TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC TẠ LÊ LI GIẢI TÍCH (Giáo Trình) Lưu hành nội -Đà Lạt 2008 Hướng dẫn sinh viên đọc giáo trình Đây giáo trình Giải tích dành cho sinh viên năm thứ ngành Toán hay ngành Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm giới hạn dãy chuỗi số thực, tính liên tục, phép tính vi phân tích phân hàm số biến số thực Để đọc giáo trình sinh viên cần biết chút lý thuyết tập hợp ánh xạ, với vài lý luận logic toán (e.g qui tắc tam đoạn luận, phương pháp phản chứng, phương pháp qui nạp) Giáo trình trình bày theo lối tuyến tính, người đọc lần đầu nên đọc phần theo thứ tự Để đọc cách tích cực, sau khái niệm định lý sinh viên nên đọc kỹ ví dụ, làm số tập nêu liền Ngoài học toán phải làm tập Một số tập chương nêu phần cuối giáo trình Về nguyên tắc nên đọc phần giáo trình Tuy vậy, nêu số điểm cần lưu ý chương: I Số thực - Dãy số Lần đầu đọc bỏ qua: khái niệm giới hạn trên, giới hạn (ở 2.4), tính không đếm R (mục 4.5) II Giới hạn tính liên tục III Phép tính vi phân đường cong (mục 4.7) Lần đầu đọc bỏ qua: khảo sát tính lồi (mục 4.5), vẽ Kỹ thuật tính tích phân (mục 1.4) nên đọc làm tập Có thể bỏ qua Định lý Riemann (mục 1.4) Để việc tự học có kết tốt sinh viên nên tham khảo thêm số tài liệu khác có nội dung liên quan (đặc biệt phần hướng dẫn giải tập) Khó nêu hết tài liệu nên tham khảo, đề nghị tài liệu sau (bằng tiếng Việt): [1] Jean-Marier Monier, Giải tích , NXB Giáo dục [2] Y.Y Liasko, A.C Bôiatruc, IA G Gai, G.P Gôlôvac, Giải tích toán học - Các ví dụ toán, Tập I Phần I (Tập II), NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Ngoài ra, sinh viên nên tìm hiểu sử dụng số phần mềm máy tính hỗ trợ cho việc học làm toán Maple, Mathematica, Chúc bạn thành công! IV Phép tính tích phân V Chuỗi số Giải tích Tạ Lê Lợi Mục lục Chương I Số thực - Dãy số Số thực Dãy số Các định lý 10 Các ví dụ 11 Chương II Giới hạn tính liên tục Hàm số 17 Giớ hạn hàm 25 Hàm số liên tục 31 Chương III Phép tính vi phân Đạo hàm - Vi phân Các định lý Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor Một số ứng dụng Chương IV Phép tính tích phân Nguyên hàm - Tích phân bất định Tích phân xác định Một số ứng dụng Tích phân suy rộng Chương V 37 39 41 43 57 67 75 79 Chuỗi số Chuỗi số 85 Các dấu hiệu hội tụ 89 Bài tập 95 I Số thực - Dãy số Chương đề cập đến tập số thực, tập cho nghiên cứu chương sau Phần nghiên cứu đến dãy số thực với khái niệm giải tích: giới hạnï I Số thực Tập hợp số hữu tỉ thuận tiện biểu diễn thực phép toán số, không đủ dùng Chẳng hạn, từ lâu người ta nhận thấy đườøng chéo hình vuông vô ước Nói cách số học, số hữu tỉ q mà √ q = 2, i.e không số hữu tỉ Như vậy, ta cần mở rộng tập số hữu tỉ để đo hay biểu diễn độ dài Tập số thêm vào gọi số vô tỉ, tập mở rộng gọi tập số thực Có nhiều phương pháp xây dựng tập số thực Trong giáo trình ta dùng phương pháp tiên đề 1.1 Các tiên đề Tập số thực R trường số, thứ tự toàn phần đầy đủ, i.e • R thoả tiên đề sau: Tiên đề cấu trúc trường Trên R có phép cộng nhân: + : R × R → R, (x, y) → x + y · : R × R → R, (x, y) → xy Hai phép toán thỏa mãn: ∀x, y ∀x, y, z ∃0, ∀x, ∀x, ∃ − x ∀x, y ∀x, y, z ∃1 = 0, ∀x ∀x = 0, ∃x−1 ∀x, y, z • = = = = = = = = = y+x x + (y + z) x yx x(yz) x xy + xz (tính giao hoán) (tính kết hợp) (0 gọi số không) (−x gọi phần tử đối x) (tính giao hoán) (tính kết hợp) (1 gọi số một) (x−1 gọi phần tử nghịch đảo x) (tính phân phối) Tiên đề thứ tự Trên R có quan hệ thứ tự toàn phần ≤ thỏa mãn: ∀x, y ∀x ∀x, y ∀x, y, z ∀x, y, z ∀x, y • x+y (x + y) + z x+0 x + (−x) xy (xy)z 1x xx−1 x(y + z) x ≤ y hoaëc y ≤ x x≤x x ≤ y, y ≤ x x ≤ y, y ≤ z x≤y ≤ x, ≤ y ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x=y x≤z x+z ≤y+z ≤ xy (tính phản xạ) (tính đối xứng) (tính bắc cầu) Tiên đề cận Mọi tập R khác trống bị chặn tồn cận thuộc R Các khái niệm bị chặn cận làm rõ sau Trước hết ta có định lý sau (không chứng minh) Định lý Tồn trường số thực R Tính theo nghóa R trường số thực, tồn song ánh R R bảo toàn phép toán cộng, nhân bảo toàn thứ tự Các ký hiệu thuật ngữ Dấu tổng: Phép trừ: n i=1 xi = x1 + · · · + xn x − y = x + (−y) n Daáu tích: Phép chia: i=1 xi = x1 · · · xn x = xy −1 y So saùnh: x ≤ y viết y ≥ x, đọc “x bé hay y ” hay “ y lớn hay x” x < y hay y > x nếuu x ≤ y x = y , đọc “øx bé y ” hay “y lớn x” Nếu < x, x gọi số dương Nếu x < 0, x gọi số âm Khoảng: khoảng mở (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, khoảng đóng hay ñoaïn [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} Tương tự, định nghóa khoảng nửa đóng, nửa mở [a, b), (a, b] Biểu diễn hình học R biểu diễn đường thẳng, cố định gốc O ứng với số 0, cố định điểm = ứng với số 1, định hướng dương hướng từ đến Khi đó, điểm M đường thẳng tương ứng với số thực gọi độ dài đại số OM (dương M phía 0, âm khác phía) M 0 ’ E 1.2 Supremum - Infimum Tập A ⊂ R gọi bị chặn nếuu tồn b ∈ R, cho x ≤ b, ∀x ∈ A Khi b gọi cận A Tập A ⊂ R gọi bị chặn nếuu tồn a ∈ R, cho a ≤ x, ∀x ∈ A Khi a gọi cận A Một tập bị chặn nếuu vừa bị chặn vừa bị chặn b∗ gọi cận A, ký hiệu b∗ = sup A, nếuu b∗ cận bé A a∗ gọi cận A, ký hiệu a∗ = inf A, nếuu a∗ cận lớn A Ví dụ Cho A = { , , · · · , 2n −1 , · · · } Khi ñoù sup A = 1, inf A = 2n Ví dụ Tập A = {q : q số hữu tỉ q < 2} tập khác trống, bị chặn Theo tiên đề cận tồn a∗ = inf A b∗ = sup A thuộc R Tuy A tập tập số hữu tỉ a∗ b∗ không số hữu tỉ, số hữu tỉ q mà q = Nhận xét Tập số hữu tỉ trường thứ tự, i.e thoả hai tiên đề Chương I Số thực - Dãy số đầu 1.1 Vậy tiên đề thứ ba cận cốt yếu trường số thực Về mặt hình học, tập R ‘làm đầy’ chỗ trống tập số hữu tỉ đường thẳng Không thiết sup A ∈ A hay inf A ∈ A Khi chúng thuộc A, ta định nghóa: M phần tử lớn A ký hiệu M = max A, nếuu M = sup A M ∈ A m phần tử bé A ký hiệu m = A, nếuu m = inf A m ∈ A Bài tập: Cho A ⊂ R tập bị chặn Chứng minh: a cận A ∀ > 0, ∃x ∈ A : a − < x a = sup A 1.3 Các tập N, Z, Q Tập số thực chứa tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ ký hiệu định nghóa tương ứng: n lần N = {n : n = hay n = + · · · + } Z = {p : p ∈ N hay − p ∈ N } p Q = { : p ∈ Z, q ∈ N, q = }/ ∼, q p p quan heä ∼ ⇔ pq − qp = q q Các tính chất quen biết số bậc trung học chứng minh dựa vào tiên đề nêu 1.4 Trị tuyệt đối Cho x ∈ R Trị tuyệt đối x: |x| = x −x Tính chất Với số thực x, y ta có: nếu |x| ≥ 0, |xy| = |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| x≥0 x tồn n ∈ N, cho x < ny (2) Mọi x > tồn n ∈ N, cho < < x n (3) Mọi x > tồn n ∈ N, cho n ≤ x < n + Phần nguyên x ∈ R, ký hiệu định nghóa: [x] = Bài tập: Tính [0, 5], số nguyên n thỏa n ≤ x < n + [−2, 5], [0, 0001] Tính trù mật số hữu tỉ R Với x, y ∈ R, x < y , tồn r ∈ Q cho x < r < y Với x ∈ R, với > 0, tồn taïi r ∈ Q, cho |x − r| < Chứng minh: Hai phát biểu tương đương (?) < < y − x n m+1 m Tồn m ∈ N: m ≤ nx < m + 1, i.e ≤ x < n n m+1 m+1 m Suy r = ∈ Q, thoûa: x < r = = + < x + (y − x) = y n n n n Theo nguyên lý trên, tồn n ∈ N: Bài tập: Chứng minh tính trù mật số vô tỉ R Nhận xét Như vậy, tập số hữu tỉ tập số vô tỉ trù mật hay ‘dày đặc’ đường thẳng thực Phần cuối chương thấy tập số vô tỉ ‘nhiều hơn’ tập số hữu tỉ Căn bậc n số dương Với số thực x > n ∈ N \ {0} tồn số thực y > 0, cho yn = x √ n Khi ta gọi y bậc n x ký hiệu y = x Chứng minh: Xét tập A = {t ∈ R : tn ≤ x} Dễ thấy A = ∅ (vì chứa t = 0) bị chặn (bởi + x) Vậy tồn y = sup A Ta chứng minh y n = x: Giả sử y n < x Khi với < h < ta coù n (y + h)n ≤ y n + h( k=1 k Cn y n−k ) = y n + h((y + 1)n − y n ) x − yn h < 1, (y + h)n < x, i.e y + h ∈ A, maø Vậy chọn < h < (y + 1)n − y n y + h > y = sup A, vô lý Giả sử y n > x Lập luận tương tự ta tìm k > 0, (y − k)n > x, i.e y − k chặn A bé y = sup A, vô lý Nhận xét Như R có phép toán lấy căn, chẳng hạn Bài tập: Các số nêu trên, số vô tỉ? số hữu tỉ? √ √ √ √ 2, 3, 5, 16 1.6 Tập số thực mở rộng R Trong nhiều trường hợp ta cần đến số ‘vô lớn’ Ký hiệu ∞ gọi vô tập R = R ∪ {+∞, −∞} Qui ước: Với x ∈ R, −∞ < x < +∞ vaø x + (+∞) = +∞, x + (−∞) = −∞ x(+∞) = +∞ neáu x > 0, x(+∞) = −∞ neáu x < x x = =0 +∞ −∞ ∞ Nhận xét Không thể định nghóa hợp lý: ∞ − ∞, ∞, ∞ Khi tập A không bị chặn (trên) ta ký hiệu inf A = −∞ (sup A = +∞) Chương I Số thực - Dãy số Dãy số 2.0 Khái niệm Khi thực phép chia cho ta có số hạng: 0, 0, 33 0, 333 0, 3333 1 ··· Archile đuổi rùa chạy nhanh gấp đôi rùa nên khoảng cách rút ngắn dần: 22 23 24 ··· Thông tin lan truyền người biết sau lại thông tin cho người khác: 22 