SKKN HE THUC VIET

HÖ thøc cßn gióp häc sinh xÐt dÊu 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ khong biÕt cô thÓ mçi nghiÖm lµ bao nhiªu.. Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc 2 cã chøa tham sè lµ lo¹i to¸n khã.[r]

I ) Lý chọn đề tài

Từ tốn đơn giản khơng giải phơng trình tính tổng tích nghiệm phơng trình bậc , học sinh có phơng tiện hệ thức Vi – ét để tính tốn Hệ thức cịn giúp học sinh xét dấu nghiệm phơng trình mà khong biết cụ thể nghiệm

Giải biện luận phơng trình bậc có chứa tham số loại tốn khó Tiếp tục tốn thờng kèm theo u cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ nghiệm , phép tính nghiệm phơng trình Việc tính nghiệm phơng trình theo cơng thức nghiệm vơ khó khăn phơng trình chứa tham số Trong trờng hợp hệ thức Vi – ét phơng tiện hiệu giúp học sinh giải loại toán

Cuối học kỳ lớp , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ kỳ thi cuối cấp Các toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào trờng chuyên lớp chọn Trong viết , hy vọng đóng góp thêm số kinh nghiệm hớng dẫn học sinh làm quen tiến tới giải tốt cần áp dụng hệ thức Vi - ét

II ) Nội dung đề tài A) Kiến thức

1) Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a  ) có nghiệm phân biệt x x1, 2 tổng tích hai nghiệm là:

S = b x x

a

  vµ P = x x1 2 c

a 

2 ) TÝnh nhÈm nghiÖm

a ) NÕu a + b + c = phơng trình ax2 + bx + c = ( a  ) cã c¸c nghiƯm sè lµ x1 1,x2 c

a

 

b ) NÕu a - b + c = phơng trình ax2 + bx + c = ( a  ) cã các nghiệm số x1 1,x2 c

a

3 ) Tìm số biết tổng tÝch cđa chóng

B ) Bµi tập áp dụng tập phát triển , nâng cao

1, Loại toán xét dấu nghiệm phơng trình mà không giải phơng trình

Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu nghiÖm ?

a) x2 13x 40 0

  

b) 5x2 7x 1 0 c) 3x2 5x 1 0

  

Gi¶i

a) Theo hƯ thøc Vi – Ðt cã S = x1 x2 b 13 a    P = x x1 2 c 40

a 

Vì P > nên nghiệm x1 x2 dấu S > nên nghiệm cïng dÊu d¬ng

b) Theo hƯ thøc Vi – Ðt cã P =

1

5 c x x

a

   nªn nghiƯm cïng dÊu S =

7

b x x

a  

    nªn nghiƯm cïng dÊu ©m

c) P = 1 2 c x x

a 

nên nghiệm trái dấu S = 1 2

3 b x x

a

   

Bài tập 2 Cho phơng trình x2 10x m2 0

   (1)

Chứng minh phơng trình ln có nghiệm trái dấu với giá trị m  Nghiệm mang dấu có giá trị tuyệt đối lớn ? Giải

Ta cã a = > , c = - m2< víi mäi m  0

Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) ln ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi - ét : P = x x1, 2 m2 < Do x1và x2 trái dấu

(§Ị TS chuyên Hạ Long 1999 2000)

Cho phơng trình x2  (m 1)x m m 2 0 (1) (với m tham số) a) Giải phơng trình trªn víi m =

b) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm trái dấu  m c) Gọi nghiệm phơng trình cho x1, x2

Tìm m để biểu thức

3

1

2

x x

A

x x

           

đạt giá trị lớn

Giải a) Thay m = vào phơng trình ta đợc

2 4 0

1 4.( 4) 17

x  x 

    

Phơng trình có nghiệm phân biệt

2

1 17 17

2 x

x

 

  b)XÐt

2 2 ( 2) ( 21 1 )3 ( 1)2 13

2 4

acm m  m  m  m  m    m  

 

Cã

2

1 3

0 1

2 4

m m P P m

   

          

   

   

Vậy phơng trình (1) có nghiệm trái dấu m

c, Gọi nghiệm phơng trình cho x1, x2

Từ kết phần b có x1, x2  , biểu thức A đợc xác định với x1, x2 tính

theo m vµ

2

(x ) 0; (x )

x  x 

Đặt

(x ) a

x  Víi a >

3

1 ( )x

x a

 

 Cã A = -a +

a

mang giá trị âm

Cã – A = a +

2

1 a

a a

 

