trình Zamolodchikov [25] Để có mơ tả cấu trúc, để phân lớp đối đồng điều, N T Quang đưa khái niệm Ann-phạm trù [36], phạm trù hóa khái niệm vành, với địi hỏi tính khả nghịch vật mũi tên phạm trù nền, tương tự trường hợp nhóm phạm trù (xem [6, 54, 55]) Những địi hỏi bổ sung khơng phải q đặc biệt, P phạm trù Picard phạm trù End(P) Pic-hàm tử P Ann-phạm trù (xem N T Quang [45]), điều nhắc lại [19] Mặt khác, Ann-phạm trù mạnh phạm trù vành [35] Năm 2008, N T Quang chứng minh lớp tương đẳng Ann-phạm trù hoàn toàn xác định ba bất biến: vành R, R−song môđun M phần tử thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM aL (R, M ) (xem [38]) Trường hợp quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id vật X ) (R, M ) (xem [2]) Từ kết phân lớp nhóm đối đồng điều Shukla HSh phân lớp Ann-phạm trù quy, Trần Phương Dung giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử Ann-phạm trù quy [1] Mỗi Ann-phạm trù xem one-object Gpd-categories luận án M Dupont [12], hay one-point enrichments of SPC V Schmitt [49] Năm 2006, M Jibladze T Pirashvili [22] đưa khái niệm vành phạm trù với sửa đổi từ hệ tiên đề Ann-phạm trù Tuy nhiên, mối liên hệ hai hệ tiên đề Ann-phạm trù vành phạm trù nào? Hai lớp có trùng khơng, lớp chứa lớp hay chúng giao phần? Một vành phạm trù gọi 2-vành theo cách gọi [12, 19] Năm 2010, tác giả F Huang, S H Chen, W Chen Z J Zheng định nghĩa 2-môđun 2-vành đưa biểu diễn 2-vành [19] Bên cạnh kết có Ann-phạm trù, chúng tơi thấy cịn có vấn đề liên quan tới Ann-phạm trù cần nghiên cứu như: toán tồn phân lớp Ann-hàm tử Ann-phạm trù trường hợp tổng quát, mối liên hệ Ann-phạm trù vành phạm trù, tính bện lớp Ann-phạm trù, Vì vậy, chúng tơi viết luận án với tiêu đề: "Phân lớp đối đồng điều Ann-hàm tử Ann-phạm trù bện" để giải vấn đề nêu II Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án bao gồm: sử dụng đối đồng điều vành Mac Lane để nghiên cứu Ann-hàm tử, xây dựng Ann-phạm trù cảm sinh Ann-hàm tử xem xét mối liên hệ hai hệ tiên đề Ann-phạm trù vành phạm trù; đưa định nghĩa Ann-phạm trù bện trường hợp riêng Ann-phạm trù đối xứng, đưa ví dụ, xem xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện tiến hành phân lớp Ann-phạm trù bện III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án bao gồm: Ann-phạm trù, Ann-hàm tử tính bện (và trường hợp riêng tính giao hốn) lớp Ann-phạm trù Phạm vi nghiên cứu luận án toán thường gặp lý thuyết phạm trù với cấu trúc, tốn phân lớp, xây dựng ví dụ cụ thể, nghiên cứu tính chất, mối liên hệ phụ thuộc tiên đề mối liên hệ lớp phạm trù có cấu trúc tương tự IV Phương pháp nghiên cứu Ngoài phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, luận án sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ lý thuyết phạm trù để chứng minh biểu đồ giao hoán, thay cho biến đổi đẳng thức trừu tượng V Những đóng góp luận án Luận án đóng góp số kết Ann-phạm trù Kết sử dụng nhóm đối đồng điều vành Mac Lane để tiến hành giải toán tồn phân lớp Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9) Kết thứ hai luận án xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10) Đây phép dựng ngồi phép dựng Ann-phạm trù đồng cấu quy toán mở rộng vành Kết luận án Định lý 2.3.3 Định lý Ann-phạm trù chứa vành phạm trù Ngược lại, vành phạm trù bổ sung thêm tiên đề tương thích với ràng buộc đơn vị trở thành Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4) Những đóng góp luận án có liên quan đến tính bện lớp Ann-phạm trù Định lý 3.1.6 ra: Tâm Ann-phạm trù Annphạm trù bện nói chung khơng đối xứng, kết tiếp nối kết tâm phạm trù monoidal đưa [21] Trên sở xem xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân ... phạm trù monoidal Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) thu gọn A Ann-phạm trù Ann-phạm trù bện Ann-phạm trù (bện) kiểu (R, M, h) ((R, M, h, β)) vành phạm trù (2-phạm trù) phạm trù. .. xây dựng Ann-phạm trù bện thu gọn Ann-phạm trù bện Trong mục 4.2, chúng tơi giải tốn tồn phân lớp Ann-hàm tử bện Kết chương nằm mục 4.3 Dựa kết Ann-phạm trù thu gọn phân lớp Ann-hàm tử bện, mục... xét mối liên hệ Ann-phạm trù đối xứng với phạm trù có tính phân phối phạm trù tựa vành, xây dựng phạm trù thu gọn cho lớp Ann-phạm trù bện tiến hành phân lớp Ann-phạm trù bện III Đối tượng phạm