23 1 Daõy 0-1: 24 ··· ··· Các dấu chấm chấm để số tiếp tục, tiếp tục Nhận xét • Các ví dụ cho dãy có tính vô hạn có thứ tự • Các số hạng dãy đầu ‘càng ngày gần’ , số hạng dãy thứ nhì ‘càng ngày gần’ với Còn số hạng dãy thứ ba ‘càng ngày lớn’ Dãy cuối có số hạng giao động 2.1 Dãy số Một dãy số X ⊂ R vô hạn có thứ tự số X : (xn )n∈N = x0 , x1 , x2 , x3 , · · · Một cách xác, dãy X aùnh xaï x : N → X, n → xn = x(n) Về mặt hình học, dãy biểu diễn đồ thị mặt phẳng R , i.e dãy điểm { (n, xn ) : n ∈ N } x T s s xn s s s s ’ ’ ’ q’ q’ s s s s ’ q’ q’ q’ n s s s s E +∞ Tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, · · · } vô hạn (nếu n ∈ N, n + ∈ N) có thứ tự (0 < < < < · · · ), nên dùng để ‘đánh số’ số hạng dãy Thường người ta cho dãy số phương pháp: • Liệt kê Ví dụ: dãy cho trên, dãy mã hoá bảng mã Σ = {0, 1, · · · , N } dãy có dạng (x0 , x1 , x2 , · · · ), với xn ∈ Σ • Hàm Ví dụ: dãy cho xn = 3.10−1 + 3.10−2 + · · · + 3.10−n , xn = n , xn = 2n , hay xn = − (−1)n Đệ qui Ví dụ: Dãy xn = n! định nghóa x0 = 1, xn+1 = (n + 1)xn (n ≥ 1) Dãy đệ qui cấp 1: x0 ∈ R giá trị đầu, xn+1 = f (xn ) (n = 0, 1, · · · ), f hàm số cho trước Dãy Fibonacci: x0 = 0, x1 = 1, xn+1 = xn + xn−1 (n ≥ 2) dãy đệ qui cấp • Bài tập: Tính mười số√ ng đầu dãy Fibonaci hạ Bài taäp: Cho f (x) = + x hay f (x) = 4λx(1 − x) (λ ∈ {0.7, 0.8, 0.9}) Hãy vẽ đồ thị dãy xn+1 = f (xn ), x0 = Bài tập: Chứng minh tập số nguyên tố vô hạn Lập thuật toán tính x n = số nguyên tố thứ n Chú ý Ta ký hiệu phân biệt tập số {xn : n ∈ N} với dãy số (xn )n∈N thứ tự 2.2 Giới hạn Điểm a ∈ R gọi giới hạn dãy số (xn)n∈N nếuu với > 0, bé tùy ý, tìm số tự nhiên N , đủ lớn phụ thuộc , cho n > N , |xn − a| < , viết theo lối ký hiệu ∀ > 0, ∃N : n > N ⇒ |xn − a| < Khi ta nói dãy (xn ) hội tụ a ký hiệu lim xn = a hay lim xn = a hay n→∞ xn → a, n→∞ x T a+ a− s s a s s s s s s s ’ ’ ’ ’ ’ n q q q q q s s s ’ ’ ’ ’ ’ q q s N s q E +∞ Nhận xét • Định nghóa giới hạn dãy không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng đầu dãy • Dễ thấy: lim xn = a lim |xn − a| = n→∞ n→∞ • Về mặt hình học, điều có nghóa đồ thị dãy tiệm cận với đường thẳng {(x, y) : y = a } R2 • Nếu (xn ) hội tụ, giới hạn Thực vậy, a b giới hạn (xn ), |a − b| ≤ |a − xn | + |xn − b| → 0, n → ∞ Vaäy |a − b| = 0, hay a = b Bài tập: Xét xn = √ , với n = 1, 2, · · · Theo định nghóa kiểm nghiệm n lim xn = 0, cách điền tiếp vào bảng sau n→∞ N 10 100 100 1.000 1.000.000 Chương I Số thực - Dãy số Nhận xét Nếu bé, N lớn, i.e 0< < ⇒ N ≥N Để chứng minh n→∞ xn = a ta cần đánh giá sai số |xn − a| Thường ta cần tìm lim bất đẳng thức dạng |xn − a| ≤ f (N ), n > N Từ tìm N phụ thuộc cho f (N ) < Sau việc viết chứng minh hình thức: ‘ Với > Gọi N tìm Khi n > N , ta có |xn −a| ≤ f (N ) < ’ Ví dụ a) Để chứng minh lim n→∞ = 0, np với p > 0, tiến hành sau: 1 − 0| = p < p np n N 1 , chẳng hạn N = [ p ] + Ta nhận thấy n > N , ta có bất đẳng thức | Vậy với > 0, chọn số nguyên N > p 1 n > N , | p − 0| < p < n N b) Chứng minh dãy (xn ) = 0, 0, 33 Với > 0, 333 Goïi N = [3/ ] Khi n > N , ta coù 0, 3333 ··· → , Khi viết sau: 1 3 < |xn − | = |0, 33 · · · − | < n < N < 3 10 10 N n lần 2.3 Dãy phân kỳ Dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ Có loại: Loại dãy tiến vô dãy (2n ) Ký hiệu n→∞ xn = +∞, neáuu ∀E > 0, ∃N : n > N ⇒ lim Ký hiệu n→∞ xn = −∞, nếuu ∀E > 0, ∃N : n > N ⇒ lim • xn > E xn < −E Loại dãy giao động dãy 0-1 ví dụ Dãy loại có số hạng tập trung gần số giá trị, gọi giới hạn riêng mà đề cập sau • Ví dụ Ta có giới hạn quan trọng sau (xem chứng minh phần 4.1)   neáu |a| <    neáu a = lim an =  +∞ n→+∞ neáu a >    giao động a ≤ −1 2.4 Dãy - Giới hạn riêng Cho dãy (xn ) Cho dãy tăng số tự nhieân n0 < n1 < · · · < nk < · · · , dãy (xnk )k∈N gọi dãy dãy (xn ) Nói cách khác, dãy dãy cho qui tắc hợp dãy số tự nhiên tăng dãy (xn ) : N −→ N −→ R k → n(k) = nk → xnk = xn(k) Điểm a ∈ R gọi giới hạn riêng dãy nếuu tồn dãy hội tụ a Chẳng hạn dãy ((−1)n ) không hội tụ, dãy số hạng số chẵn 97 Bài tập a +a 28 Cho a1 > a2 > vaø an+1 = n n−1 , (n ≥ 2) Chứng minh dãy a1 , a3 , a5 , lim giảm, dãy a2 , a4 , a6 , tăng Suy tồn n→∞ an = L Tính L 29 Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét