Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 1 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho (G,ã) là một nhóm hữu hạn. Định nghĩa quan hệ trên G bởi: x y (g G, g 1 xg = y). Với mỗi x G, đặt H x = {g G | g 1 xg = x} và O x = {g 1 xg | g G}. a) Chứng tỏ là một quan hệ t-ơng đ-ơng trên G. b) Với mỗi tập con A của G, ký hiệu |A| là số phần tử của A. Chứng tỏ rằng O 1 G = {1 G },H x là một nhóm con của G và |G| = |H x | .|O x | , với mọi x G. c) Chứng tỏ nếu |G| = p n , với p là một số nguyên tố và n là số tự nhiên khác 0, thì tồn tại một phần tử g G sao cho gx = xg,x G. Câu 2. Giả sử M n (R) là vành các ma trận vuông thực cấp n. a) Chứng minh rằng, ma trận A là -ớc bên phải của 0 trong M n (R) khi và chỉ khi det(A)=0. b) Cho tập hợp N gồm tất cả các ma trận của M n (R) mà mọi phần tử từ dòng thứ hai trở đi đều bằng 0. Chứng minh rằng, N là một vành con của M n (R) và mọi phần tử khác 0 của N đều là -ớc bên phải của không trong N . c) Chứng minh rằng, trong N tồn tại vô số đơn vị trái. Câu 3. Cho A là một ma trận m hàng và n cột với các phần tử thuộc tr-ờng K. Hạng của A ký hiệu là r A , đ-ợc định nghĩa là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A. a) Chứng minh rằng, r A bằng số cực đại các vector cột độc lập tuyến tính của A. b) Cho hệ ph-ơng trình tuyến tính A x 1 . . . x n = b 1 . . . b n ,b i K (). 1 Send from ROBINHOOD - Typeset By PCT E Xv.5 1 Cho B là ma trận m hàng n+1 cột nhận đ-ợc từ A bằng cách ghép thêm cột b 1 . . . b n vào thành cột cuối. Chứng minh rằng, () có nghiệm khi và chỉ khi r A = r B . Bài 4. Giả sử V là một không gian vector phức gồm tất cả các đa thức của x với hệ số phức, f(x) là một đa thức đã cho có bậc r hữu hạn, V n+1 là không gian con của V gồm các đa thức có bậc không v-ợt quá n. Xét ánh xạ: : V V g fg gf trong đó f ,g là các đạo hàm của f,g t-ơng ứng. a) Chứng minh rằng, là phép biến đổi tuyến tính của V. Tìm ker và chứng tỏ rằng (V r+1 )=(V r ). b) Tìm dim((V r+1 )). 2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm n=1 1 n 2 2 n (x n + x n ) trên miền hội tụ đã đ-ợc chỉ ra là 1 2 |x|2. b) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm n=1 ( n n +1 ) n 2 x n . Câu 2. Cho C [a,b] là tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. a) Đặt d(x, y) = max atb |x(t) y(t)| ,x,y C [a,b] . Chứng minh rằng, d là một metric trên C [a,b] và với metric d, C [a,b] là một không gian đầy đủ. b) Đặt (x, y)= b a |x(t) y(t)| dt, x, y C [a,b] . Chứng minh rằng, là một metric trên C [a,b] và với metric đó C [a,b] là một không gian không đầy đủ. Câu 3. a) Đặt C 0 [0, 1] = {x C [0,1] : x(0) = 0}, trong đó C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm liên tục trên [0, 1] với chuẩn "max". Chứng minh rằng, C 0 [0, 1] là không gian con đóng của C [0,1] và A : C 0 [0, 1] C 0 [0, 1] x Ax 3 cho bởi (Ax)(t)= 1 2 [x(t 2 )+tx(1)],t [0, 1] là một ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A . b) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X Y là một toán tử tuyến tính. Biết rằng với mọi y Y , ta có y A X . Chứng minh rằng, A L(X, Y ). Câu 4. Cho H là một không gian Hilbert. a) Giả sử A L(H) là một toán tử tự liên hợp. Chứng minh rằng, A 2 = A 2 , với A = A A. b) Cho (A n ) nN L(H) thỏa mãn điều kiện sup nN |A n x, y| < + với mọi x, y H. Chứng minh rằng, sup nN A < +. 4 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1999 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Cho n là một số nguyên d-ơng với n = p r 1 1 .p r h h trong đó p i là các số nguyên tố và r i > 1. Cho G là một nhóm giao hoán (với phần tử đơn vị e)cón phần tử. Giả sử tính chất () sau đây đ-ợc thỏa mãn: "Với mỗi -ớc số d của n, tập hợp {x G | x d = e} có nhiều nhất d phần tử." Chứng tỏ rằng, với mỗi 1 i h, tồn tại a i G thỏa mãn a p r i i i = e và a p r i 1 i i = e. Suy ra a i có bậc là p r i i . Câu 2. Cho A là vành giao hoán, có đơn vị. Đặt R = {I | I là idean cực đại của A}, N = IR I. Chứng tỏ: a) Với mỗi idean I của A, I Rkhi và chỉ khi A/I là một tr-ờng. b) N = {x A |y A,z A, (1 xy)z =1}. c) Giả sử A có tính chất: x A,n>1 thuộc N sao cho x n = x. Chứng tỏ rằng idean nguyên tố của A cũng cực đại. Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc vào tr-ờng K. Chứng tỏ: rank(A) + rank(B) n rank(AB) min{rank(A), rank(B)}. Câu 4. Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên tr-ờng K có đặc số khác 2 và f là một dạng song tuyến tính đối xứng trên E. Với mỗi không gian con U của E, đặt U = {x E | f(x, y)=0, y U}; U đ-ợc gọi là hoàn toàn đẳng h-ớng nếu f(x, x)=0, x U. Không 5 gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc gọi là cực đại nếu nó không chứa trong một không gian hoàn toàn đẳng h-ớng khác. a) Chứng tỏ rằng U là một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng khi và chỉ khi U U . b) Cho U, V là các không gian hoàn toàn đẳng h-ớng. Chứng tỏ rằng với mọi x U V , không gian con V + Kx là hoàn toàn đẳng h-ớng. c) Chứng tỏ rằng mỗi không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng đ-ợc chứa trong một không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại. Suy ra các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều. 6 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1. Ký hiệu GL(n, R n ) là nhóm nhân các ma trận thực không suy biến cấp n. Chứng tỏ: a) Tập hợp SL(n, R n ) các ma trận thực cấp n có định thức bằng 1 là một nhóm con chuẩn tắc của GL(n, R n ). b) á nh xạ f : GL(n, R n ) R A det(A) từ nhóm GL(n, R n ) vào nhóm nhân các số thực khác 0 là một toàn cấu. Suy ra nhóm th-ơng GL(n, R n )/SL(n, R n ) đẳng cấu với nhóm R . Câu 2. Cho R = Z p [x] là tập hợp mọi đa thức một biến x có hệ số trong tr-ờng Z p các số nguyên modulo p, với p là một số nguyên tố. Xét f Rvới: f = 1+[x p1 +(x + 1) p1 + ããã+(x + p 1) p1 ]. a) Chứng tỏ rằng mọi phần tử của Z p là nghiệm của ph-ơng trình f(x)=0. Do đó f =0. b) Suy ra công thức sau: 1 k +ããã+(p 2) k +(p 1) k 0 mod(p) nếu k 0 mod(p 1), 1 mod(p) nếu k 0 mod(p 1). Câu 3. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n có số hạng trong tr-ờng K. Chứng tỏ: |rank(A) rank(B)|rank(A + B) rank(A) + rank(B). Câu 4. Cho V là một không gian vector thực. Tập D đ-ợc gọi là một đa tạp tuyến tính của V nếu D = W + x 0 , với W là một không gian vector con của V và x 0 V, số chiều của W đ-ợc gọi là số chiều của D. Chứng tỏ rằng 7 a) Với x 0 ,x 1 , .,x n là một hệ vector cho tr-ớc trong V thì tập hợp D = {x = a 0 x 0 + a 1 x 1 +ããã+ a n x n | a 0 + a 1 + ããã+ a n =1} là một đa tạp tuyến tính của V chứa các vector x 0 ,x 1 , .,x n . b) Tập hợp các nghiệm của một hệ ph-ơng trình tuyến tính t-ơng thích n ẩn hạng r với hệ tử thuộc tr-ờng số thực R lập thành một đa tạp tuyến tính có số chiều là n r trong không gian vector R n . 8 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. Cho (X, d) là một không gian metric. Ta đặt (x, y)= d(x, y) 1+d(x.y) ,x,y X. Hãy chứng minh: a) (X, ) là một không gian metric. b) Không gian (X, ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ. c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũng là một tập compact trong (X, ). Câu 2. Cho f 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A. Với mỗi n N ta đặt f n (x)= f(x) nếu f(x) <n n nếu f(x) n. Chứng minh lim n A f n dà = A fdà. Câu 3. Ký hiệu X = C [0,1] là không gian định chuẩn với chuẩn max. a) Giả sử x X, với mỗi n N ta đặt x n (t)=x(t 1+ 1 n ), t [0, 1]. Chứng minh rằng, dãy (x n ) n hội tụ về hàm x trong X. b) Đặt A : X X cho bởi công thức x Ax, (Ax)(t)=x(0) tx(t), với mọi t [0, 1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính A . Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f X ,f=0. Ký hiệu = inf{x : x X, f(x)=1}. Chứng minh rằng, f = 1 . Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {e n ,n N} là một cơ sở trực chuẩn của H. Đặt A : H H xác định bởi x H, Ax = n=1 x, e n+1 e n . Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm A và xác định toán tử liên hợp A . 9 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây: n=1 ln(1+n) n ,>1. 2) Cho f : R R là hàm số xác định bởi: f = 0, nếu x/ (0, 1], n, nếu x ( 1 n +1 , 1 n ], với n N. Tính R fdà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue trên R. Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f : X X là một ánh xạ liên tục. Giả sử (K n ) là một dãy giảm các tập đóng không rỗng của X. Chứng minh rằng, f( n=1 K n )= n=1 f(K n ). Câu 3. Ký hiệu C [0,1] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0, 1] với chuẩn max. Đặt M = {x C [0,1] : x(0) = 0, 0 x(t) 1, t [0, 1]}. 