Đang tải... (xem toàn văn)
Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét [r]
(1)I O B Bài 37:
Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường trịn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N
1 C/m:AIMD nội tiếp C?m CM.CA=CI.CD C/m ND=NC
4 Cb cắt AD E.C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp EIM
5 Giả sử C trung điểm IK.Tính CD theo R D
N
M K
E C A
Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC
cân NNC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v NCM=NMC NDM=NMDNMD cân NND=NMNC=ND(đpcm)
4/C/m C tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C giao điểm đường
phân giác EMI (xem câu 35)
5/Tính CD theo R:
Do KI trung trực AOAKO cân KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO đềuKI=R23 CI=KC=KI2 = R43 Aùp dụng PiTaGo tam
Hình 37
1/C/m AIMD nội tiếp: Sử dụng hai điểm I;M làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD C/m hai CMD CAI
đồng dạng 3/C/m CD=NC:
sđNAM=21 sđ cung AM (góc tt dây) sđMAB= 21 sđ cung AM
(2)D E I
giác vuông ACI có:CA=
4
16
3 2
2
2 AI R R R
CI CIA∽BMA( hai tam
giác vuông có góc CAI chung)CABA MAIA MA= AC
AI AB
= 2R
4 : R R =4R7 MC=AM-AC=9R287 áp dụng hệ thức câu 2CD=3R4
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 46:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E
1 C/m BD phân giác góc ABC OD//AB C/m ADEF nội tiếp
3 Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB C/m góc AFD=AED
F A
F A B O C
Hay OD phân giác cân AOCOD^AC
Vì BAC góc nt chắn nửa đường trịn BA^AC
2/C/m ADEF nội tiếp:
Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)
Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp
3/C/m: *CI=CE:
Ta có:sđ DCA=21 sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD=21 sđ cung DC (góc tt dây)
Hình 47
OD//BA
ADB=AFE
1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do cung
AD=DC(gt)ABD=
DBC(hai góc nt chắn hai cung
nhau)BD phân giác
của góc ABC *Do cung AD=DC
goùc AOD=DOC(2
(3)Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD phân giác ICE.Nhưng CD^DB
(góc nt chắn nửa đt)CD vừa đường cao,vừa phân giác ICEICE
cân CIC=CE
*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC chắn cung DC)
4/Tự c/m:
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi47:
Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EF^AD F
1 C/m:ABEF nt
2 Chứng tỏ DE.DB=DF.DA
3 C/m:I tâm đường tròn nội tiếp CJD
4 Gọi I giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
C B
E
I M
A F O D
Gọi M trung điểm ED
*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM trung tuyến tam giác vuông
FEDFM=EM=MD=21 EDCác tam giác FEM;MFD cân MMFD=MDF
và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)
Vì CA phân giác góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt MDF=ACF BMF=BCFBCMF nội tiếp
*Ta có BFM∽BIC FBM=CBI(BD phân giác FBC-cmt)
BMF=BCI(cmt) BFBI BMBC BF.BC=BM.BIu
* IFM∽IBC BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn
cung CM)FIIB IMIC IC.IF=IM.IB v Hình
47
1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xét hai tam giác vuông BDA FDE có góc D chung
BDA∽FDEđpcm
3/C/m IE tâm đường trịn ngoại tiếp FBC:
Xem câu 35.
(4)Lấy utrừv vế theo vế
BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 55:
Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C
1 C/m AMN=BMC C/mANM=BMC
3 DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FE^Ax
4 Chứng tỏ M trung điểm DC
1/C/m AMN=BMA
Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) NM^DCNMC=1v vậy:
AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA
2/C/m ANM=BCM:
Do cung AM=MB=90o.
dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông
cân M)MAN=MBC=45o
Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg)
3/C/m EF^Ax
Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN)
Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB) AND=CNB
Hình 55 554
x
y
E
F D
C M
O
A B
(5)Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)
Ta lại có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN
nội tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB EF//AB mà AB^Ax EF^Ax
4/C/m M trung điểm DC:
Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN).
NMC vuông cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm
Bài 58:Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I
1 C/m ABI vuông cân
2 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ
3 C/m JDCI nội tiếp
4 Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH^AB Cmr:
AK qua trung điểm DH
ABC vuông cân C Mà Bt^AB có góc CAB=45 o ABI vng cân B
2/C/m: AC.AI=AD.AJ
Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA=12 sđ cung AC =45o
Mà ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIBADC∽AIJđpcm
1/C/m ABI vuông cân(Có
nhiều cách-sau C/m cách):
-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng
C.Vì OC^AB trung điểm
OAOC=COB=1v
cung AC=CB=90o CAB=45 o (goùc nt baèng
nửa số đo cung bị chắn)
Hình 58 554
N
H J K I
C
O
A B
(6)3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp
4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND
-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK=
1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ
-Do DH^ JB^AB(gt)DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác
AKJ AKB ta có:
AK AN JK
DN
;
AK AN KB NH
KB NH JK
DN
maø JK=KBDN=NH
Baøi 65:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường trịn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM
1/cm: ACMP nội tiếp 2/Chứng tỏ AB//DE
3/C/m: M; P; Q thẳng hàng
Q M
P
D E A C O B 1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 2/C/m AB//DE:
Do ACMP nội tiếp PAM=CPM(cùng chắn cung PM)
Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếpMCD=DEM(cùng chắn cung
MD).Ta lại có:
Sđ PAM=12 sđ cung AM(góc tt dây) Sđ ABM=21 sđ cung AM(góc nội tiếp)
ABM=MEDDE//AB
3/C/m M;P;Q thẳng hàng:
(7) O
Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn tam giác vuông PMC) PCM+MCQ=1v MPC=MCQ
Ta lại có PCQ vng CMPC+PQC=1vMCQ+CQP=1v hay
CMQ=1vPMC+CMQ=2vP;M;Q thẳng hàng
Bài 85:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F
1 Chứng minh BDCF nội tiếp
2 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O). AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB
4 Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)
F C
E
I J O’
A D B
1/Cm:BDCF nội tiếp:
Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính
chất tiếp tuyến)đpcm
2/C/m: CD2=CE.CF Ta có
Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung
CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)
CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vuông có DC đường
cao.Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có CD2=CE.CF.