hội tụ dãy: a) sn = a0 + a1 x + · · · + an xn , |x| < 1, |ak | < M, ∀k 1 b) Hn = + + + · · · + n 30 Giả sử tồn < r < 1, cho |an+1 − an | ≤ Crn , ∀n Chứng minh (an ) dãy Cauchy nên hội tụ Chứng minh ≤ an ≤ 2, n ≥ Suy (an ) 31 Cho a0 = 1, an = + an−1 dãy Cauchy (nên hội tu)ï Tìm ϕ = n→∞ an lim 32 Chứng minh dãy an = esin 5n có dãy hội tụ 33 Tìm dãy giới nội có dãy hội tụ giới hạn khác 34 Tìm lim supn→∞ an lim inf n→∞ an khi: nπ n cos a) an = (−1)n (2 + ) b) an = + n n+1 lim 35 Cho dãy số dương (an ) Chứng minh n→∞ an = a, dãy trung bình cộng dãy trung bình nhân: sn = a1 + · · · + an , n pn = √ n a1 · · · an hội tụ a lim 36 Cho dãy số dương (an ) Chứng minh n→∞ Áp dụng cho an = nn n! , suy n→∞ lim n √ =e n n! an+1 = a, an n→∞ lim √ n an = a Giới hạn tính liên tục hàm soá Cho f : I → R, I ⊂ R Xét dãy số (xn ) định nghóa đệ qui: x0 ∈ I giá trị đầu, xn+1 = f (xn ) (n = 0, 1, 2, · · · ) Ta dùng đồ thị hàm f để khảo sát tính chất dãy (xn ) (tính đơn điệu, bị chặn, hội tu, · · · ) cách: - Vẽ điểm (xn , f (xn )), (xn+1, xn+1 ), (xn+1 , f (xn+1), n = 0, 1, 2, · · · - Từ tìm qui luật dãy (xn ) phụ thuộc vào giá trị đầu x0 f Hãy tiến hành cách làm khi: √ c) f (x) = x2 − x + a) f (x) = + x b) f (x) = + x Cho > 0, tìm δ > (phụ thuộc vaø a) cho |f (x) − L| < , |x − a| < δ a) f (x) = , a = 1, L = b) f (x) = x2 , a = 2, L = x 98 Chứng minh lim sin x→0 x không tồn cách dãy số tiến 0, dãy (sin ) xn Điền vào giới hạn bản: sin x = b) x→+∞ + lim a) x→0 lim d) x ax − = lim x→0 x e) vaø (sin x = x p−1 (1 + x) lim = x→0 x Tính giới hạn: x2 − a) x→0 lim d) h) x2 − b) x→∞ lim 2x − x − 2x − x − √ m √ √ x−1 3 lim ( x + − x) e) lim √ x→+∞ x→1 n x − x x2 − 2x − sin x lim i) x→0 lim − 4x + x→+∞ x x ) xn (xn ) (xn ) tiến giới hạn khác c) x→0 lim ln(1 + x) = x √ √ x + 13 − x + c) x→3 lim x2 − sin 5x f) x→0 lim g) x→0(1 + x2 ) x2 lim tan 8x sin x x−sin x Chứng minh x → 0, ta coù x2 a) (1 + x)p = + px + o(x) b) sin x = x + o(x) c) cos x = − + o(x) d) ex = + x + o(x) e) ln(1 + x) = x + o(x) Viết lại đẳng thức so sánh tương đương ∼ Hãy so sánh ax (a > 1), xp , ln x, x → +∞ Tìm giới hạn phía phải trái hàm: √ a) signx b) [x] c) x Chứng minh f liên tục a f (a) > 0, tồn h > cho f (x) > với x, a − h < x < a + h 10 Chứng minh f g liên tục |f |, max(f, g) min(f, g) liên tục 11 Xét tính liên tục hàm: x + x2 a) f (x) = , x = ±1 f (±1) = x −1 sin x , x = f (0) = α b) f (x) = x c) f (x) = x x−1 , x = f (1) = α 12 Cho f (x) = sign x vaø g(x) = x(1 − x2 ) Tìm f (g(x)) Suy điểm gián đoạn f ◦ g 13 Chứng minh “Bổ đề dán”: Giả sử f liên tục [a, b] g liên tục [b, c] Định nghóa hàm h h(x) = f (x), x ∈ [a, b] coøn h(x) = g(x), x ∈ (b, c] Khi h liên tục f (b) = g(b) 14 Xác định điểm gián đoạn loại chúng, khi: π a) f (x) = arctg( ) b) f (x) = ex+ x c) f (x) = sign(sin ) x −1 x 99 Bài tập p 15 Cho f : [0, 1] → [0, 1] xác định bởi: x = phân số tối giản f (x) = ; q q x vô tỉ f (x) = Chứng minh f liên tục điểm vô tỉ, không liên tục điểm hữu tỉ p ( Hd: với > có hữu hạn phân số tối giản mà > ) q q 16 Cho f : R → R thoûa f (tx) = tf (x) với t, x ∈ R Chứng minh f liên tục 17 Tìm tất hàm f : R → R, liên tục thỏa: f (x + y) = f (x) + f (y) 18 Tìm tất hàm f : R → R, liên tục thỏa: f (x + y) = f (x)f (y) 19 Tìm tất hàm f : R+ → R, liên tục thỏa: f (xy) = f (x) + f (y) 20 Tìm tất hàm f : R+ → R, liên tục thỏa: f (xy) = f (x)f (y) 21 Tìm ví dụ f liên tục R f không đạt max, 22 Tìm ví dụ f tiên tục [0, 1) đạt max không đạt 23 Cho f : R → R liên tục x→±∞ f (x) = +∞ Chứng minh tồn lim min{f (x) : x ∈ R} 24 Chứng minh đa thức bậc lẻ có nghiệm thực 25 Chứng minh Định luật Descartes: Cho đa thức P (x) = a0 + a1 x + · · · + aj xj − aj+1 xj+1 − · · · − an xn , ak ≥ 0, ∀k, a0 + · · · + aj > 0, aj+1 + · · · + an > Khi P (x) có nghiệm dương P (x) ( Hd: Hàm j giảm (0, +∞).) x 26 Chứng minh phương trình tan x = x có vô số nghiệm 27 Cho f hàm liên tục khỏang I Chứng minh với x , · · · , xn ∈ I , tồn c ∈ I , cho f (c) = (f (x1) + · · · + f (xn )) n 28 Chứng minh f : [a, b] −→ [a, b] hàm liên tục, f có điểm bất động, i.e tồn taïi x0 ∈ [a, b] cho f (x0 ) = x0 29 Cho f : [1, 2] −→ [0, 3] liên tục, f (1) = 0, f (2) = Chứng minh f có điểm bất động 30 Cho