Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.[r]
(1)SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 LẦN Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x +1 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x-2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Gọi (d) là đường thẳng qua M ( 2; ) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho uuur uuur MA = -2 MB Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình sin x + cos x = cos x Giải phương trình x + x + x + + x x + = (x Ρ) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò x log ( x + ) dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · ABC = 600 , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SA, CD theo a Câu V (1,0 điểm) Cho bất phương trình -4 - x + x + 15 ³ x - x - 13 + m Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với x Î [ -3;5] PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M ( 6; ) và đường tròn (C): ( x - 1) + ( y - ) = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho AB = 10 x -1 y z +1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ( d ) : = = và hai điểm A ( 4; -1;1) , B ( 2;5; ) Tìm -1 điểm M trên (d) cho tam giác MAB vuông M ì8 x - y = 0,5 y -3 ï Câu VII.a (1.0 điểm) Giải hệ phương trình í ïîlog ( x - y ) + log ( x + y ) = ( ) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A ( -1; ) và đường thẳng ( d ) : x - y + = Tìm trên đường thẳng (d) hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông C và AC = 3BC Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 0;1; ) , B ( 2; 2; ) , C ( -2;3; ) và đường thẳng x -1 y + z + = = Tìm điểm M thuộc (d) cho thể tích khối tứ diện MABC -1 2y ìï x 9.4 2.4 -4=0 Câu VII.b (1.0 điểm) Giải hệ phương trình í îïlog x - log y + = (d ) : Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ diễn đàn http://boxmath.vn đã gửi tới www.laisac.page.tl (2) SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Câu I (2,0 điểm) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 LẦN Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Đáp án Điểm (1,0 điểm) · Tập xác định: D = ¡ \ {2} · 0.25 Sự biến thiên: ￚ Chiều biến thiên: y ' = -3 ( x - 2) < 0, "x Î D Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -¥; ) và ( 2; +¥ ) ￚ Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = ; tiệm cận ngang: y = x ®-¥ 0.25 x ®+¥ lim y = -¥, lim y = +¥ ; tiệm cận đứng: x = x ® 2- ￚ Bảng biến thiên: · Đồ thị 2.(1,0 điểm) Phương trình đường thẳng (d): y = kx - 2k x ® 2+ 0.25 0.25 0.25 (3) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C): x +1 = kx - k x-2 Điều kiện: x ¹ Phương trình (1) tương đương với: f ( x ) = kx - ( 4k + 1) x + 4k - = (1) (2) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Û (1) có hai nghiệm phân biệt Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác ìk ¹ ìk ¹ ï ï Û íD = 12k + > Û í (*) ï f = -3 ¹ ïî k > - 12 î ( ) Đặt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm (2) và y1 = kx1 - 2k ; y = x2 - 2k II (2,0 điểm) uuur uuur ìï x1 - = -2 ( x2 - ) Khi đó: MA = -2 MB Û í Û x1 + x2 = (3) ïî y1 - = -2 ( y2 - ) Theo định lý Viet ta có: 4k + ì (4) ïï x1 + x2 = k í ï x x = 4k - (5) ïî k 2k + 4k - Từ (3) và (4) suy ra: x1 = (6) ; x2 = k k 2k + 2 k - 4k - Từ (5) và (6) ta được: = Û k = , thỏa (*) k k k Vậy, giá trị k thỏa đề bài là: k = (1,0 điểm) Điều kiện: cos x ¹ (*) Phương trình đã cho tương đương với: + cos x sin x cos x + cos x = Û s in2x + = Û cos x + s in2x = 2 Û cos x + s in2x = 2 pö æ Û cos ç x - ÷ = 3ø è 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 p é x = + kp ê ( k Î ¢ ), thỏa (*) Û ê ë x = kp Vậy, phương trình có nghiệm là: x = 0.25 p + k p Ú x = k p ( k Î ¢ ) 2.(1,0 điểm) Đặt t = x + x + , phương trình đã cho trở thành: t + t - 12 = ét = t + t - 12 = Û ê ët = -4 · · ìx £ Với t = thì x + x + = Û í Û x =1 î x + = x - 6x + ì x £ -4 Với t = -4 thì x + x + = -4 Û í Û x ÎÆ î x + = x + x + 16 0.25 0.25 0.25 0.25 (4) Vậy, phương trình có nghiệm là: x = III (1,0 điểm) (1,0 điểm) Đặt u = log ( x + ) Þ du = 2x x2 + dx và dv = xdx Þ v = ( x + ) ln 0.25 4 é x2 + ù Suy ra: I = ê log ( x + ) ú ò xdx ë û ln · 0.25 ln 0.25 é x2 ù xdx = ê ú =8 ò0 ë û0 Vậy I = 25log - 9log IV (1,0 điểm) é x2 + ù 25 ê log ( x + ) ú = log 25 - log = 25log - log ë û0 · 0.25 (1,0 điểm) 0.25 Gọi O = AC I BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm AM Do tam giác ABC là tam giác cạnh a nên: a a a2 CM ^ AB, OI ^ AB và CM = , OI = , S ABCD = Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO ^ ( ABCD ) 0.25 · = 300 Do AB ^ OI Þ AB ^ SI Suy ra: · éë( SAB ) , ( ABCD ) ùû = (· OI , SI ) = SIO Xét tam giác vuông SOI ta được: SO = OI t an300 = a 3 a = 4 1 a a a3 Suy ra: V = S ABCD SO = = 3 24 Gọi J = OI I CD và H là hình chiếu vuông góc J trên SI 0.25 a và JH ^ ( SAB ) Do CD / / AB Þ CD / / ( SAB ) Suy ra: Suy ra: IJ = 2OI = d ( SA, CD ) = d éëCD, ( SAB ) ùû = d éë J , ( SAB ) ùû = JH Xét tam giác vuông IJH ta được: JH = IJ s in30 = a a = 2 0.25 (5) Vậy d ( SA, CD ) = V (1,0 điểm) a (1,0 điểm) Xét bất phương trình: -4 - x + x + 15 ³ x - x - 13 + m (1) Điều kiện: - x + x + 15 ³ Û -3 £ x £ 1- x Đặt t = - x + x + 15 , ta có: t ' = , t ' = Û x =1 - x + x + 15 Bảng biến thiên: 0.25 Suy ra: t Î [ 0; 4] Do t = - x + x + 15 Û x - x = 15 - t nên bất phương trình đã cho trở thành: (2) t - 4t - ³ m Xét hàm số f (t ) = t - 4t - với t Î [ 0; 4] , ta có: 0.25 0.25 f ' ( t ) = 2t - = Û t = Bảng biến thiên: Suy ra: f (t ) = f ( ) = -6 tÎ[ 0;4] Bất phương trình (1) nghiệm đúng "x Î [ -3;5] 0.25 Û Bất phương trình (1) nghiệm đúng "t Î [ 0; ] Û m £ f (t ) tÎ[ 0;4] VI.a (2,0 điểm) Û m £ -6 Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: m £ -6 (1,0 điểm) 0.25 Đường tròn (C) có tâm I (1; ) và bán kính R = Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên AB, ta có: (6) AB2 10 10 = - = Þ IH = 4 2 r 2 Đường thẳng (d) qua M và có VTPT n = ( a; b ) ( a + b ¹ ) có dạng: IH = IA - AH = R - 0.25 a ( x - ) + b ( y - ) = Û ax + by - 6a - 2b = Đường thẳng (d) thỏa đề bài khi: a + 2b - 6a - 2b 10 d ( I;(d) ) = IH Û = Û 9a = b Û b = ±3a 2 a +b · Với b = -3a ta ( d ) : x - 3y = · 0.25 0.25 Với b = 3a ta ( d ) : x + 3y - 12 = Vậy, có hai đường thẳng thỏa đề bài là: ( d ) : x - 3y = ( d ) : x + 3y - 12 = 2.