Đang tải... (xem toàn văn)
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục OyA. Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên.[r]
(1)TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI TỔ TOÁN
MÃ ĐỀ 121
ĐỀ KHẢO SÁT TN THPT NĂM 2021 MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu Cần chọn3 người công tác từ tổ có 30người, số cách chọn A A330 B 330 C 10 D C330 Câu Cho cấp số cộng(un), biết u2 = u4 = Giá trị u15
A 27 B 31 C 35 D 29
Câu Cho hàm số y=f(x)xác định liên tục khoảng (−∞; +∞) có bảng biến thiên hình sau
x y0 y
−∞ −1 +∞
+ − +
−∞ −∞
2
−1 −1
+∞ +∞
Mệnh đề sau đúng?
A Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;−2) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (−1; +∞) Câu
Cho hàm số y=f(x) xác định liên tục trên[−2; 2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm sốf(x) đạt cực tiểu điểm
A x= B x=−2 C x= D x=−1
x y
O
−2 −1 2
4
Câu Cho hàm sốy=f(x) liên tục Rvà có bảng xét dấu đạo hàm x
y0
−∞ −3 +∞
+ − + −
Số điểm cực trị hàm số
A B C D
Câu Tìm đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 2x−1 x+ A x=
(2)Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A y=−x4+ 4x2. B. y=x4−4x2−3.
C y=x3−3x2+ D y=−x3+ 3x2−3. x y
O
Câu Đồ thị hàm số y=−x4+ 2x2 cắt trục hoành điểm?
A B C D
Câu Với a số thực dương tùy ý, log5
Å
25 a
ã
bằng A 2−log5a B log5a C
log5a D + log5a Câu 10 Đạo hàm hàm sốy= 2021x là
A y0 = 2021x·ln 2021 B y0 = 2021x C y0 = 2021
x
ln 2021 D y
0 =x·2021x−1. Câu 11 Với a số thực dương tùy ý, a·√3
a2 bằng
A a7. B. a53. C. a35. D. a17. Câu 12 Nghiệm phương trình
Å1
4
ã3x−4
= 16
A x= B x= C x= D x=−1 Câu 13 Tích nghiệm phương trình2x2−2x =
A B C −3 D
Câu 14 Hàm số F(x) = x3−2x2+ 3 là nguyên hàm hàm số hàm số sau? A f(x) = x
4 −
2 3x
3+ 3x+ 1. B. f(x) = 3x2−4x. C f(x) = x
4 −
2 3x
3+ 3x. D. f(x) = 3x2−4x+ 3.
Câu 15 Biết F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x thỏa mãn F
π
2
= Tính F π
4
A
2 B −
3
2 C
1
2 D −
1 Câu 16 Cho
3
Z
2
f(x) dx=−2 Tính I = −1
Z
−32
f(−2x) dx
A −1 B C D −4
(3)Cho đồ thị hàm số y =f(x) hình vẽ bên Diện tích S hình phẳng (tơ đậm) hình
A S =
Z
a
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx B S =
Z
a
f(x) dx−
Z
b
f(x) dx
C S =
a
Z
0
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx D S =
Z
a
f(x) dx+
Z
b
f(x) dx x
y
O
a b
y=f(x)
Câu 18 Cho hai số phứcz1 = + 2i z2 = 4i Phần thực số phứcz1 ·z2
A −8 B C D
Câu 19 Cho hai số phứcz w thỏa mãn z =−i+ w=−3−2i Số phức z·w A −8−i B −4−7i C −4 + 7i D −8 +i
Câu 20 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z = −2i+ qua trục Oy có tọa độ
A (4; 2) B (−4; 2) C (4;−2) D (−4;−2)
Câu 21 Khối chópS.ABCDcó đáy hình bình hành, biết diện tích hình bình hànhABCD chiều cao khối chóp Tính thể tích khối chópS.ABC
A B C 24 D
Câu 22 Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, 12có độ dài
A 13 B 30 C 15 D
Câu 23 Cơng thức thể tích khối nón có bán kính đáy r
2 chiều cao h A V = πr
2h
4 B V =
πr2h
12 C V =
πr2h
24 D V =
πr2h
Câu 24 Hình trụ có đường cao h = cm đường kính đáy 10 cm Diện tích tồn phần hình trụ
A 240πcm2. B. 120πcm2. C. 70πcm2. D. 140πcm2.
Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 3) B(4; 2; 1) Độ dài đoạn thẳng AB
A √2 B 2√3 C 5√2 D √14 Câu 26 Trong không gianOxyz, mặt cầu (S) :x2+ (y−1)2+ (z+ 3)2 = 25 có tâm
A I1(0;−1; 3) B I2(0; 1;−3) C I3(0;−1;−3) D I4(0; 1; 3)
Câu 27 Trong không gianOxyz, vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng vng góc với trục Oy?
A.~i(1; 0; 0) B ~j(0; 1; 0) C ~k(0; 0; 1) D ~h(1; 1; 1) Câu 28 Trong không gianOxyz, đường thẳng qua điểm I(2; 1; 1)?