f : [a, b] −→ R hàm liên tục, f (a)f (b) < Nêu phương pháp xấp xỉ tìm nghiệm phơng trình f (x) = 31 Tính gần √ với sai số phương pháp chia đôi tìm nghiệm x −2 = 32 Với > cho trước, tìm δ > cho: | sin x − sin x | < , |x − x| < δ Suy tính liên tục hàm sin R 100 33 Cho hàm f : X → R Giả sử f thoả điều kiện Lipschitz X : ∃L > : |f (x) − f (x )| ≤ L|x − x |, ∀x, x ∈ X Chứng minh f liên tục X 34 Xét tính liên tục hàm sau miền định: a) f (x) = x3 , ≤ x ≤ Trên miền ≤ x < ∞ sao? , ≤ x < ∞ b) f (x) = x + sin x, −∞ ≤ x < +∞ c) f (x) = + x2 π d) f (x) = sin , < x < ∞ (Hãy vẽ đồ thị) x Phép tính vi phân Cho hàm f xác định khoảng chứa x Gỉa sử f xấp xỉ hàm bậc x0 , nghóa laø f (x0 + h) = a + bh + o(h), h → Chứng minh a = f (x0 ), Chứng minh h → 0, ta coù: a) (x + h)2 = x2 + 2x.h + o(h) b = lim h→0 f (x0 + h) − f (x0 ) h b) sin(x + h) = sin x + cos x.h + o(h) Tính f (x), miền xác định nó: a) f (x) = sin x2 b) f (x) = cos3 (2x) c) f (x) = ln(sin(x2 + 1)) √ d) f (x) = x x + x e) f (x) = xx f) f (x) = (ax )a g) f (x) = (xa )x √ h) f (x) = x x i) f (x) = x(1 + x2 )tan x Xét tính khả vi tính đạo hàm√ t phía f+ (x), f− (x) của: mộ − 1| b) f (x) = x2 a) f (x) = |x c) f (x) = xn sin , neáu x = 0; f (0) = 0, với n ∈ N x Chứng minh hàm f (x) = x2 sin , f (0) = x khả vi f không liên tục Xác định a để đồ thị hàm f (x) = ax2 tiếp xúc với đồ thị hàm g(x) = ln x Xác định góc tiếp tuyến đường cong y = x2 x = y giao điểm Đúng hay sai: hàm f xác định (a, b), khả vi c f (c) > 0, f đơn điệu tăng lân cận c Cho f (x) = x, x hữu tỉ; f (x) = sin x, x vô tỉ Chứng minh f f không tăng 10 Chứng minh f khả vi c ∈ (a, b) vaø f cho f (x) > f (c) (c) > 0, (0) = 1, tồn x, c < x < b 101 Bài tập 11 Dựa vào tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức: a) + x < ex (x = 0) x2 x3 b) x − < ln(1 + x) < x (x > 0) c) x − < sin x < x (x > 0) d) (xp + yp )1/p < (xq + yq )1/q (0 < x, y; < q < p) 12 Cho ϕ : (a, b) → R hàm khả vi Giả sử tồn taïi M > 0, |ϕ(x)| < M, ∀x ∈ (a, b) Đặt f (x) = x + ϕ(x), x ∈ (a, b) Chứng minh f đơn ánh bé x − 3x + k = có nghieäm a1 an−1 a0 + + ··· + + an = 0, n+1 n n + a xn−1 + · · · + a = coù nghiệm [0, 1] a0 x n a0 xn+1 ( Hd: Xét hàm f (x) = + · · · + an x) n+1 phương trình 13 Chứng minh không tồn k ∈ R để phương trình [0, 1] 14 Chứng minh 15 Cho hàm f có đạo hàm cấp n [a, b] Áp dụng định lý Rolle chứng minh: f (x) = có nghiệm thuộc [a, b], tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = Hãy tổng quát hoá f (x) = có n + nghiệm 16 Chứng minh tính chất Darboux: Nếu f có đạo hàm điểm [a, b], f nhận giá trị trung gian f (a) f (b) ( Hd: Xét hàm g(x) = f (x) − γx với γ gía trị nằm f (a) f (b), chứng minh g phải đạt max hay điểm c ∈ (a, b)) 17 Từ chứng minh hàm f (x) = −1 ≤ x < 0, f (x) = neáu ≤ x ≤ 1, có nguyên hàm [−1, 1] 18 Các hàm số sau có thoả định lý giá trị trung bình? Nếu có, tìm f (b) − f (a) = f (c)(b − a): x x (0 ≤ x ≤ 2) b) f (x) = (2 ≤ x ≤ 4) a) f (x) = x−1 x−1 c) f (x) = Ax + B (a ≤ x ≤ b) d) f (x) = − x2/3 (−1 ≤ x ≤ 1) c để 19 Giả sử f liên tục [3, 5], khả vi (3, 5) f (3) = 6, f (5) = 10 Chứng minh tồn c ∈ (3, 5) cho đờng thẳng tiếp xúc với f điểm có hoành độ c qua gốc tọa độ f (b) − f (a) f (c) = hàm: 20 Tìm gía trị c thỏa g (c) g(b) − g(a) a) f (x) = x, g(x) = x2 (0 ≤ x ≤ 1) π b) f (x) = sin x, g(x) = cos x (− ≤ x ≤ 0) 21 Áp dụng định lý giá trị trung bình chứng minh bất đẳng thức: a) | sin a − sin b| ≤ |a − b| b) | arctan a − arctan b| ≤ |a − b| x x+1 0) c) + x x 102 22 Dựa vào |f (x)−f (a)| ≤ sup |f (c)||x−a|, đánh giá hội tụ f (x) f (a) c∈[a,x] theo ngôn ngữ -δ : với sai soá a) f (x) = x2 b) f (x) = |f (x) − f (a)| < >0 cho trước, tìm δ , cho |x − a| < δ , x 23 Cho f g hai hàm khả vi đến cấp n, h = Leibniz: a) h (c) = f (c)g(c) + 2f (c)g (c) + f (c)g (c) n n! f (k) (c)g (n−k) (c) b) h(n)(c) = k=0 f g Chứng minh công thức k!(n − k)! 