(1,0 điểm) ì x = + 2t ï Phương trình tham số (d): í y = 4t Đặt M (1 + 2t ; 4t ; -1 - t ) ï z = -1 - t î uuur uuur Ta có: MA = ( - 2t ; -1 - 4t ; + t ) ; MB = (1 - 2t;5 - 4t ;1 + t ) uuur uuur DMAB vuông M Û MA.MB = Û ( - 2t )(1 - 2t ) + ( -1 - 4t )( - 4t ) + ( + t )(1 + t ) = 0.25 0.25 Û 4t - 8t + + 16t - 16t - + t + 3t + = · Û 21t - 21t = Û t = Ú t = t = Þ M (1; 0; -1) 0.25 · t = Þ M ( 3; 4; -2 ) 0.25 Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: M (1;0; -1) M ( 3; 4; -2 ) VII.a (1,0 điểm) (1,0 điểm) ì8 x - y = 0, y -3 (1) ï Xét hệ phương trình: í ïîlog ( x - y ) + log ( x + y ) = (2) Điều kiện: x - y > 0;3 x + y > (*) x- y+6 Khi đó: (3) = - y Û y = -x (1) Û Thay (3) vào (1) ta được: log 3 x + log x = Û x = 27 Û x = ±3 0.25 Với x = Þ y = -3 , thỏa (*) x = -3 Þ y = , không thỏa (*) ìx = Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: í î y = -3 (1,0 điểm) Từ yêu cầu bài toán ta suy C là hình chiếu vuông góc A trên (d) Phương trình đường thẳng ( D ) qua A và vuông góc với (d) là: 2x + y + m = 0.25 ( ) · · VI.b (2,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 A ( -1; ) Î ( D ) Û -2 + + m = Û m = Suy ra: ( D ) : 2x + y = ì ïx = - æ 6ö 2x + y = Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình: Û Þ Cç - ; ÷ x - 2y = -3 í è 5ø ïy = î { 0.25 (7) Đặt B ( 2t - 3; t ) Î (d) , theo giả thiết ta có: AC = 3BC Û AC = BC é 16 2 éæ êt = 16 12 ö æ ö ù Û + = êç 2t - ÷ + ç t - ÷ ú Û 45t - 108t + 64 = Û ê 15 25 25 ø è ø ûú ëêè êt = ë 16 æ 13 16 ö · Với t = Þ B ç - ; ÷ 15 è 15 15 ø æ 4ö · Với t = Þ B ç - ; ÷ è 3ø æ 13 16 ö æ 4ö Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: B ç - ; ÷ B ç - ; ÷ è 15 15 ø è 3ø 2.(1,0 điểm) uuur uuur uuur uuur Ta có: AB = ( 2;1; ) ; AC = ( -2; 2; ) Þ éë AB, AC ùû = ( 0; -12;6 ) ì x = + 2t ï Phương trình tham số (d): í y = -2 - t Đặt M (1 + 2t ; -2 - t ; -3 + 2t ) ï z = -3 + 2t î uuuur uuur uuur uuuur Ta có: AM = (1 + 2t ; -3 - t ; -3 + 2t ) Suy ra: éë AB, AC ùû AM = 18 + 24t ét = uuur uuur uuuur VMABC = Û éë AB, AC ùû AM = Û 18 + 24t = 18 Û ê êt = - ë · Với t = Þ M (1; -2; -3 ) · VII.b (1,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 æ ö Với t = Þ M ç -2; - ; -6 ÷ è ø æ ö Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là M (1; -2; -3 ) M ç -2; - ; -6 ÷ è ø (1,0 điểm) 2y ìï x 9.4 2.4 -4=0 (1) Xét hệ phương trình í ïîlog x - log y + = (2) Điều kiện: x > 0; y > Khi đó: (2) Û log 3 x = log y Û y = x (3) Thay (3) vào (1) ta được: é4x = x 2x x x 9.4 - 2.4 - = Û ( ) - 9.4 + = Û ê x Û x = Ú x = - (loại) ê4 = ëê · Với x = Þ y = ìx = Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: í îy = Hết 0.25 0.25 0.25 0.25 (8)