Đang tải... (xem toàn văn)
Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- LÊ THỊ MAI QUỲNH ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN NĂM 2008 ụ ụụ ụ ờ P ở ế tứ ị ệ t số í q P tí t số tr ủ tứ rt ủ í ụ ệ t ờ ợ t ớ sự ớ ủ ễự ờ tỏ ò í trọ ết s s t ủ ìế t tỏ ò ết tớ P ị Pễ ố ù t tể t ở Pò t s ọ trờ ọ ọ t tì ú ỡ t tr sốt tờ ọ t t trờ t sự ú ỡ ệt t ủ r rờ ò số tr q trì tựệ ờ ó R ị tr ớ tố m M R ữ s ớ dim M = d x = x1, . . . , xd ệ t sốủ M q = (x1, . . . , xd) t số ủ M s ở x ớ ỗsố n ý ệd,n= {(1, . . . , d) Zd| i 1, 1 i d,di=1i= d + n 1} q() = (x11, . . . , xdd) ớ = (1, . . . , d) d,n ó r ệ t số x ó tí t tí t số ế tứqnM =d,nq()M ú ớ n 1 ột ệ t số trớ ủ M ó tí t tí t số ề rt ứ r ột tử R í q ó tí t tí t số ó t ỉ rr ề ợ ũ ú ỗ tử ủ ớ ủ tr R ữ ọ ò r ột tr ủ R ớdim R 2, tr ó ọ ệ t số ủ R ó tí t tí tsố ó M ỉ tồt ột ệ t số x ó s x ó tí t tí t số ờ t ế sự q t ủ ỏ tr ệ t số tốt ủM ó ột ó tể ợ tr ởtí t tí t số ủ ột ệ t số tốt tế ộ ó ợ trì tr Prtr st rs rtr s sqt s ủ t ễ ự ờ rờ sẽ r ở t í Prr t ụ í ủ trì ột ệ tố tết ết q ủ tr ợ 2 1 ế tứ ị ớ tệ ột số ế tứ ề số ệ t số í q 2 P tí t số trì ột số ổ ề từ ó ế ị ý í ủ ó ề trủ q tí t số ệ q ủ óị ý t ể rị ý (R, m) ị tr M R ữ s ó ệ ề s t M ọ ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số ồ t ệ t số tốt ủ M ó tí t tí t số r ò trì ố q ệ ữ M ể tứ ủ rt t q ịýị ý D : D0 D1 . . . Dt= M ọ ề ủ M t Di= Di/Di1ớ ọ i = 1, . . . , t, D0= D0. ó ệ ềs t M ớ t ỳ t số tốt q ủ M tứl(M/qn+1M) =ti=0n + didil(Di/qDi)ú ớ ọ n 0 ồ t t số tốt q ủ M s tứl(M/qn+1M) =ti=0n + didil(Di/qDi)ú ớ ọ n 0P ố ù ủ sẽ ự í ụ s tỏ ết q í ở tr ế tứ ịụ í ủ ột số ế tứ ề số ợ sử ụ tr ồ ị ĩ ệ ề ổ ề ề ệ t số í q ệ t sốr t sẽ r ệ ột số tí t ề ệt số ột ệ q trọ sốt q trì tự ệ ị ĩ (R, m) ị tr M R ữ s ớ dim M = d tử x = (x1, x2, . . . , xd)xi m , i = 1, . . . , d t lR(M/xM) < ợ ọ ột ệt số ủ M sử (R, m) ị tr M R ữ s ớ dim M = d ệ ề s ột số tí t ủ ệ t số ệ ề ệ ề x1, x2, . . . , xt m ódim(M/(x1, . . . , xt)M) dim M t. tứ s r ỉ x1, x2, . . . , xt ột ủ ệ t sốủ M ệ ề ú ý ế x1, . . . , xd ệ t số ủ M tìớ ọ số 1, . . . , dt ó x11, . . . , xddũ ệ t sốủ M ét x m ó x ột tử ủ ệ t số ủ M ỉ x p ớ ọ p Ass R s dimR/p = d x1, . . . , xd m ị ởxi+1 p, p Ass R(M/(x1, . . . , xi)M), dim R/p = d iớ i = 0, . . . , d 1 ó {x1, . . . , xd} ệ t số ủ Mế t t sẽ r ị ĩ ề rt ị ý tứ rt ột ị ý ổ tế ó ứ ụ ề tr số r t ỉ ị ĩ ị ýù s ứ ị ĩ M ữ s tr ị tr (R, m) ớ dim M = d q ị ĩ ủ M tứ l(M/qM) < ó t ị ĩ ột số ọ rFq,M(n) = l(M/qn+1M). ệ ề ị ý R =t0Rt tr R0 rt ữ s sử r R = R0[x1, . . . , xr] xi di óFq,M(n) ột ữtỷ ủ ữ tồ t tứ Pq,M(n) ớ ệ số ữ tỷ d s ớ n ủ ớ tìFq,M(n) = Pq,M(n). tồ t ữ số e0(q, M)(> 0), e1(q, M), . . . , ed(q, M) sPq,M(n) = e0(q, M)n + dd+e1(q, M)n + d 1d 1+ã ã ã+ed(q, M).