24 Dùng công thức Leibniz tính f (100) khi: x 1+x a) f (x) = x3 sin x b) f (x) = x2 e− a c) f (x) = √ 1−x 25 Tính đạo hàm cấp n hàm ax , sin(ax + b), loga x, (1 + x)p 26 Tính f (n)(x) hàm f (x) = x − 3x + ( Hd: Hãy phân tích f (x) thành phân thức hữu tỉ) 27 Viết khai triển Taylor x0 hàm f (x) = xn 28 Từ khai triển Taylor x = hàm f (x) = (1 + x)n , suy công thức nhị thức Newton 29 Tìm đa thức bậc 4, thỏa: P (2) = −1, P (2) = 0, P (2) = −12, P (2) = 24 30 Chứng minh với a > 0, h > 0, n ∈ N, tồn θ ∈ [0, 1] cho: h h2 (−1)n−1 hn−1 (−1)n hn = − + + ··· + + a+h a a a an (a + θh)n+1 31 Dựa vào khai triển Taylor hàm sơ cấp bản, viết khai triển Taylor 0, dạng phần dư Peano, đến bậc 4, hàm sau: √ a) f (x) = ln(2 cos x + sin x) b) f (x) = e 1+x c) f (x) = (1 + x) x 32 Cho f (x) = ln(1 + x) g(x) = arctan x a) Tính f (n)(0) g (n)(0) Suy khai triển Taylor f g x0 = b) Suy công thức tính gần đúng: 1 + + · · · + (−1)n−1 + Rn n 1 π = − + + · · · + (−1)n + Rn 2n + c) Hãy xác định N cho n > N , sai ln = − số |Rn | < 10−3 33 Dùng công thức Taylor tính gần giá trị: số < 10−3 √ 29, sin 46o , ln(1, 05), với sai 103 Bài tập 34 Dùng qui tắc L’Hospital hay khai triển Taylor tính: tan x − x ln x a) lim+ b) x→+∞ 0,0001 c) x→0( − lim lim x − sin x 1 ax + bx lim x→+∞ x→0 e) x x (a, b > 0) f) 1 ) d) lim x x x→+∞ x sin x sin(x − sin x) − x + ln x √ g) x→1 lim lim √ 3−1 x→0 1+x − 2x − x2 35 Chứng tỏ dùng qui tắc L’Hospital để tính giới hạn sau Hãy tính giới hạn cách khaùc: x2 sin x x − sin x b) x→∞ lim a) x→0 lim sin x x + sin x 36 Công thức sai phân Cho f hàm khả vi đến cấp n Định nghóa: Sai phân cấp f a: ∆h f (a) = f (a + h) − f (a) k−1 Sai phân cấp k f a: ∆k f (a) = ∆h (∆h f (a)), k = 2, 3, · · · , n h f (a) a) Tính ∆h b) Dùng qui tắc L’Hospital suy công thức tính gần ñuùng: f (a) ∼ ∆2 f (a) f (a + 2h) − 2f (a + h) + f (a) h = , h h2 c) Tính ∆k f (a) h d) Suy công thức tính gần f (n) (a) ∼ 37 Tìm max, hàm sau: a) f (x) = |x2 − 3x + 2|, x ∈ [−10, 10] c) f (x) = xn (1 − x)m , x ∈ [0, 1] ∆n f (a) h , hn b) f (x) = h → h → √ − 4x, x ∈ [−1, 1] 38 Cho a, b > vaø m, n ∈ N a) Tìm giá trị lớn am bn , a + b b) Tìm giá trị nhỏ am + bn , ab 39 Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, nội tiếp có cạnh song song với x2 y trục Ellip + = a b 40 Tìm giá trị a cho p(x) = x2 + a có sai số bé với [−1, 1], i.e giá trị a làm cực tiểu sup |p(x)| x∈[−1,1] 41 Sai số f (x) g(x) [a, b] định nghóa sai số khi: a) f (x) = xn , g(x) = 1, x ∈ [−1, 1] b) f (x) = + x + · · · + xn , g(x) = 42 Khảo sát hàm số: a) f (x) = arcsin x + arccos x , x ∈ [−r, r] 1−x sup |f (x) − g(x)| x∈[a,b] (0 < r < b) f (x) = arctan x + arctan 2x − x2 Tìm 104 x3 + x2 x f (x) = ln x−1 c) f (x) = f) d) f (x) = √ − x3 e) f (x) = xe−x 43 Xét phương trình bậc 3: x3 + px + q = Dùng phương pháp khảo sát hàm số, xác định điều kiện p, q cho phương trình: a) vô nghiệm b) có nghiệm c) có nghiệm d) có nghiệm Hãy vẽ tập hợp (p, q) mặt phẳng 44 Hãy dùng tính chất lồi hay lõm hàm số chứng minh bất đẳng thức: √ a+b a+b ≥ ln ab (a, b > 0) b) ln a) e ≤ (ea + eb ) c) x+y 2n (x, y > 0, n > 1) ≤ (xn + y n ) d) x ln x + y ln y ≥ (x + y) ln 45 Chứng minh với a) ab ≤ ap p + bq q p, q > 0, , x+y (x, y > 0) 1 + = 1, p q ta có: (a, b > 0, ) b) Bất ủaỳng thửực H ăolder: n ak bk k=1 n |ak | p p k=1 n |bk | q q k=1 ( Hd: Chia vế trái cho vế phải áp dụng a) cho số hạng) c) Bất đẳng thức Minkowski: n p k=1 |ak + bk |p ≤ n p k=1 |ak |p + n |bk |p k=1 ( Hd: Từ |ak + bk |p ≤ |ak ||ak + bk |p−1 + |bk ||ak + bk |p−1 , áp dụng b) ) 46 Phương pháp Newton Cho f : [a, b] → R hàm khả vi đến cấp Giả sử f (a) < < f (b), vaøf (x) > 0, f (x) > 0, ∀x Để tìm dãy hội tụ nghiệm f (x) = 0, ta lập dãy sau: x0 = b, xn+1 = giao điểm tiếp tuyến f (xn , f (xn )) với trục hoành a) Hãy vẽ hình để thấy ý phương pháp f (xn ) b) Chứng minh: xn+1 = xn − f (xn ) c) Chứng minh với giả thiết (xn ) hội tụ nghiệm f (x) = √ d) Dùng phương pháp tính gần với sai số 10−6 , cách xét f (x) = x2 − 2, x ∈ [1, 2] e) Các giả thiết tương tự cho f để áp dụng phương pháp Newton? Phép tính tích phân Tính tích phân bất định: ◦ Bằng phương pháp đổi biến: 105 Bài tập a) x + x2 dx e) dx √ (1 + x) x xe−x dx c) ln xdx √ x + ln x − x2 dx b) g) f) sin x cos3 xdx + cos2 x a2 + x2 dx Bằng phương pháp tích phân phần: ln x dx d) a) x2 e−x dx b) x2 ln xdx c) d) ◦ x ◦ a) Hàm hữu tỉ: e) ◦ d) a) b) f) dx x+1 c) dx − 1)(x2 + 1) (x (x2 + 1)2 dx x2 dx g) x4 + (1 − x)100 Hàm thức: a) ◦ dx − x2 − x dx + 1)2 x(x e) ex sin xdx dx √ √ x(1 + x + x) dx √ (x + 1) x2 + x + b) e) x−2 