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a

a ( v× a > vµ

0 a  ) Ta cã:

1

( ) :

1

( ) :

1

a a

a a

a a a

a

 

  

  

VËy – A  <=> A - nên A có GTLN -

2

2

1

* 2

1

2

2

2

( 1)

1

A a

a a

a

a a a

a a

a a

a a

    



   

   

    

   

  

( thoả mÃn điều kiện a > )

 Víi a = th× 1

2

( )x x x x

x   x   

 Theo kÕt qu¶ x1  x2 cã S x1 x2 x2 x2 b

a       ( 1)

1 m m m

        

* Kết luận : Với m = biểu thức A đạt giá trị lớn - 2) Loại tốn tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích nghiệm Bài tập 4: Cho phơng trình : x2  (m 1)x m m 2 0

b) Gọi nghiệm x1 x2 tìm giá trị m để x12x22 đạt giá trị nhỏ

Gi¶i: a ) Ta cã a = >

2

2

2

2 ( 2)

1

( )

4

1 7

( )

2 4

c m m m m

m m

m

     

   



   

a, c trái dấu nên phơng trình luôn có nghiệm phân biệt với tham sè m

Theo hÖ thøc Vi Ðt P = x x1 2 c m2 m

a

     nghiệm trái dấu

b) Ta cã

2

(m 1) 2( m m 2)      

= 2 2

2 2 4

m  m  m  m  m  m

3( 2 11)

3 3 9

m m m m

 

       

 

3( 2)2 11 11

3 3

m

   

VËy Min  12 22 11

3

x x  m =2

3

Bµi tËp 5:

Cho phơng trình 2x2 (m2)x 7m2 0

Tìm giá trị dơng m để phơng trình có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nghịch đảo nghiệm

Gi¶i : Ta cã a = >

Phong trình có nghiệm trái dấu 7 m2 0 7 m 7         Với điều kiện giả sử x1< ,x2 > theo đề ta có

2 2

1 ( 2) 2

2

2

1

2

1

1 ( ) 5

2 m

x x x m m m

x

 

             

V× m > nên ta chọn m = ( thoả mÃn ®iỊu kiƯn  7m 7)

Kết luận : Vậy với m = phơng trình cho có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối ngịch đảo nghiệm

Bài tập : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 2007 ) (2 đ) Xét phơng trình : x4  2(m22) 5 m2 3 (1) víi m lµ tham sè

1) Chøng minh r»ng víi giá trị m phơng trình (1) có nghiệm phân biệt

2) Gọi nghiệm phơng trình (1) x x x x1, , ,2 3 4 HÃy tính theo m giá trị biÓu thøc M = 2 2 2 2

1

1 1

x  x  x  x

Gi¶i :

1) Đặt x2 = y ( ĐK : y ) Pt (1) trë thµnh

2 2( 2) 5 3 0

y  m  y m   (2)

2 2

4 2

4

2 2

2

( 2) (5 3)

4

1

1

( )

2 4

1

( )

2

m m

m m m

m m

m m

m

   

    

  

   

  

Cã ( 1)2 ( 1)2 3

2 4

m    m    nªn  , 0 Phơng trình (2) có nghiệm phân biệt

Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã

2

2

1

2( 2)

2( 2)

1

b m

S y y m

a

 

     

2

,  (m2 2) (5m2 3)

2

1. 5 3

c

P y y m

a

   

XÐt P 5m2 3 cã m2  0 5m2  0 5m2  3 3 nªn P > víi mäi m  Z

1, y y

 cïng dÊu

XÐt S y1 y2 b 2(m2 2) a



    

V× m2  0 m2   2 2 2(m2 2) 4

nªn S >  y y1, 2 cïng dấu dơng (thoả mÃn ĐK y 0)

Vy phơng trình (2) có nghiệm phân biệt dấu dơng nên phơng trình (1) có nghiệm phân biệt đối đôi

2) Theo kÕt phần a có x x x x1, , ,2 3 4 0 vµ x1  y x1, 2  y1

x3  y x2, 4  y2

2 2

1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

M

y y y y

   

 

1 2

1

1

1

1

1

1 1

2

2

2( )

y y y y

y y

y y

y y y y

y y

   

 

 

 

Thay kết S P vào M ta đợc

2

2

2.2( 2) 4( 2)

5

m m

M

m m

 

 

 

KÕt luËn:

2

4( 2)