ố e0(q, M) ợ ọ số ộ s q s ở ột ệ tsố x = {x1, x2, . . . , xd} t ý ệ e0(q, M) = e(x, M) í q r t sẽ trì ột số ệ ề í q ó ệ ể ị ĩ ộ s ủ ột từ ó ế ịĩ ủ ị ĩ R M R ột tử x R ợ ọ M í q ế 0 :Mx = 0 tứ xa = 0 ớa M, a = 0 ột tử x1, . . . , xnủ R ợ ọ Mí q ế (x1, . . . , xn)M = M xi M/(x1, . . . , xi1)M íq ớ ọ i = 1, . . . , n ệ ề s tí t ủ í q ệ ề ổ ề M R ó ệề s t x1, . . . , xn M í q x1, . . . , xi M í q xi+1, . . . , xn M/(x1, . . . , xi)M í q ớ ọ 1 i n 1. ệ ề ị ý ế x1, . . . , xn M í qtì ớ ọ số 1, . . . , nt ó {x11, . . . , xnn} ũ M í q ệ ề ị ý ế x1, . . . , xn M í qtì ớ ọ ị ủ tử x1, . . . , xnt ợ ột Mí q ệ ề ệ ề ế M R ữ str ị tr x1, . . . , xt M í q tìx1, . . . , xt ột ủ ệ t số ủ Mớ ị ĩ ề í q tr é ế ệ ộs ủ ột ể từ ó ế ệ ị ĩ I ủ R M R ữ s s M = IM ó ộ ự ủ M í q ủI ọ ộ s ủ I ố ớ R M í ệ depth R(I, M)ế (R, m) ị tr t ó tể í ệ ộ s ủ R M depthRM ó tể depth M ệ ề ệ ề (R, m) ị tr M R ữ s ó ị sdepth M dim R/p dim M, p Ass M tế t t ệ ị ĩ M ợ ọ ếM = 0 M = 0 depth M = dim M. R ọ ế ó R ệ ề s tr ủ ệ ề ị ý ế M tì ớ p Ass M t ó dim R/p = dim M ế x1, . . . , xd m M í q tì M ỉ M/(x1, . . . , xd)M ệ ề ú ý ế M tìọ ệ t số ủ M M í q ổ ề ổ ề N ủ M t dim N < dim M M/N x1, . . . , xiột ủ ệ t số ủ M ó (x1, . . . , xi)MN = (x1, . . . , xi)Nứ ứ q t ớ i = 1 t ứ x1M N = x1N ó x1N x1M N t ứ x1M N x1N t y x1M N ó y x1M y = x1m ớ m M s r y = x1m N x1m + N = 0 + N tr M/N tứ x1(m + N) = 0 s r m + N = 0 m N ó y = x1m x1N sử i > 1 ó (x1, . . . , xi)N (x1, . . . , xi)M N (1). a (x1, . . . , xi)M N ó a = x1a1+ ã ã ã + xiaitr ó aj Mớ ọ j = 1, . . . , i ì a N ai (N + (x1, . . . , xi1)M) : xi t ì x1, . . . , xi M/N í q (N + (x1, . . . , xi1)M) :Mxi= N + (x1, . . . , xi1)M [...]... nói x = x1 , , xd có tính chất phân tích tham số Ta sẽ chứng minh trong tiết này rằng M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số tốt x nào đó của M để sao cho x có tính chất phân tích tham số Ta bắt đầu bằng bổ đề về tính chất phân tích tham số của dãy các phần tử chính quy 2.1.2 Bổ đề Cho s là một số nguyên dương và y1 , , ys là M dãy chính quy của các phần tử trong... xdi )Di Chương 2 Phân tích tham số của luỹ thừa iđêan tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy Trong chương này ta sẽ trình bày nội dung chính của luận văn Nội dung chình được chia làm ba tiết Tiết một trình bày về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số Tiết hai sẽ trình bày về đa thức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽ đưa ra một số ví dụ nhằm làm sáng... chính của chương này 2.1.6 Định lý Cho (R, m) là vành địa phương Noether M là R môđun hữa hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy (ii) Mọi hệ tham số tốt của M (iii) Tồn tại hệ tham số tốt của Chứng minh (i) (ii) Cho có tính chất phân tích tham số M x = x1 , , xd là hệ tham số tốt của M Ta phải chứng minh đẳng thức qn M số sinh bởi x và q() = có tính chất phân. .. và độ dài của lọc chiều của môđun Cohen-Macaulay dãy Dt1 là t 1 Do đó theo giả thiết quy nạp ta có d d t1 (x1 , , xdt1 )Dt1 1 t1 (x1 , , xdt1 )Dt1 1 (1 , ,d )d,n (1 , ,dt1 )dt1 ,n = (x1 , x2 , , xdt1 )n Dt1 qn M q()M = qn