dx c) x x+1 dx √ x + x2 + 2x arcsin x dx x2 d) x2 dx x6 − √ 1− x+1 √ dx 1+ 3x+1 √ f) −x+ 4x + 10dx Hàm lượng giác: d) dx dx b) ( > 0) c) sin x − cos x + + cos x cos5 xdx e) cos 3x sin 5xdx f) sin4 x cos5 xdx Dùng công thức qui nạp theo n ∈ N, tính: dx b) In = sinn xdx, Jn = a) In (a) = 2 n (a + x ) c) In = sin4 xdx g) sin2 x cos4 xdx cosn xdx xn e−x dx Biết hàm sau có nguyên hàm nguyên hàm chúng không hàm sơ cấp: e−x , sin x , , x ln x (1 − Chứng minh hàm sau vậy: x2 )(1 − k x2 ) (0 < k < 1) ex ex √ , ln x cos x, , sin x2 , x x Lập tổng tổng f với phân hoạch P : a) f (x) = x , x ∈ [0, 1], P = {0, , , 1} 3 b) f (x) = x , x ∈ [0, 1], P = {0, n , n , · · · , n } n c) f (x) = x2 , x ∈ [0, 1], P = {0, n , n , · · · , n } n π π d) f (x) = sin x, x ∈ [0, ], P = {0, 2n , 2π , · · · , nπ } 2n 2n f (x) = , x ∈ [a, b], P = {a, aq, · · · , aq n = b} (0 < a < b) x e) Nêu ý nghóa hình học việc lấy tổng − k sin ϕ 106 Tính giới hạn tổng b) c) d) n → ∞ x x 2n + ( Hd: sin (sin x + · · · + sin nx) = cos − cos x) 2 Cho f hàm khả tích [a, b] Chứng minh k(b − a) b−a n )= f (a + n→∞ n n k=1 lim b a f (x)dx 3.2 3n n 1 (( ) + ( )2 + · · · + ( )2 ) b) n→∞ (e n + e n + · · · + e n ) lim n n n n n 1 1p + 2p + · · · + np + + ··· + ) d) n→∞ lim lim ( n→∞ n + n+2 2n np+1 Tính a) n→∞ lim c) 2π 4π n Cho Sn = (1 + ) sin + (1 + ) sin + · · · + (1 + ) sin n n n n n n a) Biểu diễn n→+∞ Sn qua tích phân xác định lim b) Tính n→+∞ Sn lim 2nπ n Cho f hàm đơn điệu [0, 1] Chứng minh Đúng hay sai: b a f (x)dx = f− 1 n k f ( ) = O( ) n k=1 n n b b a f (t)dt = a f (u)du 10 Phát biểu tính chất sử dụng việc tính tích phân: (3x2 − 5)dx = x2 dx − dx = 3( 23 − 0) − 5(2 − 0) 11 Đúng hay sai: |f | khả tích, f khả tích 12 Các hàm hàm sau khả tích Riemann [0, 1]: 1 a) Hàm đặc trưng tập {0, 10 , 10 , 10 , · · · , 1} b) f (x) = sin , x f (0) = c) f (x) = , neáu x = , n ∈ N; f (x) = trường hợp lại n n d) Hàm Dirichlet: D(x) = 0, x hữu tỉ; D(x) = 1, x vô tỉ 13 Đúng hay sai: f khả tích được, g khả tích [a, b] f (x) = g(x) trừ tập đếm 14 Đúng hay sai: f khả tích [a, b] f (x) = g(x) trừ tập hữu hạn, g khả tích 15 Cho f hàm liên tục [a, b] Chứng minh hàm [a, b] thỏa |F (x) − F (y)| ≤ max |f (t)| |x − y| t∈[a,b] F (x) = x a f liên tục 107 Bài tập x2 x2 √ ≤√ ≤ x2 1+x x2 √ dx ≤ 1+x 16 Với ≤ x ≤ 1, chứng minh Suy 1 √ ≤ 17 Chứng minh π 2π ≤ π 2x dx ≤ π sin x 18 Cho f hàm liên tục [a, b], f ≥ Chứng minh: a) tồn c cho f (c) > 0, ab f > b) ab f = 0, f ≡ 19 Chứng minh f, g hàm khả tích [a, b], b a f (x)g(x)dx n 20 a) Với n = 1, 2, 3, · · · , chứng minh n e b) Suy e n a f (x)dx b g (x)dx a ln xdx < ln n! < n+1 n+1 e < n! < e b ≤ , vaø ñaùnh giaù n! = n+1 n e ln xdx n O(n) 21 Cho f : [1, +∞) → R hàm dương, đơn điệu giảm Gọi n Sn = f (k) k=1 vaø In = n f (x)dx k f (x)dx < f (k − 1) (k = 2, 3, · · · ) a) Chứng minh f (k) < k−1 b) Chứng minh dãy (Sn − In )n∈N giảm, có giới hạn thuộc [0, f (1)] 1 c) Áp dụng cho dãy + + · · · + − ln n n 22 Dùng định lý giá trị trung bình tích phân, chứng minh hàm n (ak cos kx + bk sin kx), có nghiệm (−π, π) f (x) = x + k=1 23 Cho f hàm liên tục [a, b] Chứng minh 24 Cho f (x) = x t + t6 dt 25 Giả sử f liên tục, F (x) = 26 Giả sử hàm d ( dx ϕ(x) ϕ(a) ϕ khả vi Tính x2 df dx f vaø f (t)dt) = f (ϕ(x))ϕ (x) haøm x a f (t)dt = f (x) df dt Tìm F [a, b], d dx f (x) liên tục ϕ([a, b]) Chứng minh 108 27 Tính tích phân xác định: Bằng phương pháp đổi biến: √ a a a2 − x2 a) x2 a2 − x2 dx b) dx ◦ x Bằng phương pháp tích phân phần: π/2 π/2 x cos xdx c) ex cos xdx a) xex dx b) ◦ 0 Hà1 hữu tỉ: m dx a) b) Hà√ thức: m dx √ a) √ b) ◦ x − 5x + ◦ x x −1 2/3 Hàm lượng giác: π sin xdx b) a) ◦ π cos x − xdx (1 + x)2 √ x5 dx + x2 c) d) x4 dx + 4x2 + dx 2+x+1 c) sin4 xdx π/4 tan6 xdx d) π/4 dx cos4 x 28 Cho f hàm khả tích [−a, a] Chứng minh: a a f =2 f b) Nếu f hàm lẻ, a) Nếu f hàm chẵn, −a a −a f =0 29 Cho f hàm có chu kỳ T khả tích [0, T ] Chứng minh với a ∈ R, a+T T f= f ta coù a 30 Cho f hàm liên tục [0, 1] Chứng minh: π π/2 π π f (sin x)dx b) xf (sin x)dx = a) f (sin x)dx = Áp dụng tính π 0 x sin x dx, + cos2 x x3 sin x π + cos2 x 31 Lập luận sau sai đâu? Khi f (x) = Cho f (x) = Vaäy +∞ −∞ (1 + x) a f (x)dx = lim a→+∞ −a 32 Tính tích