A
x= +t y=t z = 1−t
B
x= +t y= 1−t z =t
C
x= +t y =t z =t
D
x=t y= +t z = 1−t
Câu 29 Chọn ngẫu nhiên số 10 số nguyên dương Xác suất để chọn số nguyên tố
A
10 B
2
5 C
1
2 D
(4)Câu 30 Hàm số nghịch biến khoảng(1; 5)? A y= 2x+
x−2 B y=
x−3
x−4 C y=
3x−1
x+ D y=
x+ 3x+ Câu 31 GọiM,mlần lượt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm sốf(x) = x3−3
2x
2−6x+ 1 đoạn [0; 3] Khi 2M −m có giá trị
A B 18 C 10 D 11
Câu 32 Tập nghiệm bất phương trìnhlog3(25−x2)≤2
A (−5;−4]∪[4; 5) B (−∞;−4]∪[4; +∞)
C (4; 5) D [4; +∞)
Câu 33 Nếu
π
2
Z
0
[2020f(x) + sin 2x] dx= 2021thì
π
2
Z
0
f(x) dxbằng A 1011
1010 B C
2021
2020 D −1
Câu 34 Cho số phức z = − 3i Gọi a, b phần thực phần ảo số phức w= (1−2i)z Khi giá trị biểu thức P =a+b+ 2021
A 2010 B 2014 C 2028 D 2032
Câu 35 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC tam giác vng cân B cóAB=a, AA0 =a√2 Góc đường thẳng A0C với mặt phẳng (AA0B0B)
A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦
Câu 36 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a√3, SA⊥(ABCD) vàSA= 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
A √
57a
19 B
√ 57a
19 C
2√5a
5 D
√ 5a
Câu 37 Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(3;−1; 2) tiếp xúc với trục Ox có phương trình
A (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = B (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = C (x+ 3)2+ (y−1)2+ (z+ 2)2 = 1. D. (x+ 3)2+ (y−1)2+ (z+ 2)2 = 4.
Câu 38 Trong không gianOxyz, cho hình bình hànhABCDcóA(0; 1;−2),B(3;−2; 1)vàC(1; 5;−1) Phương trình tham số đường thẳngCD
A
x= +t y= 5−t z =−1 +t
B
x= 1−t y= 5−t z =−1 +t
C
x= + 3t y = + 3t z =−1 + 3t
D
x=−1 +t y=−5−t z = +t
Câu 39 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R Bảng biến thiên hàm số y=f0(x) cho hình vẽ bên
x −1
3
−1
4 f0(x)
1
Trên[−4; 2] hàm số y=f
1−x
+x có giá trị lớn A f(2)−2 B f
Å1
2
ã
+ C f(2) + D f
Å3
2
ã
(5)Câu 40 Có số nguyên dương ysao cho ứng với y có khơng q10số ngun xthỏa mnÄ3x+1−√3ä(3x−y)<0?
A 59149 B 59050 C 59049 D 59048
Câu 41 Cho hàm số f(x) =
2x−4 khix≥4
4x 3−
x2+x x <4 Tích phân π
Z
0
f sin2x+ 3sin 2xdx
bằng A 28
3 B C
341
48 D
341 96 Câu 42 Có số phứcz thỏa mãn |z|=√5và (z−3i)(z+ 2) số thực?
A B C D
Câu 43 Cho hình chópS.ABC có đáy ABC tam giác vng cân tạiB, SA⊥(ABC), AB =a Biết góc đường thẳngAC mặt phẳng(SBC)bằng30◦ Thể tích khối chópS.ABC
A a
6 B
a3
3 C a
3. D. a
3√3 Câu 44
Cổ động viên bóng đá đội tuyển Indonesia muốn làm mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trẳng Đỏ quốc kỳ Biết thiết diện qua trục hình nón tam giác vuông cân Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ bề mặt phần hình nón có đáy cung nhỏ M BN÷, phần cịn
là hình nón sơn màu Trắng Tính tỉ số phần diện tích hình nón sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng
A
7 B
2
5 C
1
4 D
1
B S
O
M N
I A
Câu 45 Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :
x=t
y=−1 + 2t z =t
(d2) : x =
y−1 −2 =
z−1
3 Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2 song song với đường thẳng d: x−4
1 =
y−7
4 =
z−3
−2 qua điểm điểm đây?
A M(1; 1;−4) B N(0;−5; 6) C P(0; 5;−6) D Q(−2;−3;−2) Câu 46
Cho hàm số f(x) có y = f0(x) hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực đại hàm số g(x) =f(|x|3)− |x| là
A B C D
x y
O
(6)Câu 47 Có sơ ngun m∈[−2021; 2021]để phương trình 6x−2m= log√3
6(18(x+ 1) + 12m)có nghiệm?
A 211 B 2020 C 2023 D 212
Câu 48
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị đường cong (C) hình bên Hàm sốf(x)đạt cực trị hai điểmx1,x2 thỏa f(x1) + f(x2) = Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị (C),M, N, K giao điềm của(C)với trục hoành,S diện tích hình phẳng gạch hình,S2 diện tích tam giác N BK Biết tứ giác M AKB nội tiếp đường trịn, tỉ số S1
S2 A
√
3 B
√
2 C
5√3
6 D
3√3
x y
O x1
x2 S2 S1
A
B M
N K
Câu 49 Trong mặt phẳng với hệ trục toa độ Oxy, cho hai số phức z1 có điểm biểu diễn M, số phức z2 có điểm biều diễn N thỏa mãn |z1| = 1, |z2| = M ON÷ = 120◦ Giá trị lớn
|3z1+2z2−3i|làM0, giá trị nhỏ của|3z1−2z2+1−2i|làm0 BiếtM0+m0 =a √
7+b√5+c√3+d, với a, b, c,d ∈Z Tính a+b+c+d
A B C D
Câu 50 Trong không gianOxyz, chod: x−4
2 =
y−5 −1 =
z−3
2 hai điểmA(3; 1; 2),B(−1; 3;−2) Mặt cầu tâm I bán kính R qua hai điểm hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d Khi R đạt giá trị nhỏ mặt phẳng qua ba điểm A, B, I (P) : 2x+by +cz+d = Tính d+b−c
(7)TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI
TỔ TOÁN MÃ ĐỀ 121
ĐỀ KHẢO SÁT TN THPT NĂM 2021 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu Cần chọn3 người công tác từ tổ có 30người, số cách chọn
A A330 B 330 C 10 D C330
Lời giải
Chọn người công tác từ tổ có 30 người tổ hợp chập 30 phần tử, nên có C3 30
cách
Chọn đáp án D
Câu Cho cấp số cộng(un), biết u2 = u4 = Giá trị u15
A 27 B 31 C 35 D 29
Lời giải
Ta có u2 = u4 = suy ta có hệ phương trình
®
u1+d=
u1+ 3d= ⇔
®
u1 =
d= Vậy u15=u1+ 14d= 29
Chọn đáp án D
Câu Cho hàm số y=f(x)xác định liên tục khoảng (−∞; +∞) có bảng biến thiên hình sau
x y0
y
−∞ −1 +∞
+ − +
−∞ −∞
2
−1 −1
+∞ +∞
Mệnh đề sau đúng?
A Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;−2)
C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 1) D Hàm số đồng biến khoảng (−1; +∞) Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng(−∞;−1), suy hàm số đồng biến khoảng (−∞;−2)
Chọn đáp án B
Câu
Cho hàm số y=f(x) xác định liên tục trên[−2; 2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm sốf(x) đạt cực tiểu điểm
A x= B x=−2 C x= D x=−1
x y
O
−2 −1
2
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có:
f0(x)<0,∀x∈(−2;−1)và f0(x)>0,∀x∈(−1; 0) suy hàm số đạt cực tiểu x=−1 f0(x)>0,∀x∈(0; 1) f0(x)<0,∀x∈(1; 2) suy hàm số đạt cực đại tạix=
Hàm số không đạt cực tiểu hai điểm x=±2vì f0(x)khơng đổi dấu x qua x=±2
(8)Câu Cho hàm sốy=f(x) liên tục Rvà có bảng xét dấu đạo hàm x
y0
−∞ −3 +∞
+ − + −
Số điểm cực trị hàm số
A B C D
Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu y0, hàm số đạt cực đại x=±3 đạt cực tiểu x= Vậy hàm số có ba điểm cực trị
Chọn đáp án C
Câu Tìm đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm sốy= 2x−1
x+ A x=
2, y =−1 B x= 1, y =−2 C x=−1, y = D x=−1, y =
Lời giải Ta có
lim
x→±∞
2x−1
x+ = limx→±∞
2−
x
1 +
x
= nên đường thẳng y= tiệm cận ngang đồ thị hàm số
lim
x→−1+
2x−1
x+ = −∞,x→−lim1−
2x−1
x+ = +∞ nên đường thẳng x = −1 tiệm cân đứng đồ thị
hàm số
Chọn đáp án C
Câu
Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A y=−x4+ 4x2. B. y=x4−4x2−3.
C y=x3−3x2+ D y=−x3+ 3x2−3 x
y
O
Lời giải
Dựa vào hình dạng đồ thị, ta thấy dạng đồ thị hàm số bậc ba, hệ số a <0
Chọn đáp án D
Câu Đồ thị hàm số y=−x4+ 2x2 cắt trục hoành điểm?
A B C D
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y=−x4+ 2x2 và trục hoành
−x4+ 2x2 = ⇔x2(−x2+ 2) = 0⇔
x=
x=√2
x=−√2
Phương trình có 3nghiệm nên đồ thị hàm số y =−x4+ 2x2 cắt trục hoành điểm
(9)Câu Với a số thực dương tùy ý, log5
Å25
a
ã
bằng
A 2−log5a B log5a C
log5a D + log5a Lời giải
Ta có log5
Å25
a
ã
= log525−log5a= 2−log5a
Chọn đáp án A
Câu 10 Đạo hàm hàm sốy= 2021x
A y0 = 2021x·ln 2021. B. y0 = 2021x.
C y0 = 2021
x
ln 2021 D y
0 =x·2021x−1.
Lời giải
Ta có y= 2021x ⇒y0 = 2021x·ln 2021.
Chọn đáp án A
Câu 11 Với a số thực dương tùy ý, a·√3
a2 bằng
A a7. B. a53. C. a35. D. a17.
Lời giải Ta có a·√3
a2 =a·a23 =a1+
2 =a
5 3.
Chọn đáp án B
Câu 12 Nghiệm phương trình
Å1
4
ã3x−4
= 16
A x= B x= C x= D x=−1
Lời giải Ta có
Å1
4
ã3x−4
= 16 ⇔
Å1
4
ã3x−4
=
Å1
4
ã2
⇔3x−4 = 2⇔x= Vậy x= nghiệm phương trình cho
Chọn đáp án B
Câu 13 Tích nghiệm phương trình2x2−2x =
A B C −3 D
Lời giải
Ta có 2x2−2x = ⇔2x2−2x = 23 ⇔x2−2x−3 = 0⇔
ñ
x=−1
x= Vậy tích nghiệm phương trình là−3
Chọn đáp án C
Câu 14 Hàm số F(x) = x3−2x2+ nguyên hàm hàm số hàm số sau?
A f(x) = x
4 − 3x
3+ 3x+ 1. B. f(x) = 3x2−4x.
C f(x) = x
4 − 3x
3+ 3x. D. f(x) = 3x2−4x+ 3.
