Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 2
Chương 3: Tích phân bội ( tích phân hàm nhiều biến) 3.1 Tích phân bội 3.1.1 Khái niệm: a) Định nghĩa: f(x;y) xác định D: đóng bị chặn Si (i = n) M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si (i = n) di; d= max{di} n I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si i =1 ∃hh I = ∫∫ f (x; y)dS = Lim I n ⇔ f (x; y) kt / D D n →+∞ Chó ý: I = ∫∫ f (x; y)dS = ∫∫ f (x; y) dxdy D ý nghÜa h×nh häc: D V = ∫∫ f (x; y) dxdy D b) Điều kiện khả tích: 3.1.2 TÝnh chÊt cđa tÝch ph©n béi 2: a) ∫∫ [ f (x; y) + g(x; y) ]dxdy = ∫∫ f (x; y)dxdy + ∫∫ g(x; y)dxdy D b) D D ∫∫ kf (x; y)dxdy = k.∫∫ f (x; y)dxdy (k = const) D D c) D = D1 U D ; D1 ID = φ : ∫∫ f (x; y)dxdy = ∫∫ f (x; y)dxdy + ∫∫ f (x; y)dxdy D d) D1 D2 f (x; y) ≤ g(x; y) ∀(x; y) ∈ D : ∫∫ f (x; y)dxdy ≤ ∫∫ g(x; y)dxdy D e) ∃(x o ; y o ) ∈ D : ∫∫ f (x; y)dxdy = f (x o ; y o ).S(D) D D 3.2 Cách tính tích phân bội hệ toạ độ Đề các: 3.2.1 Miền lấy tích phân D = [a; b] x [c; d]; f(x;y) liªn tơc trªn D d b d ∫∫ f (x; y)dxdy = ∫ ∫ f (x; y)dy ÷dx =∫ ∫ f (x; y)dx ÷dy D ac ca b VÝ dơ: TÝnh tÝch ph©n: 2 2 2 dxdy dy I = ∫∫ = ∫ dx ∫ = ∫ (− ) dx 2 (x + y) (x + y) x+y 1 1 1 2 x +1 = ∫ − = ln ÷dx = ln x +1 x + x+21 1 (3.1) 3.2.2.Miền D bị chặn bất kỳ: * D = { (x; y) : a ≤ x ≤ b; y1 (x) ≤ y ≤ y (x)} y2 (x ) ∫∫ f (x; y) dxdy = ∫ y ∫ ) f (x; y)dy ÷dx ÷ D a (x * D = { (x; y) : c ≤ y ≤ d; x1 (y) ≤ x ≤ x (y)} b x ( y) ∫∫ f (x; y) dxdy = ∫ x ∫y) f (x; y)dx ÷dy ÷ D c 1( (3.2) d (3.3) VÝ dô 1: TÝnh I = ∫∫ (x + y )dx dy 2 D Với D hình phẳng giới hạn bởi: a) ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ b) ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ x c) ≤ y ≤ 1;0 ≤ x ≤ y Gi¶i: a) 1 y3 I = ∫ dx ∫ (x + y )dy = ∫ (x y + ) dx 0 1 x x = ∫ (x + )dx = ( + ) = 3 3 b) x2 y x6 I = ∫ dx ∫ ( x + y )dy = ∫ x y + ÷ dx = ∫ ( x + )dx 0 0 0 x 1 x x 26 = + ÷ = 105 VÝ dụ: (tiếp) c) Tương tự câu b: y2 26 I = ∫ dy ∫ (x + y )dy = 105 0 * Chó ý: 3.2.3 §ỉi biÕn sè tÝch ph©n béi a) §ỉi biến số hệ toạ độ Đề các: I = ∫∫ f (x;y)dx dy; f lt / D D x = x(u; v) g: ; y = y(u; v) g : D' → D (u; v) a (x;y) x J= y ' u ' u ' v ' v x ≠ / D' y ⇒ I = ∫∫ f[x(u; v);y(u; v)] J dudv