phân suy roäng: +∞ dx +∞ dx b) a) 2/3 4/3 f) +∞ x x cos xdx g) x +∞ f (sin x)dx d −1 ( ) dx + x a→+∞ dx f (x)dx = lim ( dx x2/3 x ln xdx h) c) π d) +∞ 1 −1 − ) = 1+a 1+a dx 4/3 x xdx √ x−1 e) +∞ x2 + dx x4 + 33 Dùng dấu hiệu thích hợp, xét hội tụ tích phân: +∞ +∞ xn dx +∞ ln(1 + x)dx x2 dx b) (n ≥ 0) c) a) m n x +x +1 1+x x 109 Bài tập d) h) +∞ 0 cos xdx + xn ln xdx i) − x2 dx e) √ − x2 +∞ sin x dx x3/2 f) √ xdx √ − x4 g) √ xdx sin x − e 34 Xeùt hội tụ tích phân sau (p, q, p1 , · · · , pn tham soá): b +∞ xp +∞ dx dx a) dx c) b) p p q a (x − a) d) Haøm Gamma e) Haøm Beta f) π/2 1+x Γ(p) = B(p, q) = dx p x sinq x cos g) +∞ x ln x e−x xp−1 dx xp (1 − x)q dx +∞ −∞ |x − a1 |p1 |x dx − a2 |p2 · · · |x − an |pn 35 Chứng minh tích phân sau hội tụ không hội tụ tuyệt đối: 36 Cho f hàm liên tục [0, 1] Chứng minh π/2 f (x) f (x) √ dx − x2 +∞ cos x dx x hội tụ √ dx = f (sin u)du Chứng minh − x2 0 (để ý tích phân vế phải không tích phân suy rộng) 37 Chứng minh haøm F (x) = x sin t dt (0 < x < ∞) t3/2 38 Nhờ tổng Riemann tích phân ln xdx, đạt max x = π suy n→∞ lim √ n n! n 39 Trong , tính diện tích miền giới hạn đường cong: x2 y a) y = x2 + 4, y = x + b) + = 1, y = x2 (phaàn dưới) R2 a b k c) y = ln( ), y = 0, x = 1, x = e (k > 0) Tìm k ∈ N để diện tích < e − x d) Đường Cycloid: x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) vaø y = (tính nhịp) e) Đường Lemniscate cho tọa độ cực: r = a2 cos 2ϕ f) Đường trái tim cho tọa độ cực: r = a(1 + cos ϕ) 40 Tìm giá trị lớn I(t) = |ex − t|dx 41 Trong R3 , tính thể tích vật thể mặt tròn xoay giới hạn mặt cong: b a) Tạo đường cong y = a2 − x2 , −a ≤ x ≤ a, xoay quanh trục Ox a b) Tạo đường cong y = − x, ≤ x ≤ 4, xoay quanh truïc Oy 42 Trong R2 , tính độ dài đường cong: a) y2 = x3 , ≤ x ≤ 1, y > b) y = 2px, a ≤ x ≤ b c) Đường Astroide: x = a cos3 t, y = a sin3 t ϕ d) Cho tọa độ cực: r = sin3 , ≤ ϕ ≤ π/2 110 Chuỗi số Biểu diển số sau dạng chuỗi số: 0, 61111 · · · , 1, 33333 · · · , −2, 343434 · · · , e, π , ln 2 Lập luận sau sai đâu? Cho S = + + + + 16 + · · · Khi 2S = + + + · · · = S − Vậy S = −1 Chứng minh S − a1 a + a2 + a3 + · · · hội tụ S , a2 + a3 + · · · hội tụ Chứng minh chuỗi sau hội tụ dãy tổng riêng hội tụ Xác định tổng: 1 1 + + + + + ··· a) b) c) d) e) h) 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 1 1 + + + + ··· 1.4 4.7 7.10 10.13 1 1 + + + + + ··· 1.3 4.6 7.9 10.12 13.15 1 1 − + − + +··· 16 ∞32 ∞ k ∞ √ √ √ 1−x k + 3k ) g) f) ( ( k + − k + + k) 6k 1+x k=0 k=0 k=0 ∞ k(k + 1)(k + 2) k=1 i) ∞ k(k + m) k=1 (m ∈ N) Dùng dấu hiệu hội tụ thích hợp, xét hội tụ chuỗi sau: ∞ ∞ ∞ ∞ k4 1+k k ln k b) e) c) d) a) k f) k) k=0 ∞ k=0 ∞ k! (k!)2 (2k)! 1+k k=0 ∞ g) p lnq k k k=2 (ln k)k k=2 l) ∞ 4+2 k=0 ∞ h) (1 k=0 + k )2k ek k=0 k + 2k + i) j) ∞ kp k=1 ∞ ∞ k!3k kk k=1 k ln k k=2 sin kx k=0 ∞ (−1)k √ + Chứng minh (−1)k ak phân Cho ak = k k k=1 (chú ý ak > ak → 0, không đơn điệu) kỳ Cho chuỗi ( )0 + ( )1 + ( )2 + ( )3 + ( )4 + · · · Hãy kiểm tra hội tụ 4 dấu hiệu D’Alembert Chuỗi có hội tụ? Xét chuỗi S = ∞ kp k=1 Gọi tổng riêng thứ n Sn k+1 < a) Khi p > 0, chứng minh (k + 1)p Suy chuỗi hội tu p > 1ï k 1 dx < p p x k (k = 1, 2, · · · ) 111 Baøi taäp +∞ 1 dx < S < Sn + dx xp xp n n 1 < S − Sn < p−1 (p − 1)(n + 1) (p − 1)np−1 b) Khi p > 1, chứng minh c) Suy ta có sai số: Cho ak , bk > Gỉa sử ∞ ∞ ak bk , k=0 k=0 a2 , k ∞ ∞ + − + ak k=0 (ak + bk ) , k=0 vaø − ∞ + ··· bk k=0 ∞ √ k=0 10 Laäp luận sau sai sao? 1− +∞ Sn−1 + = = = = hội tụ Chứng minh ak k hội tụ + ( − 1) + + ( − ) + + ( − ) + · · · (1 + + + + · · · ) − − − − − · · · 4 (1 + + + + · · · ) − (1 + + + + · · · ) 4 11 Đúng hay sai: + x2 + x + x4 + x6 + x3 + x8 + x10 + x5 + · · · = 1−x , với |x| < ... hết tài liệu nên tham khảo, đề nghị tài liệu sau (bằng tiếng Việt): [1] Jean-Marier Monier, Giải tích , NXB Giáo dục [2] Y.Y Liasko, A.C Bôiatruc, IA G Gai, G.P Gôlôvac, Giải tích toán học - Các... Chương IV Phép tính tích phân Nguyên hàm - Tích phân bất định Tích phân xác định ... Đây giáo trình Giải tích dành cho sinh viên năm thứ ngành Toán hay ngành Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm giới hạn dãy chuỗi số thực, tính liên tục, phép tính vi phân tích phân hàm số biến