Lời giải
Ta có [F(x)]0 = (x3−2x2+ 3)0 = 3x2−4x⇒f(x) = 3x2−4x.
Chọn đáp án B
Câu 15 Biết F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) = cos 2x thỏa mãn F π
2
= Tính F π
4
A
2 B −
3
2 C
1
2 D −
1
(10)Ta có F(x) = Z
cos 2xdx=
Z
cos 2x d(2x) =
2sin 2x+C
MàF
π
= 1⇒ 2sin
2·π
2
+C = 1⇒C = Suy F(x) =
2sin 2x+ 1⇒F π
4
= 2sin
2· π
4
+ =
Chọn đáp án A
Câu 16 Cho
3 Z
2
f(x) dx=−2 Tính I =
−1 Z
−3
2
f(−2x) dx
A −1 B C D −4
Lời giải Ta có I =
−1 Z
−3
2
f(−2x) dx=−1
−1 Z
−3
2
f(−2x) d(−2x) = −1
2 Z
3
f(x) dx=−1
Chọn đáp án A
Câu 17
Cho đồ thị hàm số y =f(x) hình vẽ bên Diện tích S hình phẳng (tơ đậm) hình
A S = Z
a
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx B S = Z
a
f(x) dx− Z
b
f(x) dx
C S =
a
Z
0
f(x) dx+
b
Z
0
f(x) dx D S = Z
a
f(x) dx+ Z
b
f(x) dx x
y
O
a b
y=f(x)
Lời giải
Diện tích S hình phẳng (tơ đậm) hình
S = Z
a
f(x) dx−
b
Z
0
f(x) dx= Z
a
f(x) dx+ Z
b
f(x) dx
Chọn đáp án D
Câu 18 Cho hai số phứcz1 = + 2i z2 = 4i Phần thực số phứcz1 ·z2
A −8 B C D
Lời giải
Ta có z1·z2 = (3 + 2i)·4i=−8 + 12i
Vậy phần thực số phứcz1·z2 là−8
Chọn đáp án A
Câu 19 Cho hai số phứcz w thỏa mãn z =−i+ w=−3−2i Số phức z·w
A −8−i B −4−7i C −4 + 7i D −8 +i Lời giải
Ta có z =−i+ 2⇒z = +i, w=−3−2i⇒w=−3 + 2i Do đóz·w= (2 +i)(−3 + 2i) =−8 +i
(11)Câu 20 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z = −2i+ qua trục Oy có tọa độ
A (4; 2) B (−4; 2) C (4;−2) D (−4;−2) Lời giải
Số phức z =−2i+ có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ M(4;−2) Điểm đối xứng vớiM qua Oy làM0(−4;−2)
Chọn đáp án D
Câu 21 Khối chópS.ABCDcó đáy hình bình hành, biết diện tích hình bình hànhABCD chiều cao khối chóp Tính thể tích khối chópS.ABC
A B C 24 D
Lời giải
Vì ABCD hình bình hành nênSABC =
1
2SABCD =
2·8 =
Vậy thể tích khối chóp S.ABC làVSABC =
1
3SABC·h=
3·4·3 =
Chọn đáp án B
Câu 22 Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, 12có độ dài
A 13 B 30 C 15 D
Lời giải
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, cthì có độ dài đường chéo √a2+b2+c2.
Do độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật cho là√32+ 42+ 122 = 13.
Chọn đáp án A
Câu 23 Công thức thể tích khối nón có bán kính đáy r
2 chiều cao h A V = πr
2h
4 B V =
πr2h
12 C V =
πr2h
24 D V =
πr2h
Lời giải
Thể tích khối nón có bán kính đáy r
2 chiều cao h làV = 3·π
r
2
·h= πr 2h 12
Chọn đáp án B
Câu 24 Hình trụ có đường cao h = cm đường kính đáy 10 cm Diện tích tồn phần hình trụ
A 240πcm2 B 120πcm2 C 70πcm2 D 140πcm2 Lời giải
Đường kính đáy hình trụ 10 cm⇒ bán kính đáy r = cm
Diện tích tồn phần hình trụ S = 2πr(r+h) = 2πr(r+h) = 2π·5·(5 + 2) = 70π
Chọn đáp án C
Câu 25 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 3) B(4; 2; 1) Độ dài đoạn thẳng AB
A √2 B 2√3 C 5√2 D √14
Lời giải
Ta có AB=p(4−1)2+ (2−1)2+ (1−3)2 =√14.
Chọn đáp án D
Câu 26 Trong không gianOxyz, mặt cầu (S) :x2+ (y−1)2+ (z+ 3)2 = 25 có tâm
A I1(0;−1; 3) B I2(0; 1;−3) C I3(0;−1;−3) D I4(0; 1; 3)
Lời giải
Mặt cầu cho có tâm điểm I2(0; 1;−3)
(12)Câu 27 Trong không gianOxyz, vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng vng góc với trục Oy?
A.~i(1; 0; 0) B ~j(0; 1; 0) C ~k(0; 0; 1) D ~h(1; 1; 1) Lời giải
Vectơ~j = (0; 1; 0)là vectơ phương trục Oy Do vectơ pháp tuyến mặt phẳng vng góc với trục Oy
Chọn đáp án B
Câu 28 Trong không gianOxyz, đường thẳng qua điểm I(2; 1; 1)?