5

m M

m  



Cho phơng trình x2 2(m1)x m 0 ( mlµ tham sè)

a) Chứng minh : Phơng trình cho ln ln có nghiệm với m

b) Trong trờng hợp m > x x1, 2 nghiệm phơng trình nói

hÃy tìm GTLN biểu thức

2

1 2

1

3( )

x x x x

A

x x

   



Gi¶i: a)   ,  (m1)2  m

2

( 1)

2

m m

m m m

  

   

2

2

1

1

2

2 4

m m

m m

  

   

2

1

( )

2 m

  

Vì ( 1)2

2

m nên ( 1)2 3

2 4 m  

, 0 m Z

     Phơng trình cho ln có nghiệm phân biệt với giá

trÞ m b)

2

1 2

1

3( )

x x x x

A

x x

   



Theo kết phần a phơng trình cho ln có nghiệm phân biệt áp dụng hệ thức Vi – ét ta có

S = x1 x2 b 2m

a 

   

P = x x1 2 c m a  

Vì P = m > nên x x2, 2 0 biểu thức A đợc xác định với giá trị x x1,

1,

x x tÝnh theo m

2

1 2 2

1

2 3( )

x x x x x x x x

A

x x

     

=

2

1 2 2

(x x ) x x 3(x x ) x x

    

Thay S P vào biểu thức A ta đợc :

2

(2 2) 3(2 2)

4 3(2 2)

m m m

A

m

m m m m

m

    



     



2 2

4 1

4( ) 4( )

1

4( )

m m m

m m m m

m m

 

   

 

Theo bÊt d¼ng thøc Cô Si (m 1) : 2 m. 1

m m

  ( m > 0vµ

m  )

2 1

2 4( ) m

m m

m m

m      

  

VËy biÓu thøc A cã GTNN lµ

Trong bất đẳng thức Cô Si dấu xảy  m =

m

2 1 m m

 

 

Víi m = thoả mÃn điều kiện m >

m = -1 không thoả mÃn điều kiện m > VËy víi m = th× A cã GTNN b»ng

Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ) Xét phuơng trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = (1) với m tham số a ) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22  x x1 2 4 b) Chứng minh m tích số tự nhiên liên tiếp phơng trình có nghiệm số hữu tỉ

a ) Điều kiện để m có nghiệm 0 m     

XÐt  (2m 1)2  4 (m m 2)

2

4 4

4

1

0

4

m m m m

m m m              

Vậy điều kiện để phơng trình có nghiệm m 0 m

4

Với điều kiện theo hệ thức Vi Ðt cã

1

b m

S x x

a m

 

   

P x x1 2 c m

a m



  

Gäi A x 12 x22  x x1 2

2

1 2

2

1 2

( )

( )

x x x x x x x x x x

   

  

¸p dơng hƯ thøc Vi Ðt cã A = ( §K

0 m m         )

(1 2m)2 3m

m m      2

2 2

2

1 4

4

1 4

3

3

m m m

m m

m m m m m

m m m m                     

Cã a + b + c = – – = => m1 = ( thoả mÃn điều kiện m m

4

  )

m2 =



1

  )

VËy víi m = phơng trình (1) có nghiệm x x1, tho¶ m·n

2

1 2

x x  x x  c) Gäi n N*

 ta cã m = n( n + ) lµ tÝch cđa sè tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m )

d) Theo kết phần a ta có

2

4m (n n 1) 4n 4n (2n 1)

          

0

phơng trình có nghiệm với mäi m

2n 2n

     ( n > )

2

2

1 2 ( 1) 1 2

2 ( 1) (2 1)

2 2(1 ) 2(1 )(1 )

2 ( 1) ( 1) ( 1)

m n n n n n n

x

m n n n n

n n n n n

n n n n n n n

          

  

 

    

   

  

2

2

1 2 ( 1) 1 2

2 ( 1) ( 1)

2 ( 2) 2 ( 1) ( 1)

n n n n n n n

x

m n n n n

n n n n n

n n n n n

          

  

 

    

  



Vì n N*

nên 1- n Z vµ n N* =>

1 n x

n

phân số Q tư n +2 N*

 vµ n +1 N* =>

2 n x

n

phân số Q

KÕt ln:Víi m lµ tÝch cđa sè tù nhiên liên tiếp phơng trình có nghiệm số hữu tỉ

) Loại toán tìm hai số biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng Bµi tËp : T×m hai sè x y biÕt

a) x + y = 11 vµ xy = 28 b) x – y = vµ xy = 66

Gi¶i :

