Đang tải... (xem toàn văn)
b Chứng minh rằng : diện tích của tam giác AEF bằng một nữa diện tích tam giác AMN.. c Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: TOÁN 9_ Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài : (3 điểm) Chứng minh : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho với n Bài : (4 điểm) x3 x a) Cho x 1 Chứng minh : b) Cho ba số x; y; z thỏa mãn : x y z 3 Tìm giá trị nhỏ B = xy yz zx Bài : (4 điểm) a) Tính : A 48 10 b) Giải phương trình : x 10 x x 12 x 40 Bài : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh a Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M 45o , DB cắt AM ; AN theo thứ tự E D ; M C ) chọn điểm M trên cạnh BC cho MAN và F o a) Chứng minh : AFM AEN 90 b) Chứng minh : diện tích tam giác AEF diện tích tam giác AMN c) Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi M chuyển động trên DC Bài : (3 điểm) Cho tam giác ABC với đường phân giác BAC là AD Biết AD = ; AC = với BAC = 68o Tính độ dài AD Hết HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN (2) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi : TOÁN ; LỚP Nội dung Bài Điểm Chứng minh : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho với n điểm Ta có : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n = n3( n4 – 14n2 + 49 ) – 36n 0.5 = n - 14n + 49n - 36n = (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) 0.5 2 = n (n -1) - 13n (n - 1) + 36n (n -1) =( n2-1) (n5-13n3 + 36n) = (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)} 0.5 =(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n) 0.5 2 = (n - 1) (n -2) (n +2) n (n - 9) = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) 0.5 Vì n là số tự nhiên nên số A là tích số tự nhiên liên tiếp Rồi chứng minh cho tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 0.5 Kết luận: A chia hết cho 2a x3 x Cho x 1 Chứng minh : Do x nên x2 x => - 4x2 - 4x và 1-x Từ đó ta có - 4x2 (1-x) -4x (1-x) - 4x2 (1-x) +1 - 4x (1-x) +1 4x3 - 4x2 + 4x2 - 4x +1 = (2x -1)2 => 4x3 -4x2 +1 - 4x3 + 4x2 - - 4x3 + 4x2 4(-x3 + x2) 1 - x3 + x2 Vậy : -x + x x 2b Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3 Tìm giá trị lớn B xy yz zx điểm 0.75 0.25 điểm Ta có : B xy z x y xy x y x y xy x y x y x y xy 3x 3y 2 y 3y 6y y 3 3 x x y 1 3 1.25 0.5 (3) y 0 y 0 x y z 1 x x y z 3 Dấu = xảy Vậy giá trị lớn B là x = y = z = 3a Tính : Ta có : 0.25 điểm A 48 10 3 A 48 10 A 48 10 0.5 0.5 A 28 10 3 A 5 A 5 3b Giải phương trình : 0.25 0.25 = 25 = x 10 x x 12 x 40 0.5 3 điểm Điều kiện : x 10 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm Ta có : x 10 x x 10 x x 10 x 2 2 =4 x 4 x 6 x 6 10 x 4 x 6 Dấu “ = ” xảy (1) 2 x 12 x 40 x 12 x 36 x 4 Mặt khác : Dấu “=” xảy x 0 x 6 (2) Kết hợp (1) và (2) Phương trình có nghiệm là : x 6 0.75 0.25 điểm 4a Chứng minh : AFM = AEN = 90 A Nối A với C A3 = A1 ; B1 = C1 => AFB B AMC (g.g) F AF AB AF AM (1) AB AC => AM AC MAF = CAB = 45 N E Có (2) Từ và => AFM ABC 1.5 K D M C (4) 0.5 => AFM = ABC = 90 C/M hoàn toàn tương tự có AEN = 900 vì AFM = AEN = 90 4b Chứng minh : Có S AEF S AMN AF AE AFM AEN => AM AN => AEF AMN (c.g.c) => S AEF AF (1) S AMN AM Có FAM = 450, AFM = 900 1.5 => AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 S AEF AF 1 S AEF S AMN S AM = Thay vào (1) ta AMN 2 hay: => (ĐPCM) 4c 0.5 C/M chu vi CMN không đổi Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BN 1.5 ADK = ABN => AK = AN và BAN DAK đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi CMN không thay đổi M chuyển động trên cạnh DC 0.5 Tính độ dài AD 3điểm Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là : S1, S2, S Ta có : S1 = AB.AD.sinA1 S2 = AD.AC.sinA2 S = AB.AC.sinA Vì : S = S1 + S2 A K H 0.75 B D 1 Nên : AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA AD = AB.AC.sinA 6.9.sin 68o 6 AB.sinA1 +AC.sinA 6.sin 34 o 9.sin 34 o C 0.75 (5)