M Suy ra d,n (ii)(iii) Vì mọi hệ tham số của M có tính chất phân tích tham số nên luôn tồn tại một hệ tham số nào đó của (iii) M có tính chất phân tích tham số (i) Cho... tính chất phân tích tham số = q()M đúng với q là iđêan tham d,n 1 (x1 , , xd ), (1 , , d ) d = d,n Kí hiệu D : D0 D1 , , Dt = M là lọc chiều của M Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo độ dài t của lọc chiều D của M rằng x có tính chất phân tích tham số Thật vậy, với là dãy t = 1 khi đó M là R môđun Cohen-Macaulay, x1 , , xd M chính quy do đó nó có tính chất phân tích tham số Với t > 1... 28 2.2 Đa thức Hilbert-Samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy Phần trên đã cho ta thấy một môđun Cohen-Macaulay dãy M có thể được đặc trưng bởi tính chất phân tích tham số của hệ tham số tốt như thế nào, trong phần này ta sẽ chỉ ra rằng với hàm Hilbert-Samuel M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì Fq,M (n) = l(M/q n+1 M ) là một biểu thức đặc biệt với hệ số không âm, nó có thể tính toán được bằng lọc chiều... 1 12 Mọi hệ tham số tốt tương ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt của M Nhận xét (1) Nếu hệ tham số lọc x = {x1 , x2 , , xd } là hệ tham số tốt tương ứng với F thì x1 , , xd cũng là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F với mọi 1 d số nguyên dương 1 , , d (2) Một hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt tương ứng với bất kỳ lọc thoả mãn thoả mãn điều kiện chiều nào của M 1.3.4 Bổ... Hilbert-Samuel nào của Pq,M (n) với bất kì iđêan tham số tốt q M và với mọi n 1 Hơn nữa môđun Cohen-Macaulay dãy M có thể được đặc trưng bởi biểu thức này của hàm Hilbert-Samuel Trước tiên ta bắt đầu bằng việc chứng minh hai bổ đề sau 2.2.1 Bổ đề Cho q là iđêan tham số tốt của môđun Cohen-Macaulay dãy M Khi đó qn M Di = qn Di với n 1 và i = 0, , t Chứng minh số tốt của Cho q là iđêan tham số tốt của M và... (x1 , , xd )M Hm (M ) = 0 Điều này có nghĩa rằng mọi hệ tham số của M là tốt, do đó theo định lý chính nó có tính chất phân tích tham số (ii) (i) Vì mọi hệ tham số của M có tính chất phân tích tham số nên theo định lý chính 0 M là môđun Cohen-Macaulay dãy hay ta có M/Hm (M ) là môđun Cohen-Macaulay Ta còn phải chứng minh chứng minh phần tử x1 mDt1 = 0 Thật vậy giả sử ngược lại Khi đó tồn tại một... từ dãy khớp ngắn 0 Ds /Ds1 M/Ds1 M/Ds 0 kéo theo Ds /Ds1 là môđun Cohen-Macaulay với s = 1, , t hay M là môđun Cohen-Macaulay dãy 2.1.7 Hệ quả Cho phương thứ dim M 2 0 của M và 0 Hm (M ) ứng với iđêan tối đại là môđun đối đồng điều địa m Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) 0 0 M/Hm (M ) là môđun Cohen-Macaulay và mHm (M ) = 0 (ii) Mọi hệ tham số của M có tính chất phân tích tham số 27 . THỊ MAI QUỲNH ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN. ịụ í ủ ột số ế tứ ề số ợ sử ụ tr ồ ị ĩ ệ ề ổ ề ề ệ t số í q ệ t sốr t sẽ r ệ ột số tí t ề ệt số ột ệ q trọ sốt q trì tự ệ