2 4

b ac

   = 121 – 112 = >

Phơng trình có nghiệm phân biệt

1

11 11 7;

2

x    x   = VËy x = th× y =

x = th× y =

b) Ta cã ( )

6 ( ) 66

x y x y

xy x y

    

 



 

  

 

có x , y nghiệm phơng tr×nh x2 - 5x - 66 = 0

2 4

b ac

   = 25 + 264 = 289 > ,  = 17

Phơng trình có nghiệm phân biệt 1 17 11; 2 17

2

x    x   

Vậy x = 11 y = - x = - y = 11

Bài tËp 10 : T×m hai sè x y biÕt x2 + y2 = 25 vµ xy = 12

Gi¶i :

Ta cã x2 + y2 = 25 <=> (x + y )2 - 2xy = 25 <=> (x + y )2- 2.12 = 25 (x + y )2 = 49 <=> x +y =  7

* Trờng hợp x + y = xy =12

Ta cã x vµ y lµ nghiƯm phơng trình x2 - 7x +12 =

2 4

b ac

   = 49 – 4.12 =

1

7

4;

2

x    x   

* Trờng hợp x + y = - xy =12

Ta có x y nghiệm phơng trình x2 +7x +12 = Giải phơng trình ta đợc x3 = -3 ; x4= -

các cặp số x, y cần tìm (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- ; - 3) ; ( -3 ; -4)

4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ tổng tích nghiƯm kh«ng phơ thc tham sè :

Bài tập 11 : Cho phơng tr×nh x2- ax + a - = cã nghiÖm

1,

x x

a) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị biểu thøc

2

1

2

1 2

3x 3x M

x x x x   

b) Tìm a để tổng bình phơng nghiệm số đạt GTNN ? Giải

a)

2

2

1 2

1

1 2 2

3 ( ) 3( 1)

( ) ( )

x x x x x x

M

x x x x x x x x

    

   

 

 

Theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1 x2 a P x x;  1 2  a

VËy  

2

3 2( 1) 3 ( 1)( 1) 2( 1)

( 1) ( 1)

a a a a a

M

a a a a

        

 

 

 

2

3( 1) 3( 1) 3( 1)

( 1) ( 1)

a a a

a a a a a

  

  

  (§K : a0,a1) b) Ta cã S  x1 x2 a (1)

P x x 1 2  a (2)

Trõ vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1x2 x x1 2 , biểu thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào a

C) Các tập t ơng tự

Bài tập : Không giải phơng trình cho biết dấu nghiÖm ? a) x2- 6x +8 =

b) 11 x2+13x -24 =0 c) x2- 6x + = 0

Bµi tËp : Chøng minh với giá trị k , phơng trình a) x2+ kx -23 = có nghiƯm tr¸i dÊu

b) 12 x2+70x + k2+1 = có nghiệm trái dấu c) x2- ( k +1)x + k = cã mét nghiƯm b»ng

Bµi tËp : Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh a) mx2 - 2(m +1)x + m + = 0

b) (m -1) x2 + 3m + 2m + = 0 c) (1 – 2m) x2 + (2m +1)x -2 = 0

Bµi tËp : Cho phơng trình x2- 2m + m - = 0

Bài tập : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 )

Cho phơng trình x2 - mx +1 = ( m tham số ) a) Giải phơng trình m =

b) Vi m = , giả sử phơng trình cho có nghiệm x x1, 2 Khơng giải phơng trình , tính giá trị biểu thức

2

1 2

3

1 2

3x 5x x 3x A

x x x x

 





Hớng dẫn giải:

a) Với m = phơng trình trở thành x2-5x +1 = 0

= 21 , phơng trình có nghiệm phân biệt 1 (5 21)

x   , 2 21 x   b)Víi m = , ta có phơng trình bậc hai : x2 5x 1 0

  

Theo hÖ thøc Vi Ðt : S  x1 x2  vµ P x x 1 2 1

2

1 2

3

1 2

3x 5x x 3x A

x x x x

 





2

1 2

2

1 2 2

2

1 2

2

1 2

3( )

( )

3( )

( )

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

  



    

 

 



   

 

Thay S P vào A ta đợc : 14

3 A 

Bài tập :( đề thi học sinh giỏi lớp thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004) (4đ)

Cho phơng trình bậc ẩn x : x2 2(m 1)x2m2  3m 1 (1) a) Chøng minh phơng trình có nghiệm 0m1 b) Gọi x x1, 2 nghiệm phơng tr×nh , chøng minh r»ng

