Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành 2 phần có tỉ số diện tích bằng 2.. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC2[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Trường PTTH Phú Nhuận Mơn: TỐN; Khối A – A1 – D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1 1 2
x x y
1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Tìm tọa độ điểm M (C) cho khoảng cách từ điểm I(–1 ; 2) tới tiếp tuyến (C) tại M lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình:
1 1
sin 2x sin x 2cot 2x 2sin x sin 2x
2 Giải hệ phương trình :
3 3
2
y x x x y y 6x
tập số thực
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp OABC có cạnh OA, OB, OC vng góc với đơi O, OB = a, OC = a 3và OA =a Gọi M là trung điểm cạnh BC
1 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC ) Tính khoảng cách đường thẳng AB OM
Câu V (1,0 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x2y2 z2 3 Tìm giá trị lớn
biểu thức
5 P xy yz zx
x y z
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mp tọa độ Oxy, cho ABC có A(2 ; 5), B(–4 ; 0), C(5 ; –1) Viết phương trình đường thẳng đi qua A chia ABC thành phần có tỉ số diện tích 2.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 5;0 Viết phương trình đường thẳng d qua A biết d cắt Oz tạo với Oz góc 600.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn |z- 1| |= z+3|và | |z 2+ =z2 2 B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm
16 23 ; 27 9 H
, phương trình
cạnh BC: x – 6y + = trung điểm cạnh AB
5 5 ; 2 2 K
Viết phương trình đường thẳng AB, AC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x4y 6z 2 0 mặt phẳng (P): x + y + z + 2012 =
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) tiếp xúc (S)
b) Từ M thuộc (P) vẽ tiếp tuyến MN đến mặt cầu (S) ; N(S) Xác định tọa độ điểm M cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2 3
4 7.2 8
log log log log 1
x y x y
x y
; x y R,
(2)-Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐÁP ÁN Câu I.
(2,0đ)
1 1
3 2 1 1 2 x x x y
Tập xác định: D = \{–1} 0,25
xlim y 2 Tiệm cận ngang: y2
xlim y1 ; lim yx 1
Tiệm cận đứng: x1
0,25 ) 1 ( 3 ' x y
> 0, xD
Hàm số tăng khoảng xác định
0,25
x
-5 -4 -3 -2 -1
y -2 -1 0,25 2 Nếu ) ( 1 3 2 ; 0 C x x
M
tiếp tuyến M có phương trình ) ( ) 1 ( 3 1 3
2 2 0
0 x x x x y
hay 3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0
0
0
x x y x
x
0,25
Khoảng cách từ I(–1 ; 2) tới tiếp tuyến
0 0 0 ) 1 ( ) 1 ( 9 6 ) 1 ( 9 1 6 1 9 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 x x x x x x x d 0,25
Theo bất đẳng thức Côsi
6 9 2 ) 1 ( ) 1 ( 9 2 x
x , d 6
Khoảng cách d lớn 6
2 (x 1) (x 1)
(x0 + 1)2 = x0 1
0,25
Vậy có hai điểm M : M 1 3; 2 3 M 1 3;2 3 0,25 Câu II
(2,0đ)
1 Giải phương trình:
1 1
sin 2x sin x 2cot 2x 2sin x sin 2x
Điều kiện:
sin x cos x
(i) 0,25
pt sin 2x sin 2x.sin x cos x 2cos 2x2
0,25
2
cos 2x cos 2x cos x 2 0 cos 2x 0
2cos x cos x : VN
0,25
x – –1 +
y’ + +
y
(3)k x
4 2
( thỏa điều kiện (i) ) 0,25
2. Giải hệ phương trình:
3 3
2
y x x x y y 6x
tập số thực Khi x = y =
(0 ; 0) nghiệm hpt. 0,25
Khi x 0 , ta có
3
6 3
3
y y y
x y 9x x x 3y x
x x
x
Mà
2 y
x y y 6x y x
x
0,25
Do
3
y y y y
x 3y x x 27 x y
x x x x
0,25
Ta có
y 2
y 2 2
x x 2
x 3
x
Vậy HPT có nghiệm (0 ; 0) , (1 ; 2) , (2 ; 2)
0,25
Câu III (1,0đ)
Tính tích phân I =
4
sin x
4 dx 2sin x cos x 3
=
2
2
1 sin x cos x dx 2 sin x cos x 2
0,25
Đặt t = sinx – cosx dt = (cosx + sinx)dx Đổi cận: x =4
t = 0 x = 2
t = 1 I =
1
1 1
dt t 2 2
0,25
Đặt
2 t 2 tan u dt 2 tan u du
; 2 u 2
I =
1
arctan 2
2
2
2 tan u 1
du 2 tan u 2 2
0,25
1 arctan
2 1
u 2
=
1 1
arctan
2 2
0,25
Câu IV (1,0đ)
Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH Chứng minh OH vng góc mp (ABC)
0,25
2 2 2
1 1 1 1 1 1
OH OA OK OA OB OC 5 a
Suy d(O, (ABC)) = OH = 5 5
a 0,25
Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi O(0;0;0), (0; 0; 3); ( ; 0; 0), (0; 3; 0),
A a B a C a
0,25 z
A
3
a
3
a y
C N O
M a
(4)3
; ;
2
a a M
3
0; ;
2
a a
N
.