A
x= +t y=t z = 1−t
B
x= +t y= 1−t z =t
C
x= +t y =t z =t
D
x=t y= +t z = 1−t
Lời giải
Tọa độ I(2; 1; 1) thỏa hệ
x= +t y=t z =t
Chọn đáp án C
Câu 29 Chọn ngẫu nhiên số 10 số nguyên dương Xác suất để chọn số nguyên tố
A
10 B
2
5 C
1
2 D
1
Lời giải
Trong 10số nguyên dương có 4số nguyên tố 2, 3,5, Do xác suất đề chọn số nguyên tố bẳng
10
Chọn đáp án B
Câu 30 Hàm số nghịch biến khoảng(1; 5)?
A y= 2x+
x−2 B y=
x−3
x−4 C y=
3x−1
x+ D y=
x+ 3x+
Lời giải
Xét hàm số y= x+
3x+ có tập xác định
D =
Å
−∞;−2
ã
∪
Å
−2 3; +∞
ã
và y0 = −1
(3x+ 2)2 <0 với x6=−
Do hàm số nghịch biến khoảng (1; 5)
Chọn đáp án D
Câu 31 GọiM,mlần lượt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm sốf(x) = x3−3 2x
2−6x+ 1
trên đoạn [0; 3] Khi 2M −m có giá trị
A B 18 C 10 D 11
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x3− 2x
2−6x+ 1 trên đoạn [0; 3], f0(x) = 3x2−3x−6.
f0(x) = ⇔
ñ
x=−1
x= Dox∈[0; 3] nên x=
Ta có f(0) = 1, f(2) =−9,f(3) =−7
Do đóM =f(0) = 1, m=f(2) =−9 Vậy 2M −m = + = 11
(13)Câu 32 Tập nghiệm bất phương trìnhlog3(25−x2)≤2
A (−5;−4]∪[4; 5) B (−∞;−4]∪[4; +∞)
C (4; 5) D [4; +∞) Lời giải
Ta có
log3(25−x2)≤2⇔
®
25−x2 >0 25−x2 ≤9 ⇔
®
x2 <25
x2 ≥16 ⇔
ñ
−5< x≤ −4 4≤x <5 Do tập nghiệm bất phương trình cho S = (−5;−4]∪[4; 5)
Chọn đáp án A
Câu 33 Nếu
π
2 Z
0
[2020f(x) + sin 2x] dx= 2021thì
π
2 Z
0
f(x) dxbằng
A 1011
1010 B C
2021
2020 D −1
Lời giải Ta có
π
2 Z
0
[2020f(x) + sin 2x] dx= 2021⇔2020
π
2 Z
0
f(x) dx+
π
2 Z
0
sin 2xdx= 2021
Khi đó2020
π
2 Z
0
f(x) dx−
2(cos 2x)
π
2
0
= 2021⇔2020
π
2 Z
0
f(x) dx+ = 2021
Do π
2 Z
0
f(x) dx=
Chọn đáp án B
Câu 34 Cho số phức z = − 3i Gọi a, b phần thực phần ảo số phức w= (1−2i)z Khi giá trị biểu thức P =a+b+ 2021
A 2010 B 2014 C 2028 D 2032
Lời giải
Ta có w= (1−2i)z = (1−2i)·(2 + 3i) = 8−i Do đóa= 8, b=−1
Vậy P =a+b+ 2021 = 8−1 + 2021 = 2028
Chọn đáp án C
Câu 35 Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC tam giác vng cân B cóAB=a, AA0 =a√2 Góc đường thẳng A0C với mặt phẳng (AA0B0B)
A 30◦ B 60◦ C 45◦ D 90◦
(14)Ta có
CB ⊥AB
CB ⊥AA0 ⇒CB ⊥(ABB0A0)
AA0∩AB =A
Do đó(A0C,(AA0B0B)) = (A0C, A0B) =BA’0C
Xét∆A0AB vng tạiA, ta có A0B =√A0A2+AB2 =a√3.
Xét∆A0BC vng B, ta có tanBA’0C =
BC A0B =
a a√3 =
1 √
3 ⇒BA’0C = 30◦
Vậy (A0C,(AA0B0B)) = 30◦
A
B
C A0
B0
C0
Chọn đáp án A
Câu 36 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a√3, SA⊥(ABCD) vàSA= 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
A √
57a
19 B
√ 57a
19 C
2√5a
5 D
√ 5a
5
Lời giải
Trong (ABCD) kẻAH ⊥BD (H ∈DB) Ta có
®
BD⊥AH
BD⊥SA ⇒BD⊥(SAH) Trong (SAH)kẻ AK ⊥SH
MàBD ⊥(SAH) AK ⊂(SAH) ⇒AK ⊥BD Do đóAK ⊥(SBD)⇒d(A,(SBD)) =AK Xét∆ABD có
AH2 =
AB2 +
AD2 ⇒AH =
a√3
Xét∆SAH có AK2 =
1
SA2 +
AH2 ⇒AK =
2√57a
19
Vậy d(A,(SBD)) = √
57a
19
A
B C
D S
H K
Chọn đáp án A
Câu 37 Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(3;−1; 2) tiếp xúc với trục Ox có phương trình
A (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = 9. B. (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = 5. C (x+ 3)2+ (y−1)2+ (z+ 2)2 = 1. D. (x+ 3)2+ (y−1)2+ (z+ 2)2 = 4.
Lời giải
Gọi M hình chiếu I lên trục Ox, suy M(3; 0; 0) Khi mặt cầu tiếp xúc với Oxtại M
Do đóR =IM =√5
Vậy phương trình mặt cầu (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = 5.
Chọn đáp án B
(15)A
x= +t y= 5−t z =−1 +t
B
x= 1−t y= 5−t z =−1 +t
C
x= + 3t y = + 3t z =−1 + 3t
D
x=−1 +t y=−5−t z = +t
Lời giải
Ta có AB~ = (3;−3; 3)
Đường thẳng CD qua C song song với AB nên nhận vectơ ~u =
~
AB làm vectơ chi phương Ta có−→u = (1;−1; 1)
Do phương trình tham số CD
x= +t y= 5−t z =−1 +t
Chọn đáp án A
Câu 39 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục R Bảng biến thiên hàm số y=f0(x) cho hình vẽ bên
x −1
3
−1
4
f0(x)
1
Trên[−4; 2] hàm số y=f
1−x
2
+x có giá trị lớn
A f(2)−2 B f
Å1
2
ã
+ C f(2) + D f
Å3
2
ã
−1 Lời giải
Đặt g(x) =f1− x
+x⇒g0(x) =−1 2f
01−x
2
+ Khi đóg0(x) = ⇔f01−x
2
= Đặt t= 1− x
2 ⇒t∈[0; 3]
Vẽ đường thẳng y= lên bảng biến thiên ta
x −1
3
−1
4
f0(x)
1
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn t= 2⇒x=−2⇒ max
[−4 : 2]g(x) = g(−2) = f(2)−2
Chọn đáp án A
Câu 40 Có số nguyên dương ysao cho ứng với y có khơng q10số ngun xthỏa
mnÄ3x+1−√3ä(3x−y)<0?
A 59149 B 59050 C 59049 D 59048 Lời giải
Đặt t= 3x >0 ta có bất phương trình(3t−√3)(t−y)<0 hay
Ç
t− √
3
å
(t−y)<0 (∗)
Vì y∈Z+ nên y > √
3
3 , đó(∗)⇔ √
3
3 < t < y ⇔ √
3 <3
(16)Do y∈N∗ ⇔ −1
2 < x <log3y
Do giá trị y∈N∗ có khơng q 10giá trị ngun của x∈ Å
−1
2; log3y
ã
nên 0≤log3y≤10 Suy 1≤y≤310 = 59049, từ có y ∈ {1,2, ,59049}.
Vậy có59049 giá trị nguyên dương y
Chọn đáp án C
Câu 41 Cho hàm số f(x) =
2x−4 khix≥4
4x 3−
x2+x x <4 Tích phân
π
2 Z
0
f sin2x+ 3sin 2xdx
bằng
A 28
3 B C
341
48 D
341 96
Lời giải Ta có
lim
x→4+f(x) = limx→4+(2x−4) = 4; xlim→4−f(x) = limx→4− Å
1 4x
3−x2+x
ã
= 4; f(4) = Suy lim
x→4+f(x) = limx→4−f(x) =f(4)
Nên hàm số cho liên tục x=
XétI =
π
2 Z
0
f sin2x+ 3sin 2xdx
Đặt sin2x+ =t⇒sin 2xdx= 2dt
Với x= 0⇒t = 3, x= π
2 ⇒t = ⇒I =
5 Z
3
f(t)1 2dt=
1
5 Z
3
f(t) dt= Z Å 4t
3−t2+t
ã
dt+1
5 Z
4
(2t−4) dt= 341 96
Chọn đáp án D
Câu 42 Có số phứcz thỏa mãn |z|=√5và (z−3i)(z+ 2) số thực?
A B C D
Lời giải
Gọi z =a+bi Ta có (z−3i)(z+ 2) = (a+bi−3i)(a+ 2−bi) = (a2+ 2a+b2−3b) + (2b−3a−6)i.
Theo đề ta có hệ phương trình
®
a2 +b2 =
2b−3a−6 = ⇔
a= −18 + √
29 13
b= 12 + √ 29 13
a= −18−2 √
29 13
b= 12−3 √
29 13
Hệ phương trình có2 nghiệm, suy có số phức thỏa yêu cầu toán
Chọn đáp án D
Câu 43 Cho hình chópS.ABC có đáy ABC tam giác vng cân tạiB, SA⊥(ABC), AB =a Biết góc đường thẳngAC mặt phẳng(SBC)bằng30◦ Thể tích khối chópS.ABC
A a
6 B
a3
3 C a
3. D. a
3√3
(17)Từ A kẻ AH ⊥SB B Ta có
®
BC ⊥AB
BC ⊥SA
⇒BC ⊥(SAB)⇒BC ⊥AH Lại có
®
AH ⊥SB
AH ⊥BC ⇒AH ⊥(SBC)
Từ suy (AC,(SBC)) = (AC, HC) =ACH’ = 30◦
Tam giácABC vuông cân B nên AC =AB√2 = a√2 Xét∆AHCvuông tạiH: AH =AC·sinACH’ =a
√
2·sin 30◦ =
a√2
Xét∆SAB vuông tạiA:
AH2 =
SA2 +
AB2 ⇒
SA2 =
a2 ⇒
SA=a
Diện tích tam giácABC SASC =
1 2AB
2 = a
2
Thể tích khối chópS.ABC VS.ABC =
1
3SABCSA=
a3
A
B
C S
H
Chọn đáp án A
Câu 44
Cổ động viên bóng đá đội tuyển Indonesia muốn làm mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trẳng Đỏ quốc kỳ Biết thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ bề mặt phần hình nón có đáy cung nhỏ M BN÷, phần cịn
là hình nón sơn màu Trắng Tính tỉ số phần diện tích hình nón sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng
A
7 B
5 C
4 D
B S
O
M N
I A
Lời giải
Ta có SO =OA=OB =r⇒SM =r√2 =M N Do dó tam giácOM N vng cân O
Gọi S diện tích xung quanh hình nón, Sd diện tích xung quanh phần hình nón
sơn màu đỏ, ứng với gócM ON÷ = 90◦ nên
S1
S =
90◦ 360◦ =
1 ⇒
Sd
St
=
Chọn đáp án D
Câu 45 Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :
x=t
y=−1 + 2t z =t
(d2) :
x
1 =
y−1 −2 =
z−1
3 Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng d1, d2 song song với đường
thẳng d: x−4 =
y−7 =
z−3
−2 qua điểm điểm đây?
A M(1; 1;−4) B N(0;−5; 6) C P(0; 5;−6) D Q(−2;−3;−2) Lời giải
Gọi
®
A= ∆∩d1 ⇒A(a;−1 + 2a;a)
B = ∆∩d2 ⇒B(b; 1−2b; + 3b)
(18)Ta có AB~ phương với ~ud⇒
−a+b
1 =
−2a−2b+
4 =
−a+ 3b+ −2 ⇒
®
−2a+ 6b= 3a−5b= ⇒
®
a=
b= ⇒A(2; 3; 2), B(1;−1; 4) ⇒∆qua B(1;−1; 4) có vectơ chi phương là~u= (1; 4;−2)
⇒∆ :
x= +t
y=−1 + 4t qua điểm N(0;−5; 6) z = 4−2t
Chọn đáp án B
Câu 46
Cho hàm số f(x) có y = f0(x) hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực đại hàm số g(x) =f(|x|3)− |x| là
A B C D
x y
O
f0(x)
Lời giải
Xét hàm số h(x) =f(x3)−x Ta có h0(x) = 3x2f0(x3)−1.
h0(x) = 0⇔f0(x3) =
3x2 (x6= 0) (1)
Đặt x3 =t ⇒x=√3
t⇒x2 =√3t2.
Khi (1) trở thành f0(t) = 3√3
t2 (2)
Vẽ đồ thị hàm sốy =
3√3x2, y=f
0(x) trên hệ trục toa độ Oxy, ta được
x y
O
f0(x)
Từ đồ thị suy phương trình (2) có hai nghiệm t1 =a >0và t2 =b <0 ⇒(1) có hai nghiệm x=√3a >0 và x= √3 b <0.
(19)x −∞ √3
b √3a −∞
h0(x) + + +
h(x)
−∞
hÄ√3bä
h(√3a)
+∞
h(|x|)
+∞
h(√3a)
h(0)
h(√3a)
+∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) =h(|x|) = f(|x|3)− |x|có điểm cực đại.
Chọn đáp án C
Câu 47 Có sơ ngun m∈[−2021; 2021]để phương trình 6x−2m= log√3
6(18(x+ 1) + 12m)có nghiệm?
A 211 B 2020 C 2023 D 212
Lời giải Phương trình
6x−2m= log√3
6[18(x+ 1) + 12m] ⇔ 6x = 2m+ log6[6(3x+ 2m+ 3)] ⇔ 6∗ = 2m+ [1 + log6(3x+ 2m+ 3)] ⇔ 6x = log6(3x+ 2m+ 3) + 2m+ (∗)
Đặt y= log6(3x+ 2m+ 3)⇔6y = 3x+ 2m+ 3. (1)
Khi đó(∗) trở thành 6∗ = 3y+ 2m+ (2)
Lấy(1) trừ vế với vế cho (2), ta 6y −6x= 3x−3y ⇔6x+ 3x= 6y+ 3y (3)
Xét hàm số f(t) = 6t+ 3t, t∈
R Ta có f0(t) = 6tln + 3>0,∀t∈
R Suy hàm sốf(t) đồng biến R Mà(3) ⇔f(x) = f(y)⇔x=y
Thay y=x vào PT(1), ta 6x = 3x+ 2m+ 3 ⇔6x−3x= 2m+ 3.
Xét hàm số g(x) = 6∗−3x, với x∈R Ta có g0(x) = 6∗ln 6−3⇒g0(x) = 0⇔x= log6
Å 3
ln
ã
Bảng biến thiên
x
g0(x)
g(x)
−∞ log6
Å 3
ln
ã
+∞
− +
+∞ +∞
0,81 0,81
+∞ +∞
Từ suy phương trình cho có nghiệm ⇔2m+ 3≥g
Å
log6 ln
ã
≈0,81⇒m≥ −1,095 Vậy có2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu
Chọn đáp án C
(20)Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị đường cong (C) hình bên Hàm sốf(x)đạt cực trị hai điểmx1,x2 thỏa f(x1) +
f(x2) = Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị (C),M, N, K
là giao điềm của(C)với trục hoành,S diện tích hình phẳng gạch hình,S2 diện tích tam giác N BK Biết tứ giác
M AKB nội tiếp đường trịn, tỉ số S1 S2
bằng
A √
6
3 B √
6
2 C 5√3
6 D 3√3
4 x y O x1 x2 S2 S1 A B M N K Lời giải
Kết toán không thay đổi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị(C)sang trái cho điểm uốn trùng với gốc tọa độO
Do f(x) hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ tâm đối xứng (O ≡N) Đặt x1 =−a,x2 =a, với a >0⇒f0(x) = k(x2−a2)với k >0 ⇒f(x) = k
Å1
3x
3−a2x
ã
⇒xM =−a
√
3, xK =a
√
Có M AKB nội tiếp đường trịn tâm O⇒OA=OM =a√3 Có f(x1) =
p
OA2−x2
1 ⇔f(−a) =a √
2⇔k
Å
−1 3a
3+a3
ã
=a√2⇔
k= √
2 2a2 ⇒f(x) =
√ 2α2
Å
1 3x
3−a2x
ã
S1 = Z
−a√3
f(x) dx= √
2 2a2
Å 1
12x 4−a2
2x ã
−a√3 =
√ a
2.