1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C [0,1] . 2) Xét hàm số f : C [0,1] R xác định bởi công thức f(x)= 1 0 x 2 (t)dt. Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt đ-ợc giá trị bé nhất trên M. Câu 4. Giả sử X là không gian định chuẩn thực và f : X R là một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f X khi và chỉ khi tập M = {x X : f(x) 1} là một tập đóng trong X. Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn{e n , : n N} và X là một không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho n=1 Ae n 2 < 10 [...]... L(H, X) và từ đây suy ra A là một toán tử compact 11 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2001 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Cho G là tập tất cả các bộ số nguyên dạng (k1 , k2 , k3 ) Chứng minh rằng, a) G là một nhóm với phép toán (k1 , k2 , k3 ).(l1 , l2 , l3 ) = (k1 +(1)k3 l1 , k2 +l2 , k3 +l3), k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 Z b) Nhóm con cyclic H sinh bởi phần tử (1, 0, 0) là -ớc chuẩn tắc trong G... Cho M H sao cho không gian con sinh bởi M trù mật trong H Chứng minh rằng, nếu x H và xM thì x = 0 17 Câu 5 Giả sử {en } là một hệ thống trực chuẩn trong không gian Hilbert H, {n } là một dãy số hội tụ đến 0 Chứng minh rằng, toán tử A xác định bởi công thức Ax = n x, en en , x H n=1 là một toán tử compact từ H vào H 18 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 Xét nhóm... sao cho U ker là không gian con p-chiều thì dim (U ) = k p b) Nếu T là một không gian vector con của W sao cho T Im() là không gian con r-chiều thì dim 1 (T ) = n + r rank(A) 12 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Đại Số Thời gian 180' Câu 1 a) Tồn tại hay không một thể (K, +, ì) có đặt số khác 2 sao cho các nhóm con (K, +) và (K , ì), với K = K \ {0} , đẳng cấu với nhau? b) Cho A = Z[i]... chặn 15 1 Chứng minh rằng, với mọi x H, chuỗi n x, en en hội tụ n=1 trong H n x, en en với mọi x H Chứng minh rằng, A là 2 Đặt Ax = n=1 toán tử tuyến tính liên tục trên H Tính A 16 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2003 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 Cho A là một tập đo đ-ợc và f, g : A R là các hàm khả tích trên A Với mỗi n N ta đặt An = {x A | n |f (x)| < n + 1} và Bn = {x A | |f (x)|... cách bỏ n k hàng cuối cùng của B 2 f đ-ợc gọi là không suy biến nếu ma trận biểu diễn f, theo một cơ sở nào đó của V, là không suy biến Chứng tỏ nếu f không suy biến thì dim L = n k 14 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2002 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1 1 Cho (xn )n là một dãy tăng, bị chặn trên và xn > 0 với mọi n N Chứng minh rằng, chuỗi số (1 n=1 xn ) xn+1 hội tụ 2 Tìm miền hội tụ và tính... d-ơng) và G = k=1 a) Chứng tỏ rằng G là một nhóm con cấp vô hạn không cyclic của C và mọi nhóm con thực sự của G đều là nhóm con cyclic hữu hạn b) Trên G, xét hai phép toán , nh- sau: x, y G, x y = xy, x y = 0 Chứng minh rằng, (G, , ) là một vành giao hoán, không chứa đơn vị và không có idean tối đại Câu 2 Cho D là một miền nguyên với đơn vị e sao cho mỗi nhóm con của nhóm cộng của D là một idean của D... với n là số cột của A và cũng là số hàng của B Câu 4 Cho f là một dạng song tuyến tính trên không gian vector thực n-chiều V và U = {a1 , a2, , an } là một cơ sở của V Gọi L là không gian con của V sinh bởi a1 , a2 , , ak (với 1 k < n) và đặt L = {y V | f (x, y) = 0, x L} 13 1 Cho B là ma trận biểu diễn f theo cơ sở U Chứng tỏ rằng, nếu y = (y1, y2 , , yn) V theo cơ sở U thì y L khi... b) n=1 c) lim nàBn = 0 n Câu 2 a) Cho A là một tập con trong không gian metric X và x X là một điểm dính của A Giả sử x A Chứng minh A là một tập vô hạn Suy / ra mọi tập con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X Y là một toán ánh liên tục từ X lên Y Cho A X sao cho A = X Chứng minh rằng f (A) = Y Câu 3 Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, . đẳng h-ớng cực đại. Suy ra các không gian con hoàn toàn đẳng h-ớng cực đại có cùng một số chiều. 6 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 2000 Môn Đại Số Thời. b) Tìm dim((V r+1 )). 2 Đề Thi Tuyển Sinh Sau đại học năm 1998 Môn Giải Tích Thời gian 180' Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm n=1 1