Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 100 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN -- ÔN THI ĐẠI HỌC Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Phần I: Tứ Diện lăng trụ Bai 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau,có giao tuyến là đường thẳng .Trên lấy hai điểm A,B với AB=a.Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc với và .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Bai 2: Cho hình chóp ta giác S.ABC có đáy ABC à tam giác đều cạnh a,SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Bai 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;I là giao điểm của BM à AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bai 4: Cho hình trụ các đấy là hai hình tròn tâm O và O',bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A,trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a.Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB. Bai 5: Cho hai nửa đường thẳng Ax,By chéo nhau và vuông góc nhau.Có AB là đường vuông góc chung,AB=a.Ta lấy các điểm M trên Ax,N trên By với Am=x,BN=y. 1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông. 2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo ,x,y. Bai 6: Cho hình lăng trụ đứng có đấy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'.Chứng minh rằng bốn điểm B',M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng.Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông. Bai 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Trên cạnh lấy điểm thay đổi. Đặt góc . Hạ 1. Chứng minh luôn thuộc đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện theo và . Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 2. Hạ . Chứng minh rằng và tính độ dài đoạn . Bai 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp theo a. Bai 9: Cho ABC là tam giác vuông tại C. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S ( khác với A). Chứng minh rằng các mặt của thiết diện S.ABC đều là tam giác vuông . Bai 10 : Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SAO CHO, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB. Bai 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bai 12: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật với , , và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bai 13 : Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A. trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB. Bai 14: Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy bằng a.Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN ,biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bai 15 : Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD). Bai 16 : Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bai 17 : Trong không gian cho hình lập phương với . Gọi theo thứ tự là trung điểm của các đoạn Chứng tỏ rằng 2 đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và tính diện tích tứ giác . Bai 18 : Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n. Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD . a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD. b. Tính IK theo a, m và n. Bai 19 : Cho hình lập phương cạnh . Gọi là tâm của hình vuông . Tính thể tích khối tứ diện . Bai 20 : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A'B'. 1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C' 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB') Bai 21 : Cho khối lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông tại . Đường chéo của mặt bên tạo với mặt phẳng một góc . a. Tính độ dài đoạn . b. Tính thể tích của khối lăng trụ . Bai 22 : Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = , BC = a , SA = . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bai 23 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC. a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Bai 24 : Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Bai 25 : Cho tứ diện . Một mặt phẳng song song với và , cắt các cạnh tương ứng tại các điểm . Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 1.Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành. 2.Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác đạt giá trị lớn nhất. Bai 26 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SD=a. 1. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a. 2. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD) Bai 27 : Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao cho: . 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số . 2. Tính thể tích hình chóp theo thể tích V của hình chóp . Bai 28 : Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có . 1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện . Bai 29 : Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1. 1. Tính thể tích hình chóp theo x,y. 2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất? Bai 30 : Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ . Bai 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và . Bai 32: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'. Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. 2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a. Bai 33: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất. 2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất. Bai 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Bai 35: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN). a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN). b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Bai 36: cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC. c) Gọi M là 1 điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a. Bai 37: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; và vuông góc với đáy. a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Bai 38: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a , SA=a và vuông góc với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC. a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) . b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) . Bai 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q . a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông . b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x Bai 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB. a) Tính khoảng cách từ I đến CM. b) Tính khoảng cách từ S đến CM. Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P . Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a Bài 42: Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB , CD và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với nhau một góc . Bài 43: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a : 1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'. 2. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM / MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( AB'C). 3. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'. Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Bài 44: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy là một đa giác lồi ngoại tiếp C. 1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ( mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên của hình chóp ). 2. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp. Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao cho . 1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số . 2. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chóp S.ABCD. Bài 46: Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c ( a, b, c > 0). 1. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 3. Chứng minh rằng bình phương diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện O.ABC Bài 47: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. 1. Tính thể tích hình chóp theo x, y. 2. Với x, y nào thì thể tích hình chóp lớn nhất? Bài 48: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a với A (0 ; 0; 0) , B (a; 0 ; 0) , D (0 ; a; 0) và đỉnh S (0; 0; a). Gọi M là trung điểm của đoạn SA, hãy tính : 1. Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (CDM). 2. Góc giữa đường thẳng SB và DM. Bài 49: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. b. Chứng minh Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Bài 50: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Phần II: Đường thẳng và mặt phẳng Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình và a. Chứng minh rằng và chéo nhau , viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình lập phương . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . Bài 3: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D' lần lượt có phương trình : ; 1. Chứng minh rằng D và D' đồng phẳng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và D' 2. Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (P) và ba mặt phẳng tọa độ . Bai 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình : ; 1. Chứng minh rằng và chéo nhau . 2. Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng , . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3) 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) 2. Gọi (d) là đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng Oxy. Bài 6: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình : a. Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng chứa (D) và vuông góc với (P) . b. Viết phương trình dạng chính tắc của đường thẳng qua điểm , song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (D). Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình là : a. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) và tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) . b. Gọi B là điểm trên đường thẳng (d) có hoành độ . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) . Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1. Chứng minh rằng đường thẳng và đường thẳng chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng . Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : và . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng . Mail: chungtin4adhsp@gmail.com Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 b. Cho điểm M (2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d. Bài 11: Trong không gian cho 1. Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng . 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc với và cắt . Bai 12: Trong không gian cho đường thẳng có phương trình: Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng: Bài 13: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm và tạo với mặt phẳng Oxy một góc Bài 14: Trong không gian cho mặt phẳng có phương trình: và đường thẳng có phương trình 1. Xác định giao điểm A của đường thẳng với mặt phẳng (P). Mail: chungtin4adhsp@gmail.com