BO DE THI HSG TOAN 8 CO DAP AN

Chứng minh BF.DG không đổi (khi vị trí điểm F thay đổi trên cạnh BC).... Dµnh cho hs kh«ng häc trêng.[r]

ĐỀ THI CHO HSG LỚP

Bài 1: Cho biểu thức M = [ x2

x3−4x+

6 6−3x+

1

x+2] : (x −2+

10− x2 x+2 ) a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M |x| =

2

Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A <

Bài 3:

a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5

b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B = 3(x+1)

x3

+x2+x+1

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ đường thẳng a cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt tia DC G

a) Chứng minh: AE2 =EF.EG

b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi

Bài 5: CMR x2−yz

x(1−yz)=

y2−xz

y(1−xz) Với x y ; xyz ; yz ; xz

Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)

Bài 1: a) Rút gọn M M= [ x2

x3−4x+

6 6−3x+

1

x+2] : (x −2+ 10− x2

x+2 ) = [

x2

x(x −2)(x+2)− 3(x −2)+

1

x+2] :

x+2

M = −6

(x −2)(x+2)

x+2

6 =

1 2− x

b) |x| =

2 ⇔ x =

1

2 x = -1

Với x = 12 ta có : M =

1 2−1

2

=

1

= 32 ; Với x = - 12 ta có : M =

1 2+1

2

=

1

= 52

Bài 2: a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2

+ c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)

b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Ta có: (b + c - a) >0 ( BĐT tam giác)

(b + c + a) >0 ( BĐT tam giác) (b - c -a) <0 ( BĐT tam giác)

(b + c -a) >0 ( BĐT tam giác) Vậy A< Bài 3: a) Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1

= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1

Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1

Dấu ''='' xãy ⇔ x = y y = Vậy GTNN A ⇔ x = y =2 b) B = 3(x+1)

x3

+x2+x+1 =

3(x+1)

x2

(x+1)+x+1 =

3(x+1)

(x2+1)(x+1) =

x2+1

Do x2 +1>0 nên B = x2

+1

Dấu ''='' xãy ⇔ x =

Bài 4: a)

Do AB//CD nên ta có: EAEG=EB

ED =

AB

DG (1)

Do BF//AD nên ta có: EFEA=EB

ED =

AD

FB (2)

Từ (1) (2) ⇒ EA

EG=

EF

EA Hay AE2 = EF EG

b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi

Từ (1) (2) ⇒ AB

DG=

FB

AD Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)

Bài 5: Từ GT ⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)

⇔ x2y- x3yz-y2z + xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2

⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0

⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0

⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) =

⇔ (x -y) [xy−xyz(x+y+z)+xz+yz] =

Do x - y nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)

E

F

A B

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn : Toán lớp 8

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2.5 điểm)

Cho P= a

2

(a+b)(1−b)−

b2

(a+b)(1+a)−

a2b2

(1+a)(1−b)

a Rút gọn P

b Tìm cặp số nguyên (a, b) để P = Câu 2: (1.5 điểm): Giải phương trình: x3

+ x

3

(x −1)3=2− 3x2

x −1

Câu 3: (1.5 điểm)

Cho x,y hai số dương thoả x.y = Tìm giá trị lớn biểu thức

A= x

x4+y2+

y y4+x2

Câu 4: (2.0 điểm)

Cho hình vng ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CD AN cắt BP E AN cắt DM F

a Chứng minh FA = FE b Chứng minh DE = DC Câu 5: (2.5 điểm)

Cho hình bình hành ABCD F điểm thuộc cạnh BC AF cắt BD E cắt DC G

a Chứng minh AEAF=GE

GA

ĐÁP ÁN: Câu 1: (2.5 điểm)

- Điều kiện a ≠ −1, b≠1, a ≠− b - P=a

2

(1+a)−b2(1− b)− a2b2(a+b) (a+b)(1−b)(1+a) =

a2+a3−b2+b3− a2b2(a+b) (a+b)(1− b)(1+a)

a −b+a2−ab+b2− a2b2

¿

(a+b)¿ ¿(a − b)(a+b)+(a+b)(a

2

−ab+b2)−a2b2(a+b) (a+b)(1−b)(1+a) =¿

(a+b)(1+a)(a− b+b2− b2a)