D' (3.4) VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n I = ∫∫ ( x + y )dxdy D Với D giới hạn đường y = -x; y = -x +3; y = 2x -1; y =2x+1 Đặt u =x+ y; v = -2x +y nên D = [0;3] x [ -1; 2] J = 1/3 VËy: 1 I = ∫∫( x + y )dxdy = ∫ udu ∫ dv = 30 D b) Đổi biến số toạ độ cùc x = r cos ϕ ; r > 0;0 ≤ ϕ ≤ 2π x = r sin ϕ I = ∫∫ f (x;y) dx dy = ∫∫ f (r cos ϕ;r sin ϕ)rdrdϕ D VD : I = ∫∫ D = π/ ∫∫ 0 D' dx dy + x2 + y rdrdϕ 1+r (3.5) = π/ 0 ∫ dϕ∫ ; D = {( x; y ) : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y < 1} π = ( − 1) 2 1+r rdr 3.3 øng dơng cđa tÝch ph©n béi 2: a) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ: V = ∫∫ f (x;y)dx dy (3.6) D VÝ dơ : ThĨ tÝch vËt thĨ giíi h¹n bëi x= 0; y =0; z =0, x + y =1 vµ z = x2 + xy + Gi¶i:V = ∫∫ (x + xy + 1)dx dy;D = { (x;y) : x ≥ 0;y ≥ 0;x + y ≤ 1} D 1− x 0 = ∫ dx ∫ (x + xy + 1)dy −x x = ∫ − + ÷dx = 2 0 S = ∫∫ dx dy b) TÝnh diÖn tÝch hình phẳng: (3.7) D Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x y = x2 Giải: D = { (x;y) : − ≤ x ≤ 1;x ≤ y ≤ − x } ⇒ S = ∫∫ dx dy = ∫ dx y −2 2− x2 ∫ x dy = ∫ (2 − x − x)dx = −2 VÝ dơ 2: TÝnh diƯn tích hình phẳng giới hạn đư ờng Lem nix – cat: (x2+ y2)2 = 2a2 (x2 – y2) (1) Giải: chuyển sang toạ độ cực: r = 2a 2cos2ϕ;D = (x;y) : ≤ ϕ ≤ ; ≤ r ≤ a 2cosϕ π a 2cosϕ 0 S = ∫ dϕ ∫ rdr = a / c) TÝnh diƯn tÝch mỈt: S = ∫∫ + (f x' )2 + (f y' )2 dx dy (3.8) D Ví dụ: Tính diện tích mặt phần mặt Parabolôit tròn xoay z = x2 + y2 chứa hình trụ x2 + y2 = Giải: D = { (x;y) : x + y ≤ 1} ; z = f (x;y) = x + y ;f x' = 2x;f y' = 2y Khi chuyển sang toạ độ cực: S = + 4(x + y )dx dy = D 2π ∫ dϕ ∫ 0 π + 4r rdr = (5 − 1) ... (x2+ y2 )2 = 2a2 (x2 y2) (1) Giải: chuyển sang toạ độ cực: π r = 2a 2cos2ϕ;D = (x;y) : ≤ ϕ ≤ ; ≤ r ≤ a 2cosϕ π a 2cosϕ 0 S = ∫ dϕ ∫ rdr = a / c) TÝnh diƯn tÝch mỈt: S = ∫∫ + (f x'' )2. .. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x y = x2 Giải: D = { (x;y) : − ≤ x ≤ 1;x ≤ y ≤ − x } ⇒ S = ∫∫ dx dy = ∫ dx y ? ?2 2− x2 ∫ x dy = ∫ (2 − x − x)dx = ? ?2 VÝ dô 2: Tính diện tích hình phẳng... ca b VÝ dơ: TÝnh tÝch ph©n: 2 2 2 dxdy dy I = ∫∫ = ∫ dx ∫ = ∫ (− ) dx 2 (x + y) (x + y) x+y 1 1 1 2 x +1 = ∫ − = ln ÷dx = ln x +1 x + x +21 (3.1) 3 .2. 2.Miền D bị chặn bất kỳ: * D = {