3 3
; ; , 0; ;
2 2
a a a a
OM ON
2 2
3 3
[ ; ] ; ;
4 4
a a a
OM ON
, ( 3; 1; 1)
n VTPT mp ( OMN )
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến : 3n xy z 0
Ta có:
3 0 3 15
( ; ( ))
5
3 1
a a a
d B OMN
Vậy:
15
( ; ( ))
5 a d B NOM
MN đường trung bình tam giác ABC AB // MN
AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
15
( ; ( ))
5 a d B NOM
0,25
Câu V (1,0đ)
Ta có :
x y z2 x2 y2 z2 x y z2 3 xy yz zx
2 2
. 0,25
Đặt t = x + y + z, ta có:
2
2 2
t 3
0 xy yz zx x y z 3
2
3 t 3
0,25
Khi đó, ta có:
t 3 5 P f t
2 t , 2
5 t 5 '
f t t 0, t 3
t t
. Vậy ta có:
14 P f t f 3
3
.
0,25
Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy
14 max P 3 . 0,25 Câu VI.a (2,0 điểm)
1. TH1: Ta có:
2 1 AMC AMB S S
Trong ABC, dựng đường cao AH
1 . 2 (1) 2 1 . 2
CM AH MC MB BM AH
0,25
Khi đó:MC 2MB
1 ( 1; )
3 M
Pt đường thẳng d1: 16x – 9y – = 0
0,25 TH2: 2 2 AMB AMC S S
Cm tương tự:
2 (2; )
3 M
Pt đường thẳng d2: x – = 0
0,5
2. Gọi K giao điểm d trục Oz K(0 ; ; k) 2;5; ; 0;0;1
AK k k
0,25
2 1 cos ; cos 60
(5)0;0; , 2;5; 3
K AK 0,25
Phương trình d :
3 3
;
5 3 5 3
2 2
x y z x y z
(6)Câu VII.a
(1,0 điểm) Gọi z = a + bi (a, b ), ta có:
|z- 1| |= z+3|
1 a b R
(1)
0,25
2
| |z + =z 2
2 1
0 a ab
1 0
a
b (2) 0,25
1 1
0 2
a b
Vậy z = –1
0,5 Câu VI.b
(2,0đ)
1 đt AH qua H vng góc BC (AH) : 6x + y + = A thuộc AH suy A(a ; –6a – )
B thuộc BC suy B(6b – ; b)
K trung điểm AB suy a = –1 ; b =
0.25 Suy A(–1 ; 5) , B(–4 ; 0)
Pt (AB): 5x – 3y + 20 =
0.25 đường cao CH qua H , vng góc AB : (CH) : 3x + 5y – 11 = 0.25 HC cắt BC C suy C(2; 1) suy pt (AC) : 4x + 3y – 11 = 0.25 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) tiếp xúc (S)
(S) có tâm I(1 ; –2 ; 3) , bán kính R = 4 0,25 (Q): x + y + z + D = (D 2012) 0,25
, 4 2 3
d I Q D 0,25
Vậy (Q) : x + y + z 0 0,25 b) Từ M thuộc (P) vẽ tiếp tuyến MN đến mặt cầu (S) ; N(S) Xác định tọa độ điểm
M cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ MN2 = IM2 – R2
MN nhỏ IM nhỏ suy M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P).
0,5 phương trình đường thẳng IM: x – = y + = z – 0,25 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
x y z x y z 2012
Vậy
2017 2008 2023
; ;
3 3 3
M
0,25
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2 3
4 7.2 8
log log log log 1
x y x y
x y
; x y R,
Điều kiện x > ; y > 1 0,25
( ) ( )
2
2 3
4 7.2 8
log log log log 1
x y x y
x y
-
-ìï - =
ïïí
ï - =
ïïỵ
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 7.2 8 0
log log log log log
x y x y
x y
-
-ìïï - - =
ïí
ï = +
ïïỵ 0,25
2
2
2 3
2 8
2 1
log log log log x y
x y
x y
0,25
2
2 3 2 3 0 x y
y y
9 3
x
y hay 1
1 x y
So điều kiện x > ; y > hệ phương trình có nghiệm 9 3 x y
(7)Đáp án HKG cổ điển cách 2
b) OM = MN = a , ON = a
2 SOMN = a 15
8 OB = OM = MB = a OBM SOBM =
2 a
4
Gọi I trung điểm OC NI đường trung bình OAC NI (OBC) NI = a
2 VN.OBM =
1
3 SOBM.NI = a
8 Mặt khác, VN.OBM =
1
3 SOMN.d[B,(OMN)] d[B,(OMN)] =
NOBM OMN 3V
S =
3a 15 MN đường trung bình tam giác ABC AB // MN
AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
3
( ; ( ))
15 a