(8)Vì EDF vng D(cmt)FD^ED hay FD^O’D điểm D nằm đường
tròn tâm O’.đpcm
3/C/m IJ//AB
Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt
CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm
4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)
Ta có CD^EF C nằm đường trịn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến
(O) CD phải bán kính DO
ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I
5 C/m ABI vuông cân
6 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ
7 C/m JDCI nội tiếp
8 Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH^AB Cmr:
AK qua trung điểm DH
ABC vuông cân C Mà Bt^AB có góc CAB=45 o ABI vng cân B
2/C/m: AC.AI=AD.AJ
Xeùt hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA=12 sđ cung AC =45o
Mà ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIBADC∽AIJđpcm
1/C/m ABI vuông cân(Có
nhiều cách-sau C/m cách):
-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng
C.Vì OC^AB trung ñieåm
OAOC=COB=1v
cung AC=CB=90o CAB=45 o (góc nt
nửa số đo cung bị chắn)
Hình 58 554
N
H J K I
C
O
A B
(9)3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp
4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND
-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK=
1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ
-Do DH^ vaø JB^AB(gt)DH//JB Aùp dụng hệ Ta lét tam giác
AKJ AKB ta có:
AK AN JK
DN
;
AK AN KB NH
KB NH JK
DN
maø JK=KBDN=NH
Baøi 74:
Cho ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB.O trung điểm
AB;M điểm cung AC.H giao điểm OM với AC> C/m:OM//BC
2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D.Cmr:MBCD hình bình hành
3 Tia AM cắt CD K.Đường thẳng KH cắt AB P.Cmr:KP^AB
4 C/m:AP.AB=AC.AH
5 Gọi I giao điểm KB với (O).Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng
D
K C I M Q H
A P O B
1/C/m:OM//BC Cung AM=MC(gt)COM=MOA(góc tâm sđ cung bị
chắn).Mà AOC cân OOM đường trung trực
AOCOM^AC.MàBC^AC(góc nt chắn nửa đường trịn)đpcm
2/C/m BMCD hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) CD//MB (gt)
đpcm
(10)3/C/ KP^AB.Do MH^AC(cmt) AM^MB(góc nt chắn nửa đtrịn);
MB//CD(gt)AK^CD hay MKC=1vMKCH nội tiếpMKH=MCH(cùng
chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM)
HAK=HKAMKA cân HM trung điểm AK.Do AMB vuông M KAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)MBA=MKH hay
KAP+AKP=1vKP^AB
4/Hãy xét hai tam giác vuông APH ABC đồng dạng(Góc A chung) 5/Sử dụng Q trực tâm cuỉa AKB
Baøi 75:
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot^ EF, cắt nửa
đường trịn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)
1.Cmr ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp
2.Từ S điểm tuỳ ý cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K.Tính sđ độ góc HOK
3.Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp
4.Chứng minh ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp HOK
A
K H S I
D
P M N Q B E O F C
1/Cm ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt Các APO;
AQO tam giác vng P Q.Vì IA=IO(gt)PI trung tuyến tam
gíac vuông AOPPI=IO.Mà IO=PO(bán kính)PO=IO=PIPIO tam giaùc
(11) O
đềuPOI=60o.OAB=30o.Tương tự OAC=30oBAC=60o.Mà ABC cân
A(Vì đường caoAO phân giác) có góc 60o
ABC tam giác
đều
2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)
Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:
POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o
HOK=60o
3/ Bài 85:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F
5 Chứng minh BDCF nội tiếp
6 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O). AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB
8 Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)
F C
E
I J O’
A D B 1/Cm:BDCF nội tiếp:
Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính
chất tiếp tuyến)đpcm
2/C/m: CD2=CE.CF Ta có
Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung
CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)
CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vng có DC đường
cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có CD2=CE.CF.
(12)Vì EDF vng D(cmt)FD^ED hay FD^O’D điểm D nằm đường
tròn tâm O’.đpcm
3/C/m IJ//AB
Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v vaø EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt
CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm
4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)
Ta có CD^EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến