GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §1. Độ Đo (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 18 tháng 4 năm 2005 1 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Không gian đo được Định nghĩa : 1) Cho tập X = ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì A c ∈ F, trong đó A c = X \ A. ii. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được ; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được với F hay F − đo được) Tính chất Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có : 1) ø ∈ X. Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F . 2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F. 3) Nếu A ∈ F, B ∈ F thì A \ B ∈ F. 2. Độ đo Định nghĩa : Cho một không gian đo được (X, F ) 1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu : i. µ(ø) = 0 ii. µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa ∀{A n } n ⊂ F, (A n ∩ A m = ø, n = m) ⇒ µ( ∞  n=1 A n ) = ∞  n=1 µ(A n ) 2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không gian độ đo 1 Tính chất : Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F; các tập được xét dưới đây đều giả thiết là thuộc F . 1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) 2) µ( ∞  n=1 A n ) ≤ ∞  n=1 µ(A n ). Do đó, nếu µ(A n ) = 0 (n ∈ N ∗ ) thì µ( ∞  n=1 A n ) = 0 3) Nếu A n ⊂ A n+1 (n ∈ N ∗ ) thì µ( ∞  n=1 A n ) = lim n→∞ µ(A n ) 4) Nếu A n ⊃ A n+1 (n ∈ N ∗ ) và µ(A 1 ) < ∞ thì µ( ∞  n=1 A n ) = lim n→∞ µ(A n ) Quy ước về các phép toán trong R Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước : 1) −∞ < x < +∞ 2) x + a = a, a + a = a 3) x.a =  a , nếu x > 0 −a , nếu x < 0 , a.a = +∞, a.(−a) = −∞ 4) x a = 0 Các phép toán a − a, 0.a, a 0 , x 0 , ∞ ∞ không có nghĩa. Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + a không suy ra được x = y (nếu a = ±∞). Định nghĩa Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là : 1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞. 2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {A n } ⊂ F sao cho X = ∞  n=1 A n , µ(A n ) < ∞ ∀n ∈ N ∗ 3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất (A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F 3. Độ đo Lebesgue trên R Tồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesgue trên R ) thỏa mãn các tính chất sau : 1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, . là (L)−đo được. Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I) = b − a 2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0. 2 3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở G sao cho F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và : µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A) 5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn 2 PHẦN BÀI TẬP 1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y = ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa : A = {B ⊂ Y : ϕ −1 (B) ∈ F } Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên F Giải • Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số : i. Ta có Y ∈ A vì ϕ −1 (Y ) = X ∈ F Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh B c = Y \ B ∈ A. Thật vậy, ta có  ϕ −1 (Y \B) = ϕ −1 (Y )\ϕ −1 (B) = X\ϕ −1 (B) ϕ −1 (B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ −1 (B) ∈ F ⇒ ϕ −1 (Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A ii. Giả sử B n ∈ A(n ∈ N ∗ ) và B = ∞  n=1 B n . Ta có ϕ −1 (B) = ∞  n=1 ϕ −1 (B n ) ϕ −1 (B n ) ∈ F (n ∈ N ∗ )    ⇒ ϕ −1 (B) ∈ F hay B ∈ A. • Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo. Với B ∈ A ta có ϕ −1 (B) ∈ F nên số µ[ϕ −1 (B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0, xác định. i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ −1 (ø)] = µ(ø) = 0 ii. Giả sử B n ∈ A (n ∈ N ∗ ), B n ∩ B m = ø (n = m) và B = ∞  n=1 B n .Ta có ϕ −1 (B) = ∞  n=1 ϕ −1 (B n ), ϕ −1 (B n ) ∩ ϕ −1 (B m ) = ϕ −1 (B n ∩ B m ) = ø (n = m). ⇒ µ[ϕ −1 (B)] = ∞  n=1 µ [ϕ −1 (B n )] (do tính σ−cộng của µ) ⇒ γ(B) = ∞  n=1 γ(B n ) 3 2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập A n ∈ F (n ∈ N ∗ ). Đặt : B = ∞  k=1  ∞  n=k A n  (Tập các điểm thuộc mọi A n từ một lúc nào đó) B = ∞  k=1  ∞  n=k A n  (Tập các điểm thuộc vô số các A n ). Chứng minh 1) µ(B) ≤ lim n→∞ µ(A n ) 2) µ(C) ≥ lim n→∞ µ(A n ) Nếu có thêm điều kiện µ( ∞  n=1 A n ) < ∞ Giải 2) Đặt C k = ∞  n=k ta có : C k ∈ F (k ∈ N ∗ ), C 1 ⊃ C 2 ⊃ . . . , µ(C 1 ) < ∞; C = ∞  k=1 C k Do đó : µ(C) = lim k→∞ µ(C k ) (1) Mặt khác ta có C k ⊃ A k nên µ(C k ) ≥ µA k ∀k ∈ N ∗ và lim k→∞ µ(C k ) ≥ lim k→∞ µ(A k ) (2) Từ (1), (2) ta có đpcm. 3. Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ : µ : F −→ [0, ∞] thỏa mãn các điều kiện sau : i. µ(ø) = 0 ii. Nếu A 1 , A 2 ∈ F, A 1 ∩ A 2 = ø thì µ(A 1 ∪ A 2 ) = µ(A 1 ) + µ(A 2 ) (Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn) iii. Nếu A n ∈ F (n ∈ N ∗ ), A 1 ⊃ A 2 ⊃ . . . và ∞  n=1 A n = ø thì lim n→∞ µ(A n ) = 0 Chứng minh µ là độ đo. Giải Giả sử B n ∈ F (n ∈ N ∗ ), B n ∩ B m = ø (n = m) và B = ∞  n=1 B n , ta cần chứng minh µ(B) = ∞  n=1 µ(B n ) (1) 4 Đặt C k = ∞  n=k B n (k = 1, 2 . . .), ta có C k ∈ F, C 1 ⊃ C 2 ⊃ . . . và B = B 1 ∪ . . . ∪ B n ∪ C n+1 ∞  k=1 C k = ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các B n ) ⇒    µ(B) = n  k=1 µ(B k ) + µ(C n+1 ) (2) ( do tính chất ii.) lim m→∞ µ(C n ) = 0 ( do tính chất iii.) Cho n → ∞ trong (2) ta có (1). 4. Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và µ(A) = a > 0. Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số hữu tỷ. Giải Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {r n } n và đặt A n = r n + A (n ∈ N ∗ ). Ta chỉ cần chứng minh tồn tại n = m sao cho A n ∩ A m = ∅. Giả sử trái lại, điều này không đúng. Khi đó ta có µ( ∞  n=1 A n ) = ∞  n=1 µ(A n ) (1) Mặt khác, ta có µ(A n ) = µ(A) = a, ∞  n=1 A n ⊂ [0, 2] Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý 5. Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0. Giải Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N ∗ ta tìm được tập mở G n ⊃ A sao cho µ(G n \ A) < 1 n Đặt B = ∞  n=1 G n và C = B \ A. Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được. Vì C ⊂ G n \ A ∀n = 1, 2, . . . nên ta có : µ(C) ≤ 1 n ∀n = 1, 2, . . . Vậy µ(C) = 0. 5 6. Bài 6 : Cho tập L− đo được A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0. Chứng minh: 1) Hàm f(x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1]. 2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b Giải 1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có f(y) =µ(A ∩ [0, y]) =µ(a ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y]) ⇒ f(x) − f(y) = µ(A ∩ (x, y]) ⇒ 0 ≤ f(x) − f(y) ≤ y − x Do đó f liên tục trên [0, 1] 2) Ta có f(0) = 0, f(1) = a và f liên tục nên tồn tại x o ∈ (0, 1) thỏa f(x o ) = b hay µ(A ∩ [0, x]) = b. Tập B := A ∩ [0, x o ] cần tìm. 6 . có f(y) =µ(A ∩ [0, y ]) =µ(a ∩ [0, x ]) + µ(A ∩ (x, y ]) ⇒ f(x) − f(y) = µ(A ∩ (x, y ]) ⇒ 0 ≤ f(x) − f(y) ≤ y − x Do đó f liên tục trên [0, 1] 2) Ta có f( 0). 1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có µ(B A) = µ(B) − µ(A) 2) ( ∞  n=1 A n ) ≤ ∞  n=1 µ(A n ). Do đó, nếu µ(A n ) = 0 (n