Đang tải... (xem toàn văn)
Về điều kiện tối ưu cấp cao trong tối ưu không trơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- Nguyễn Thị Xuân Mai VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- Nguyễn Thị Xuân Mai VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60.46.01 LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ TTOOÁÁNN HHỌỌCC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC……………………………………………………………………1 MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… .2 Chƣơng I ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC 1.1. Đạo hàm theo phƣơng cấp cao Ginchev và điều kiện tối ƣu cấp cao….4 1.2. Xấp xỉ đa thức và điều kiện đủ tối ƣu……………………………… 13 1.3. Điều kiện tối ƣu cấp hai…………………………………………… . 19 1.4. Cực tiểu cô lập…………………………………………………… .26 Chƣơng II ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC TẬP 2.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ………………………………………33 2.2. Điều kiện cần cấp cao cho cực tiểu địa phƣơng yếu………………….42 2.3. Điều kiện đủ cấp cao cho cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt………… 44 2.4. Trƣờng hợp rQ………………………………………………… 48 KẾT LUẬN…………………………………………………………………55 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Do nhu cầu của kinh tế và kỹ thuật, lý thuyết tối ƣu hoá đã phát triển mạnh mẽ và ngày càng thu đƣợc nhiều kết quả quan trọng. Lý thuyết các điều kiện tối ƣu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ƣu hoá. Các điều kiện tối ƣu cấp cao đƣợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả và dƣới nhiều ngôn ngữ đạo hàm hoặc đạo hàm theo phƣơng khác nhau ( xem chẳng hạn [2] – [10] ). Năm 2002, I.Ginchev [5] đƣa ra khái niệm đạo hàm theo phƣơng cấp cao cho một hàm giá trị thực mở rộng và thiết lập các điều kiện tối ƣu cấp cao cho bài toán tối ƣu không trơn không ràng buộc. B.Jiménez ( [6] , 2002 ) đƣa ra khái niệm cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu. Sử dụng các khái niệm cực tiểu chặt của Jiménez [6], Đ.V.Lƣu và P.T.Kiên [7] đã dẫn các điều kiện cần và đủ cho cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập trong không gian định chuẩn, dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của Ginchev [5]. Luận văn tập trung trình bày các điều kiện tối ƣu cấp cao dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của I.Ginchev trên và dƣới cho bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn không có ràng buộc và bài toán đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng I trình bày các điều kiện tối ƣu cấp cao của I.Ginchev [5] cho bài toán tối ƣu đơn mục tiêu không trơn, không có ràng buộc trong không gian Banach. Kết quả chỉ ra rằng với các điểm cực tiểu cô lập, điều kiện đủ cũng là điều kiện cần, và nhƣ vậy ta nhận đƣợc một điều kiện đặc trƣng cho cực tiểu cô lập. Chƣơng II trình bày các nghiên cứu về các điểm cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của B.Jiménez [6] và các điều kiện cần và đủ cho các điểm cực tiểu yếu, cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp m và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt của Đ.V.Lƣu và P.T.Kiên [7] cho bài toán tối ƣu đa mục tiêu không trơn trong không gian định chuẩn với ràng buộc tập, dƣới ngôn ngữ đạo hàm theo phƣơng cấp cao của I.Ginchev [5]. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS.Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Trƣờng ĐH Sƣ phạm – ĐH Thái Nguyên cùng các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học Toán K15 đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4 Chƣơng I ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC Năm 2002, I.Ginchev [5] đƣa ra một khái niệm đạo hàm theo phƣơng cấp cao cho các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên không gian Banach và thiết lập các điều kiện tối ƣu cấp cao cho bài toán tối ƣu không trơn không có ràng buộc. Các kết quả trình bày trong chƣơng này là của I.Ginchev [5]. 1.1. ĐẠO HÀM THEO PHƢƠNG CẤP CAO GINCHEV VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO Giả sử E là không gian Banach thực, là tập các số thực và { } {+ } . Ta sẽ đƣa vào đạo hàm theo phƣơng cấp cao cho hàm không trơn :fE tại điểm 0xE để dẫn điều kiện tối ƣu cấp cao cho bài toán tối ƣu : ()f x min. Ở đây ta xét hàm f không trơn, thậm chí f không nhất thiết liên tục. Nhắc lại: điểm 0xE gọi là điểm cực tiểu địa phương của f nếu tồn tại lân cận U của x0 sao cho 0( ) ( ),f x f x x U . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 5 Nếu bất đẳng thức này chặt với 0xx thì x0 đƣợc gọi là cực tiểu địa phương chặt. Ký hiệu B và S tƣơng ứng là hình cầu đơn vị :1x E x và mặt cầu đơn vị :1x E x trong E. Ta chỉ cần xét các phần tử của S thay cho các phƣơng ( khác 0 ) trong E. Ký hiệu S là tôpô trên S. Tôpô S đƣợc dùng để định nghĩa đạo hàm theo phƣơng của f. Ta chỉ hạn chế xét tôpô mạnh, tôpô yếu, tôpô rời rạc và tôpô phản rời rạc ( tôpô tầm thƣờng ). Tôpô mạnh và tôpô yếu trên S cảm sinh tƣơng ứng từ tôpô mạnh ( tôpô chuẩn ) và tôpô yếu trên E. Mỗi tập con của S là mở đối với tôpô rời rạc, còn đối với tôpô phản rời rạc trên S, chỉ có hai tập mở là S và tập rỗng. Lấy uS. Ta định nghĩa đạo hàm dưới cấp không của f tại x0 theo phƣơng u bởi công thức (0) 0 0( , ') ( 0, )( , ) ( ')t u uf x u lim inf f x tu, trong đó 'uS. Chú ý rằng trong giới hạn trên, ta bắt đầu với đạo hàm cấp không để bao hàm đƣợc cả những hàm không liên tục trong lý thuyết. Đạo hàm (0) 0( , )f x u luôn tồn tại và là một phần tử của . Với mỗi số nguyên dƣơng n và mỗi phƣơng uS, ta thừa nhận rằng: đạo hàm dƣới cấp n ( ) 0( , )nf x u theo phƣơng u tồn tại và là một phần tử của khi và chỉ khi các đạo hàm ( ) 0( , )if x u, i = 0, 1, ., n – 1 tồn tại trong . Ta định nghĩa đạo hàm theo phương dưới cấp n nhƣ sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 6 1( ) 0 0 ( ) 0( , ') ( 0, )0!( , ) ( ') ( , )!innint u uintf x u lim inf f x tu f x uti . (1.1) Vì ( ) 0( , )if x u với i = 0, ., n – 1, chỉ có số hạng 0( ')f x tu trong (1.1) có thể nhận giá trị vô hạn. Do đó biểu thức không thể xuất hiện trong (1.1). Ta sẽ dùng khái niệm đã đƣa vào để dẫn điều kiện tối ƣu cấp cao. Liên quan đến tính tối ƣu không trơn, các điều kiện cấp cao sau đây là quan trọng. Ở đây uS là một phƣơng cố định và n là một số dƣơng. 