¿(a+b)(a(1+a)−b(1+a)+b

(1− a)(1+a)) (a+b)(1− b)(1+a) =¿

¿

(a+b)(1− b)(1+a) (a+b)(1+a)(a(1−b)(1+b)− b(1−b))

(a+b)(1+a)(1−b)(a(1+b)−b)

¿ ¿ ¿

(a+b)(1− b)(1+a)=¿

¿

(a+b)(1− b)(1+a)=a+ab− b

b.- Để P =3: a+ab− b=3⇔a(1+b)−(1+b)=2⇔(a −1)(1+b)=2

- Lập hệ: {a −b 1=1

+1=2 ; {

a −1=−1

b+1=−2 ; {

a −1=2

b+1=1 ; {

a −1=−2

b+1=−1

- Giải: {ab==21 ; {ba==−03 ; {ab==30 ; {ab==−−12 - Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm: {ba=0

=−3 ; {

a=3

b=0

(Mỗi ý cho 0,25 điểm – Riêng ý 6: 0,50 điểm) Câu 2: (1.5 điểm)

x −1¿2

(¿¿)=2−3 x

2

x −1

x2− x2

x −1+

x2 ¿

(x+ x

x −1)¿

Có:

x −1¿2 ¿ ¿ x2

+x

2 ¿

Đặt t=x+ x

x −1=

x2− x

+x

x −1 =

x2

x −1 được:

t −1¿3=1⇔t −1=1⇔t=2

t(t2−2t −t)=2−3t⇔t3−3t2+3t −1=1⇔¿ x −1¿2+1=0

x2

x −1=2⇔x

2

=2x −2⇔¿ (Vô nghiệm)

Câu 3: (1.5 điểm) - x4+y2≥2x2y⇒ x

x4+y2≤

x

2x2 y=

1

2 xy (x, y số dương)

- y4+x2≥2y2x⇒ y

y4

+x2≤

y

2y2x=

1

2 xy (x, y số dương)

- A= x

x4+y2+

y y4+x2≤

1 xy+

1 xy=

1 xy=1

- Dấu “=” xãy {x

=y2

x2

=y4 xy=1

⇔{x6=y6

xy=1 ⇔{

x=1

y=1 (x, y số dương)

0,50 0,25 0,25

0,50 Câu 4: (2.0 điểm)

- Chứng minh MBPD hình bình hành

- => FM // BE

- M trung điểm AB nên MF đường trung bình ABE

- => FA = FE

- Chứng minh AN vng góc với DM - Suy  DAE cân D

- => DE = DA Do DA = DC nên DE = DC

0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25

Câu 5: (2.5 điểm) - BF// AD => EBED=EF

EA

- AB//DG => EBED=EA EG

- => EFEA=EA EG

- => EFEA+1=EA

EG +1

- => AFAE=AG

EG ⇒

AE

AF=

GE GA

- CM: EAD  EFB để BFDA=EB ED

- CM: EBA  EDG để EBED=AB GD

- ⇒BF

DA =

AB

GD ⇒BF DG=DA AB

- Do DA, AB không đổi nên BF.DG không đổi

Mỗi ý cho 0,25 điểm

A M B

N

D P C

E F

A

B C

D E

F

G

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn : Tốn lớp 8

Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề)

C©u 1 Cho P =

       

2

1

5

x x x x

x x

    

 

a) Rút gọn P

b)Tìm giá trị nhỏ P

Câu 2 a) Xác định số a, b cho:

3x3 + ax2 + bx + chia hÕt cho x2 – 9. b) Giải phơng trình với tham số a, b

a(ax + b) = b2(x – 1)

Câu Quãng đờng từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB tổng cộng 30km.Một ngời từ A đến B từ B A hết tất 4h 25 phút.Tính quãng đờng nằm ngang,biết vận tốc lên dốc

10km/h, vận tốc xuống dốc 20km/h vận tốc đờng nằm ngang 15km/h

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến BD, phân giác góc ADB góc BDC lần lợt cắt AB, BC M N, biÕt AB = 8, AD =

a) Chứng minh rằng: MN//AC

b)Tứ giác MNCA hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?

Câu 5 a) Giải bất phơng trình:

2

2

x

x  x 

b) Cho 4x + y = 1.Chøng minh r»ng: 4x2 + y2 ≥

1

c) Chứng minh m,n,p,q ta có m ❑2 + n

❑2 + p ❑2 + q ❑2

+1 m(n+p+q+1) dấu xảy nào?

C©u 6 a, Chøng minh r»ng a2+b2

+c2≥ab+bc+ac

b , Cho a, b, c lµ số dơng thoả mÃn a + b = 1.Chứng minh r»ng:

1

1

a b

   

  

   

   

ĐÁP ÁN: C©u a) P = (x

2

+5x+4)(x2+5x+6)+1

x2+5x+5

P =

x2+5x+4¿2(x2+5x+4)+1

¿ ¿ ¿ P = (x

2

+5x+5)

x2+5x+5

2

=x+5x+5

b) P = (x+5 2)

2

−5

4≥

−5

VËy P = - 5/4 x = - 5/2 ,giá trị x thoả mÃn x2

+5x+5≠0

Câu a, Chia 3x3 + ax2 + bx + cho x2 – đợc 3x + a d (b + 27)x + (9 + 9a)

Để phép chia hết cần : (b + 27)x + (9 + 9a) = víi mäi x

⇔ {

b + 27 =

⇔

9 + 9a =

{ B = - 27

a = - b) ⇔ a2x + ab = b2x – b2

⇔ a2x – b2x = - ab – b2

⇔ (a2 – b2)x = - ab – b2 ⇔ (a – b)(a + b)x = - b(a + b) +) Nếu a = b pt có dạng 0x = - 2b2 Suy a = b = pt ngiệm x

a = b ≠ pt v« ngiƯm

+) Nếu a = - b pt có dạng 0x = suy pt nghiệm x +) Nếu a ≠ b pt có ngiệm x = ± a− b− b

Câu Gọi quãng đờng nằm ngang CD x(km) ( x > 0) Thì quãng đờng AC + BD = 30 – x

Cả quãng đờng nằm ngang 2x Cả quãng đờng lên dốc 30 – x Cả quãng đờng xuống dốc 30 –x Ta có phơng trình: 2x

15 +

30− x

10 +

30− x

20 =4

5

12⇔x=5(tm)

C©u a) MA

MB =

BD

AD;

NB

NC=

BD

DC mà AD =

DC nên MB

MA=

NB

NC→MN // AC

b) Tø gi¸c AMND hình thang vuông

SAMND =

2 (MN + AC)AM

MA

MB=

AD

BD →MA=3(cm);MB=5(cm); AC = 2AD = 12(cm)

MN // AC (cmt) MN

AC =

MB

AB →MN=7,5(cm) ; SAMND = 292,5 (cm2)

Câu Dành cho hs không học trờng a) < x <3

b) y = – 4x suy y2 = (1 – 4x)2

XÐt

5x −1¿2 ¿

4¿

1−4x¿2−1

5=¿ 4x2

+y2−1 5=4x

2

+¿

(®pcm)

Câu Dành cho hs trờng

a)

(1+1

a)(1+

1

b)≥9 ⇔a+1

a b+1

b ≥9 ⇔ab+a+b+1≥9 ab

¿

⇔a+b+1≥8 ab⇔2≥8 ab

a+b¿2≥4 ab ¿ a −b¿2≥0 ⇔1≥4 ab⇔¿

b)

A=(x+y)(x −xy+y)+xy A=x −xy+y+xy

A=x2+y2

Thay y = – x vào A đợc:

1− x¿2+2(x2− x)+1

A=x2+¿ A=2(x −1

2) +1 2≥

Suy Min A = 1/2 x = 1/2 ; Vµ y = 1/2

⇔(m2

4 −mn+n

2

)+(m

2

4 −mp+p

2

)+(m

2

4 −mq+q

2

)+(m

2

4 − m+1)≥0

⇔(m

2 − n)

2

+(m − p)

2

+(m 2− q)

2

+(m 2−1)

2

≥0 (ln đúng)

DÊu b»ng x¶y {

m

2−n=0

m

2− p=0

m

2−q=0

m

2−1=0

⇔ { n=m

2

p=m

q=m

m=2

⇔ { m=2 n=p=q=1

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

C¸ch 1: XÐt cặp số (1, 1, 1) (a, b, c) ta cã (12

+12+12)(a2+b2+c2)≥(1 a+1.b+1 c)2

⇒ (a2

+b2+c2)≥ a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)

⇒ a2

Đề cho đội tuyển học sinh giỏi toán 8

Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:

a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tố. b, B = n

4

+3n3+2n2+6n −2

n2

+2 Có giá trị số nguyên

c, D= n5-n+2 số phơng (n 2)

Câu 2: (5điểm) Chøng minh r»ng :

a, a

ab+a+1+

b

bc+b+1+

c

ac+c+1=1 biÕt abc=1

b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c, a

2

b2+

b2 c2+

c2 a2≥

c b+

b a+

a c

Câu 3: (5điểm) Giải phơng trình sau:

a, x −214

86 +

x −132

84 +

x −54

82 =6

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9

c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng.

Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng

chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b Chứng minh:

AB +

1

CD=

2 EF

c, Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF

Câu Nội dung Đi ể m

a, (1®iĨm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)

Để A số ngun tố n-1=1 ⇔ n=2 A=5

Câu 1 (5điểm) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, b, (2®iĨm) B=n2+3n-

n2

+2

B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 ớc tự nhiên 2

n2+2=1 giá trị thoả mÃn

Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên. c, (2®iĨm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [(n2−4)

+5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)

(n+1)+2

Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)

Vµ n(n-1)(n+1 ⋮ VËy D chia d

Do số D có tận 7nên D khơng phải số phơng

Vậy khơng có giá trị n để D số phơng

C©u 2

(5®iĨm)

a, (1®iĨm) a

ab+a+1+

b

bc+b+1+

c

ac+c+1=¿ ac

abc+ac+c + abc

abc2+abc+ac+

c

ac+c+1

= ac

1+ac+c+ abc

c+1+ac+

c

ac+c+1=

abc+ac+1 abc+ac+1=1

0, 0, 5 5 0, 0, 0, 0, b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)

⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0

a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)

Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0

⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2

c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu x=y

a

b2+ b2

c2≥2 a b

b c=2

a

c ; a2

b2+ c2

a2≥2 a b

c a=2

c b ; c2

a2+ b2 c2≥2

c a

b c=2

b a

Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2(a

2

b2+

b2 c2+

c2 a2)≥2(

a c+

c b+

b

a) ⇒ a2 b2+

b2 c2+

c2 a2≥

Câu 3

(5điểm)

a, (2®iĨm) x −214

86 +

x −132

84 +

x −54

82 =6

⇔ (x −214

86 −1)+(

x −132

84 −2)+(

x −54

82 −3)=0

⇔ x −300

86 +

x −300

84 +

x −300

82 =0

⇔ (x-300) (

86+ 84+

1

82)=0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 Vëy S =

{300}

1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9

(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25

⇔ k= 8,5

Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0;

⇒ x=

2; x=

1

Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v« nghiƯm

Vëy S = {1

2,

−1

4 }

c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng

Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1

Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1)

Câu 4

(5®iĨm)

a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒ S DAB=S CBA (cùng đáy đờng cao)

⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC

b, (2điểm) Vì EO//DC EO

DC=

AO

AC Mặt khác AB//DC

AB AO AB AO AB AO EO AB

DC OC  AB DC AO OC  AB DC AC  DC AB DC

⇒ EF

2 DC=

AB

AB+DC⇒

AB+DC

AB DC =

2 EF ⇒ DC+ AB= EF

c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,

+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng

Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM KN I SIKE=SIMN

(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN

0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 A B C D O

E K F

I