S2 =S4AM O =
1
2f(−a)·M O = 2a
√
2·a√3 = √
6 a
2.
Vậy S1 S2 = √ x y O x1 x2 S2 S1 A B M N K
Chọn đáp án D
Câu 49 Trong mặt phẳng với hệ trục toa độ Oxy, cho hai số phức z1 có điểm biểu diễn M, số
phức z2 có điểm biều diễn N thỏa mãn |z1| = 1, |z2| = M ON÷ = 120◦ Giá trị lớn
|3z1+2z2−3i|làM0, giá trị nhỏ của|3z1−2z2+1−2i|làm0 BiếtM0+m0 =a √
7+b√5+c√3+d, với a, b, c,d ∈Z Tính a+b+c+d
A B C D
Lời giải x y O N1 P M1 M N 120 ◦
Gọi M1 điểm biều diễn số phức 3z1, suy OM1 =
(21)Gọi P điểm choOM~ 1+ON~ =OP~ Suy tứ giác OM1P N1 hình bình hành
Do M ON÷ = 120◦, suy M◊1ON1 = 120◦
Dùng định lí cosin tam giác OM1N1 ta tính đượcM1N1 =
9 + 36−2.3.6·
Å
−1
ã
= 3√7và
định lí cosin tam giácOM1P ta có OP =
…
9 + 36−2.3·6· =
√ Ta có M1N1 =|3z1−2z2|=
√
7;OP =|3z1+ 2z2|= √
3
• Tìm giá trị lớn |3z1+ 2z2−3i|
Đặt 3z1+ 2z2 =w1 ⇒ |w1|= √
3, suy điểm biểu diễn w1 làA thuộc đường tròn (C1) tâm
O(0; 0) bán kínhR1 = √
3
Gọi điểm Q1 biểu diễn số phức 3i Khi |3z1 + 2z2−3i| =AQ1, tốn trở thành tìm (AQ1)max biết điểm A đường tròn (C1) Dễ thấy (AQ1)max =OQ1+R1 = +
√
• Tìm giá trị nhỏ |3z1−2z2+ 1−2i|=|3z1−2z2−(−1 + 2i)|
Đặt 3z1−2z2 =w2 ⇒ |w2|= √
7, suy điềm biểu diễnw2 B thuộc đường trịn (C2) tâm
O(0; 0) bán kínhR1 = √
7
Gọi điểm Q2 biểu diễn số phức −1 + 2i
Khi |3z1−2z2−(−1 + 2i)| = BQ2, tốn trở thành tìm (BQ2)min biết điểm B
đường tròn(C2)
Dễ thấy điểm Q2 nằm đường tròn (C2)nên (BQ2)min =R2−OQ2 = √
7−√5 Suy M0+m0 =
√
7 + 3√3−√5 + 3⇒a= 3, b= 3,c=−1, c= Vậy a+b+c+d=
Chọn đáp án B
Câu 50 Trong không gianOxyz, chod: x−4 =
y−5 −1 =
z−3
2 hai điểmA(3; 1; 2),B(−1; 3;−2)
Mặt cầu tâm I bán kính R qua hai điểm hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d Khi R đạt giá trị nhỏ mặt phẳng qua ba điểm A, B, I (P) : 2x+by +cz+d = Tính d+b−c
A B C −1 D
Lời giải
Gọi E trung điểm củaAB ⇒E(1; 2; 0)và IE =√R2 −9.
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB là(α) : 2x−y+ 2z= Gọi H hình chiếu vng góc I lên d
Gọi M hình chiếu vng góc E lên d⇒EM = d(E, d) =
Xét hệ
x= 2t+
y=−t+
z = 2t+ 2x−y+ 2z =
⇒t=−1⇒M(2; 6; 1)⇒M E = 3√2
Vì(α)⊥d IH+IE ≥EM ⇒R nhỏ ⇔I, H, E thẳng hàng
⇒R+√R2−9 = 3√2⇒R = √
2
Vậy EI~ =
~ EH ⇒I
Å
5 4; 3;
1
ã
⇒IA~ =
Å
7 4;−2;
7
ã
⇒~n= [AB, ~~ IA] = (−18; 0; 18)
Chọn~v = (2; 0;−2) làm véc-tơ pháp tuyến (P)
Suy ra(P) : 2x−2z−2 = 0⇒b = 0,c=−2, d=−2⇒d+b−c=
I B
A H
M
E
(22)Giả sửO tâm đáy AB đường kính đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo gia thiết hình nón có bán kính đáyR=OA=a√3 cm,’ASB =
120◦ nên ASO’= 60◦
Xét tam giác SOA vng O, ta có sin 60◦ = OA
SA ⇒ SA =
OA
sin 60◦ = 2a
Diện tích thiết diện S∆SAM =
1
2SASM ·sinASM’ =
22a·2a · sinASM’ = 2a2sinASM’
Do0<sinASM’ ≤1nênS4SAM lớn khisinASM’ =
1 hay tam giác ASM vng cân đỉnh S (vì ’ASB = 120◦ >
90◦ nên tồn tam giác ASM thỏa mãn) Vậy diện tích thiết diện lớn làSmax= 2a2
B
M
A S
O