00( , )S x u (0) 0 0( , ) ( )f x u f x, 0( , )nS x u (0) 0 0 ( ) 0( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1, ., 1)if x u f x f x u i n và ( ) 0( , ) 0nf x u, 00( , )N x u (0) 0 0( , ) ( )f x u f x, 0n( , )N x u Nếu(0) 0 0( , ) ( )f x u f x và( ) 0 ( , ) 0 ( 1, ., 1)if x u i n thì ( ) 0( , ) 0nf x u. Định lý 1.1( Điều kiện cần cấp cao) Giả sử x0 là điểm cực tiểu địa phương của hàm :fE. Giả sử uS và n = n(u) là số nguyên không âm tuỳ ý sao cho tất cả các đạo hàm( ) 0( , )if x u, i = 0, ., n, tồn tại. Khi đó tất cả các điều kiện 0i( , )N x u, i = 0, ., n đều thỏa mãn. Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 7 Lấy > 0 sao cho 0( ) ( )f x f x với 0xx. Lấy uS. Với 'uS và 0 t, ta có 00( ') ( ) 0f x tu f x . Do đó, (0) 0 0( , ) ( )f x u f x. Đây chính là điều kiện 00( , )N x u. Mặt khác, giả sử với n = n(u), các đạo hàm ( ) 0( , )if x u, i = 0, ., n tồn tại, (0) 0 0( , ) ( )f x u f x và ( ) 0( , ) 0 ( 1, ., 1)if x u i n . Khi đó, 10 (0) 0 ( ) 01!( ') ( , ) ( , )!ininintf x tu f x u f x uti = 0 (0) 0!( ') ( , ) 0nnf x tu f x ut . Vì vậy ( ) 0( , ) 0nf x u. Đây chính là điều kiện 0n( , )N x u. Để có điều kiện đủ, ta cần có bổ đề sau đây Bổ đề 1.1 Giả sử hàm :fE. Lấy 0xE và uS sao cho tồn tại một số nguyên không âm n để điều kiện 0nS ( , )xu thoả mãn. Khi đó, tồn tại số ( ) 0u và một lân cận U = U(u) S của u ( đối với tôpô S ) sao cho 00( ') ( )f x tu f x với mọi 0 < t < ()u và 'u U(u). Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 8 Giả sử 00( , )S x u đúng. Lấy số thoả mãn (0) 0 0( , ) ( )f x u f x. Từ định nghĩa của (0) 0( , )f x u suy ra tồn tại ( ) 0u và lân cận U = U(u) S của u sao cho 00( ') ( )f x tu f x với mọi 0 < t < và 'u U(u). Giả sử điều kiện 0( , )nS x u thoả mãn với số dƣơng n nào đó, và số thoả mãn ( ) 0( , ) 0nf x u. Do (0) 0 0 ( ) 0( , ) ( ), ( , ) 0 ( 1, ., 1)if x u f x f x u i n , nên ta có 10 0 0 ( ) 001!( ') ( ) ( ') ( , )!!ininnintf x tu f x f x tu f x u tn t i . Theo định nghĩa của ( ) 0( , )nf x u, với số dƣơng t đủ nhỏ và 'u đủ gần u, ta có 001( ') ( ) 0!nf x tu f x tn . Định lý 1.2 ( Điều kiện đủ cấp cao) Giả sử hàm :fE ,0xEvà S là compact đối với tôpô S. Giả sử với mỗi uS, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) sao cho điều kiện 0( , )nS x u thoả mãn. Khi đó, x0 là cực tiểu địa phương chặt của hàm f. Chứng minh Theo bổ đề 1.1. với mỗi uS, tồn tại số ( ) 0u và một lân cận U = U(u) S của u ( đối với tôpô S ) sao cho [...]... nhƣng không là điểm cực tiểu địa phƣơng cô lập Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chƣơng II ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC TẬP Chƣơng II trình bày một số tính chất của cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt cấp n và cực tiểu Pareto địa phƣơng chặt, và các điều kiện cần và đủ cho hai loại cực tiểu đó của bài toán tối. .. Điều kiện đủ để điểm x0 là điểm cực tiểu cô lập cấp n0 đƣợc phát biểu nhƣ sau: Định lý 1.10 ( Điều kiện đủ ) Giả sử hàm f : E , x0 E và S compact đối với tôpô S Giả sử n0 là một số nguyên không âm và với mỗi u S, tồn tại số nguyên không âm n = n(u) n0 sao cho điều kiện Sn ( x 0 , u ) thoả mãn Khi đó, x0 là điểm cực tiểu địa phương cô lập cấp n0 của f Chứng minh Bất đẳng thức cuối cùng trong. .. , i = 0, , k – 1 Nếu một bất đẳng thức chặt nào đó trong số các điều kiện này đúng và m là chỉ số i đầu tiên thoả mãn tính chất này thì điều kiện này thực chất chính là Sm ( x 0 , u ) Nếu không có bất đẳng thức chặt nào trong số các điều kiện này xuất hiện thì f ( k ) ( x0 , u) và Sk ( x 0 , u ) đúng Với mỗi trƣờng hợp đƣa ra, điều kiện đủ của định lý 1.2 đều thoả mãn Do đó, x0 là điểm... Nhƣ vậy các điều kiện cần (BZ1) và (BZ2) của định lý 1.8 không kéo theo các điều kiện cần (a0) – (a2) của định lý 1.7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.4 CỰC TIỂU CÔ LẬP Trong mục này, ta mô tả điểm cực tiểu thoả mãn các điều kiện đủ của định lý 1.2 và trả lời câu hỏi đã đặt ra sau ví dụ 1.2 Giả sử f : E và n0 là một số nguyên không âm Nhắc lại... đƣợc sự biểu diễn (1.5) Từ các định lý 1.1, 1.2 ta có định lý sau cho trƣờng hợp cấp hai Định lý 1.7 ( Điều kiện cấp hai ) Cho hàm f : E và x 0 E Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 http://www.Lrc-tnu.edu.vn (A) Điều kiện cần: Giả sử x0 là điểm cực tiểu địa phương của f, u S Khi đó, một trong ba điều kiện sau đây được thoả mãn: (a0) f (0) ( x0 , u) f ( x0 ) , (a1) Nếu f (0)... v, z) 0 , hay điều kiện (BZ2) thoả mãn Ví dụ sau đây chỉ ra rằng các điều kiện cần (BZ1) và (BZ2) của định lý 1.8 không kéo theo các điều kiện cần (a0) – (a2) của định lý 1.7 Ví dụ 1.7 Hàm f : 2 xác định bởi 1 3 2 x2 x13 , x1 0, x13 x2 x1 , 2 3 3 f (x1, x2) = 3 x13 2 x2 , x1 0, x13 x2 x1 , 2 0 , trong các trƣờng hợp khác Hiển nhiên, x0 = (0, 0) không là điểm cực... E = và f ( x) x m với m là số nguyên không âm nào đó và 0 < < 1 Hiển nhiên x0 = 0 là điểm cực tiểu chặt Các đạo hàm Dini dƣới là 1) f(i ) (0,1) f(i ) (0, 1) = 0, i = 0, , m 2) f( m1) (0,1) f( m1) (0, 1) Do đó, x0 = 0 là điểm cực tiểu địa phƣơng chặt cấp m + 1 theo điều kiện đủ của định lý 1.2 1.2 XẤP XỈ ĐA THỨC VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƢU Trong mục này, ta mô tả đạo hàm theo phƣơng... 0 Vậy x0 là cực tiểu địa phƣơng chặt theo điều kiện cấp một trong định lý 1.2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chú ý rằng với các cách chọn tôpô S khác, chẳng hạn nếu không gian E trong ví dụ 1.1 là vô hạn chiều và tôpô mạnh thay thế cho tôpô phản rời rạc thì điểm x0 = 0 không là cực tiểu bởi vì mặt cầu S không compact Giả sử S là tôpô rời rạc Vì tập... , n! s s s s trong đó (u0 , , un1, t0 , , tn1 ) là dãy tuỳ ý thoả mãn ba điều kiện sau: 1) tis 0 , uis u khi s , với i = 0, , n – 1, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2) x0 tisuis dom f với i = 0, 1, , n – 1, s s 3) Ai = lim i f ( x0 , u0 , , uis , t0 , , tis ) với i = 0, 1, , n – 1 s 1.3 ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP HAI Đạo hàm cấp một f (1)... rời rạc, S là compact chỉ nếu S là tập hữu hạn, nghĩa là chỉ trong trƣờng hợp một chiều Ngoài trƣờng hợp một chiều, đạo hàm theo phƣơng dƣới Dini không thể sử dụng đƣợc điều kiện đủ của định lý 1.2 Đạo hàm Dini hữu ích trong điều kiện cần của định lý 1.1 bởi vì việc tính toán giới hạn t 0 thuận tiện hơn so với giới hạn (t , u ') (0, u ) Trong trƣờng hợp tôpô S trên S là tôpô mạnh, ta sử dụng đạo . ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CẤP CAO CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐƠN MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC 1.1. Đạo hàm theo phƣơng cấp cao Ginchev và điều kiện tối ƣu cấp. ---------------------------- Nguyễn Thị Xuân Mai VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CAO TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số