Giải tích C1 Giải Tích C1 Nguyễn Thị Thu Vân Đại học Khoa Học Tự Nhiên 2009 - 2010 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 1 / 122 Cách Tính Điểm Môn Học Kiểm tra giữa học kỳ : 30% (xem thông báo) Kiểm tra cuối kỳ : 70% Một Số Phần Mềm Hổ Trợ Tính Toán Maxima - Mathematica - Maple - Matlab TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 2 / 122 Tài Liệu Tham Khảo 1 Dương Minh Đức: Giáo Trình Toán Giải Tích 1, NXB Thống Kê (2004) 2 Nguyễn Quốc Hưng: Toán Cao Cấp C1 và Một Số Ứng Dụng Trong Kinh Doanh, NXB ĐHQG Tp.HCM (2009) 3 Phan Quốc Khánh: Phép Tính Vi Tích Phân (tập 1), NXB Giáo Dục (1998) 4 Nguyễn Thành Long và Nguyễn Công Tâm: Toán Cao Cấp C1, Khoa Kinh Tế ĐHQG TpHCM (2004) 5 Stewart J.: Calculus - Concepts and Contexts, Brooks-Cole (2002) TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 3 / 122 Chương 0. Số Phức 1. Dạng đại số của số phức Định nghĩa: Dạng đại số của số phức : z = a + ib a gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z) b gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z) Tập hợp số phức ta ký hiệu là C hay còn gọi là mặt phẳng phức Modul của số phức: j z j = p a 2 + b 2 : khoảng cách từ z tới O  z = a  ib : số phức liên hợp của z TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 4 / 122 Các phép toán: Cho 2 số phức z 1 = a 1 + ib 1 ; z 2 = a 2 + ib 2 . Khi đó: 1 z 1 = z 2 , a 1 = a 2; b 1 = b 2 2 z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + i(b 1 + b 2 ) 3 z 1 .z 2 = (a 1 + ib 1 )(a 2 + ib 2 ) TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 5 / 122 Chương 0. Số Phức 2. Dạng lượng giác Định nghĩa: Cho số phức z = a + ib, z 6= 0. Gọi r là khoảng cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương của trục thực với bán kính vector của điểm z. Khi đó, dạng lượng giác của số phức z được viết như sau: z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) Khi z = 0 ta lấy r = 0, còn ϕ không xác định Công thức chuyển từ dạng đại số sang lượng giác như sau: r = p a 2 + b 2 ; tg ϕ = b a cần chọn ϕ sao cho b và sinϕ cùng dấu TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 6 / 122 Cho 2 số phức z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ); z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). Khi đó: 1 Sự bằng nhau: z 1 = z 2 , r 1 = r 2; ϕ 1 = ϕ 2 + k2π, k 2 Z 2 Phép nhân/chia 2 số phức: z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos(ϕ 1  ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1  ϕ 2 ) ) z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) ) 3 Công thức Moivre: ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ 8n 2 Z 4 Công thức Euler (thường được gọi là dạng mũ của số phức) re i ϕ = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 7 / 122 Chương 0. Số Phức 3. Dạng lũy thừa, khai căn Bài toán: Cho α 2 C . Tìm z 2 C thỏa phương trình z n = α? Giả sử α = r(cos ϕ + i sin ϕ). Đặt: z = ρ(cos θ + i sin θ), ta có: z n = ρ n (cos nθ + i sin nθ) = r(cos ϕ + i sin ϕ) , ρ = n p r ; θ = ϕ + k2π n , k 2 Z Vậy các nghiệm của phương trình z n = α là: z k = n p r  cos ϕ + k2π n + i sin ϕ + k2π n  , k 2 Z Chú ý: thực sự k chỉ cần cho các giá trị k = 0, 1, 2, ., n  1 là ta có đủ mọi nghiệm của phương trình TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 8 / 122 Thí dụ: 1 Tìm các căn bậc n của đơn vị? 2 Biểu diễn dạng lượng giác và dạng mũ của số phức z = 2 + 2 p 3i 3 Tìm các căn bậc 3 của số phức z = 2 + 2 p 3i 4 Sử dụng công thức Moivre tính biểu thức  1+i p 3 1i  20 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 9 / 122 [...]... 1) = 0 có đúng 5 nghiệm Giải Tích C1 2009 - 2010 10 / 122 Chương 1 Số Thực 1.1 Tập hợp - Tập hợp các số nguyên - Tập hợp các số hữu tỉ - Số thực Tập hợp các số nguyên dương: N = f1, 2, 3, Tập hợp các số nguyên Z = f Tập hợp các số hữu tỉ Q= m n jm , 3, 2, g 1, 0, 1, 2, 3, g 2 Z và n 2 N Tập hợp các số thực R Tập hợp các số phức C TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 11 / 122... Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 π 2 + kπ, k 2 Z ), cot gx 2009 - 2010 14 / 122 Các hàm lượng giác ngược: x = arcsin y y = sin x, π 2 x π () x = arcsin y 2 x = arccos y y = cos x, 0 Ta có đẳng thức: x π () x = arccos y arcsin x + arccos x = π 2 x = arctgy y = tgx, x = arccot gy π π < x < () x = arctgy 2 2 y = cot gx, 0 < x < π () x = arccot gy TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010... jxn Giải Tích C1 0j < ε 2009 - 2010 19 / 122 Các tính chất của dãy số: Giả sử dãy fxn g hội tụ về a 1 Nếu a > p (tương ứng với a < p), thì 9N 2 N : 8n 2 N, n 2 Nếu xn p (xn q ) với mọi n, thì a 9N 2 N : 8n 2 N, n 3 N =) xn > p (tương ứng với xn < p ) p (a q) N =) xn > p (tương ứng với xn < p ) Dãy fxn g được gọi là bị chận, nghĩa là: 9M > 0 : jxn j TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) M Giải Tích C1. .. 2j < δ Giải Tích C1 2009 - 2010 25 / 122 Ta gọi số thực L là giới hạn của hàm số y = f (x ) khi x tiến ra vô cực, nếu 8ε > 0, 9N > 0 : jx j > N =) jf (x ) Lj < ε Nói chung số N phụ thuộc vào ε Ta ký hiệu lim f (x ) = L x !∞ 1 x !∞ x Ví dụ Chứng minh lim 1 x = 0 Thật vậy, < ε khi jx j > 1 , nên ε 1 1 8ε > 0, 9N = ε : jx j > N =) x 0 < ε 0 = 1 jx j TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009... 8ε > 0, 9δ( ) > 0 : x0 < x < x0 + δ =) jf (x ) Lj < ε Ký hiệu : lim f (x ) = L x ! x0 + TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 27 / 122 Định lý: lim f (x ) = L , lim f (x ) = L và lim f (x ) = L x ! x0 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) x ! x0 Giải Tích C1 x ! x0 + 2009 - 2010 28 / 122 Chương 2 Hàm Số Liên Tục 1 Giới hạn hàm số: Các tính chất của hàm số có giới hạn 1 Nếu f (x... ∞ thay vì quá trình x ! x0 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 30 / 122 Định lý(Bất đẳng thức kẹp): Cho x0 và 3 hàm số f , g , h xác định trong lân cận của x0 Nếu g (x ) f (x ) h (x ) 8x 2 B (x0 ) lim g (x ) = L = lim h (x ) x ! x0 x ! x0 thì lim f (x ) = L x ! x0 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 31 / 122 Định lý: Xét hàm hợp f 1 u : x 7 ! f [u... Học Tự Nhiên) x ! x0 Giải Tích C1 2009 - 2010 32 / 122 Các giới hạn cơ bản: 1 2 lim sin x x !0 x = 1, 1 lim (1 + n )n = e n!∞ Với e là một số vô tỉ, e ' 2, 71828 Người ta chứng minh được rằng lim (1 + x )1/x = e x !0 Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, hay lôgarit tự nhiên hay lôgarit Néper Ta có lim x !0 3 ln(1+x ) x x !0 lim ex 1 x =1 =1 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 33 /... Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 34 / 122 Tính chất: 1 2 3 Nếu α(x ) là VCB khi x ! x0 và C là một hằng số thì cũng là C α(x ) cũng là VCB khi x ! x0 Nếu α1 (x ), , αn (x ) là một số hữu hạn các VCB khi x ! x0 thì tổng α1 (x ) + + αn (x ) và tích của chúng α1 (x ) αn (x ) cũng là các VCB khi x ! x0 Nếu α(x ) là một VCB khi x ! x0 và f (x ) là hàm bị chận trong một lân cận: 0 < jx x0 j < δ, thì thì tích. .. (x ) > 0 ở lân cận x0 và có giới hạn khi x ! x0 thì giới hạn ấy vẫn 0 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 29 / 122 Định lý: Giả sử lim f (x ) = L, lim g (x ) = M Khi đó x ! x0 x ! x0 1 Tổng f (x ) + g (x ) cũng có giới hạn, và lim [f (x ) + g (x )] = L + M x ! x0 2 3 Tích f (x )g (x ) cũng có giới hạn, và lim f (x )g (x ) = LM Nếu M 6= 0 thì thương f (x ) g (x ) x ! x0 cũng... mọi số ∞ nguyên dương m Lúc đó ∑ ak hội tụ k =1 Tiêu chuẩn tích phân: Cho một dãy số thực sao cho có một số nguyên dương N và một hàm số f đơn điệu giảm từ [N, ∞) vào [0, ∞) sao cho an = f (n ) với mọi số nguyên dương n N Lúc đó chuỗi số ∞ Rn ∑ ak hội tụ nếu và chỉ nếu lim N f (t )dt < ∞ k =1 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) n!∞ Giải Tích C1 2009 - 2010 24 / 122 Chương 2 Hàm Số Liên Tục 1 Giới hạn . Giải tích C1 Giải Tích C1 Nguyễn Thị Thu Vân Đại học Khoa Học Tự Nhiên 2009 - 2010 TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 -. TVNguyen (Đại học Khoa Học Tự Nhiên) Giải Tích C1 2009 - 2010 2 / 122 Tài Liệu Tham Khảo 1 Dương Minh Đức: Giáo Trình Toán Giải Tích 1, NXB Thống Kê (2004) 2