1 2

Híng dÉn gi¶i:

a) Phơng trình (1) có nghiệm <=> , (m 1)2  (2m2  3m1) 0

 m2  m 0 m m(  1) 0  m0 hc m 1 0  0m1

c) Khi m 1 , theo hÖ thøc Vi Ðt cã 2

1

2( 1)

S x x m

P x x m m

   

   

2

1 2 2( 1)

Q x x x x m m m m m

           

2 ( 1)2

2 16

m

m m

     

V× 1 ( 1)2

4 4 16

m m m

         

2

1

( )

4 16

m  

2

9

2 ( ) 2( )

16

Q    m    m

 

V× 2( 1)2 2( 1)2 2( 1)2 9

4 8

m    m    m   Q

Bài tập : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dơng 2003 – 2004 ) (1đ) Cho phơng trình : 2x2  5x 1 0

TÝnh x1 x2 x2 x1 (Víi x1 , x2là nghiệm phơng trình)

Hớng dẫn giải:

Theo định lý Vi ét ta có 2

5 1

;

2 2

x x  x x   x x 

Ta cã Ax1 x2 x2 x1  x x1 2 ( x1  x2)

NÕu

1 2

5 2

2

2

2 2

2

2



  

Bài tập : (đề thi học sinh giỏi lớp - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) a) Xác định m để phơng trình 2x2 2mx m  2 0 có nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm x1 , x2 , Tìm GTNN biểu thức

A2x x1 2 x1x2

Híng dÉn gi¶i:

a)  , m2 2(m2 2) m2 Phơng trình có nghiệm

2

0

2

m m

m   

  

 

   

b)Theo định lý Vi ét có

2

1 2

2 ;

2 m x x m x x  

Do ta có A2x x1 2 x1x2 (m2)(m 3)

V× m  2; 2 nªn (m + 2)(m - 3) 

Khi ( 2)(3 ) ( 1)2 25 25

2 4

A m  m  m m  m   VËy GTNN cđa A lµ 25

4 vµ chØ m =

Bài tập : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT khiếu Trần Phú) (2,5)

1) Chứng tỏ phơng trình x2 4x 1 0

   cã nghiÖm phân biệt x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ x12 vµ x22

2) Tìm mđể phơng trình x2  2mx2m 3 0 có hai nghiệm dấu Khi

hai nghiƯm dấu âm hay dấu dơng ? Hớng dẫn giải:

1) , 4 0 nên phơng trình có nghiệm phân biệt

2 2

1 2 2 2

( ) 2.1 14

( )

S x x x x x x

P x x x x

       

vậy phơng trình cần tìm x2- 14x +1 = 0 2) Phơng trình có nghiệm dấu

2

,

1

( 1)

2 3

3 2

2

2 m

m m

m

x x m m

         

     

   

 



Khi x1x2 2m 0 Suy phơng trình có nghiệm dơng Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006) Xét phơng trình mx2 (2m 1)x m  0 vói m tham số

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn x12x22 x x1 2

b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cđa hai sè tù nhiên liên tiếp phơng trình có nghiệm hữu tỉ

III) Ph ơng pháp tiến hành

Trong học khố tơi lồng ghép tập lời giải mẫu, sở giải theo phơng pháp để học sinh hình thành kỹ giải loại toán Cho học sinh thực hành tập tơng tự lớp

Đặc biệt , luyện tập , ôn tập chơng giáo viên tiếp tục cho học sinh giải tập nâng cao , làm thử đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua học sinh thấy đợc tầm quan trọng loại toán , tự rèn luyện tạo kỹ cho Bằng rèn luyện thực hành giải tập , học sinh cách giải tập phức tạp Các em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ phản xạ gặp toán tơng tự

IV) Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu

V) Tỉng kÕt vµ rót kinh nghiƯm

Qua áp dụng vấn đề nêu vào giảng dạy khối lớp , kết thu đợc học sinh hình thành , định hớng đợc cách giải loại toán Bằng phơng pháp gợi mở nêu vấn đề , câu hỏi dẫn dắt , em tự phát hớng giải cho tập Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh

2) “ Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 9” Bùi Văn Tuyên 3) Báo toán học tuổi thơ 2” Bộ Giáo Dục

4) Các đề thi TS thi chuyên chọn hàng năm tỉnh toàn quốc

5) Bài tập nâng cao Đại số Vũ Hữu Bình