Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc A mở đầu Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này .Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số ngời làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng đơn giản đến các dạng phức tạp .Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số. Các bài toán cực trị đại số ở chơng trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất dẳng thức , các bài toán giải phơng trình và hệ phơng trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đồ thị hàm số. Về mặt t tởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất . Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chong trình toán cấp 2 là các bài toán tổng hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng t duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dỡng học sinh giỏi .Bồi dõng HS thi vào các trờng chuyên , thi vào cấp 3. B nội dung: I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đa về dạng A x 0 hoặc A x 0 a, Cơ sở lý luận - Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất . - Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất . - Từ đó ta có kết luận : Nếu M = A x / A x 0 thì GTNN của A x = 0 Nếu M = A x / A x 0 thì GT LN của A x = 0 b, Các ví dụ . Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x = 2x 2 8x +1 với x là số thực bất kỳ . Lời giải : Ta có A x = 2x 2 8x +1 = 2( x- 2 ) 2 7 Ta có với mọi x thì (x- 2 ) 2 0 Nên ta có 2( x- 2 ) 2 7 -7 . Vậy A x đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x = - 5x 2 4x + 1 với x là số thực bất kỳ . Lời giải: Ta có M x = - 5x 2 4x + 1 = -5 ( x + 5 2 ) 2 + 5 9 Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x + 5 2 ) 2 0 . Vậy M x 5 9 (dấu = xảy ra khi x = - 5 2 . Ta có GTLN của M x = 5 9 với x = - 5 2 . 1 Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa về dạng 0 2 k Ax hoặc 0 2 k Ax Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x = x xx 3 1615 2 ++ Vói x là các số thực dơng . Lời giải: Ta có A x = x xx 3 1615 2 ++ = 3 23 3 )4( 2 + x x với mọi x >0 thì 3 23 3 )4( 2 + x x 3 23 . Vậy GTNN của A x = 3 23 với x= 4. Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx với x thuộc tập hợp số thực. Lời giải:Ta có M x = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx = 3 + 2)1( 1 2 ++ x . Vì 2)1( 1 2 ++ x 2 1 nên ta có M x = 3 + 2)1( 1 2 ++ x 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN M x = 3,5 với (x+1) 2 = 0 hay x= -1 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F x,y = 22 1)( 2442 222 +++ ++ xyyx xyyxy với x, y là các số thực. Lời giải:Ta có F x,y = 22 1)( 2442 222 +++ ++ xyyx xyyxy = )2)(1( 1 24 4 ++ + xy y vì y 4 +1 0 với mọi giá trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y 4 +1 ta đợc : F x,y = 2 1 2 +x vì x 2 0 với mọi x nên x 2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có F x,y = 2 1 2 +x 2 1 Vậy F x,y dật GTLN = 2 1 với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. 1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có: a + b ab2 đạt đợc dấu = khi a=b . a + b+ c abc3 đạt đợc dấu = khi a=b = c . 2. Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x = x x 28 2 + với x > 0. 2 Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc Lời giải:Ta có A x = x x 28 2 + = 8x + x 2 . Ta thấy 8x và x 2 là hai đại lợng lấy giá trị d- ơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và x 2 ta có: 8x + x 2 8162 2 .82 == x x dấu = xẩy ra khi 8x = x 2 = > x = 2 1 . Vậy GTNN A x = 8 với x = 2 1 . Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B x = 16x 3 - x 6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng . Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có B x = 16x 3 - x 6 = x 3 (16- x 3 ) . Ta có x 3 > 0 , còn 16 x 3 > 0 khi 16 > x 3 hay x < 3 16 (*) ta thấy x 3 và 16 x 3 là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x 3 và 16- x 3 ta có 2 1616)16( 3333 =+ xxxx suy ra x 3 ( 16 x 3 ) 64 dấu = xẩy ra khi x 3 = 16- x 3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của B x = 64 , với x=2. IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ 8 : Với giá trị nào của x thì biểu thức P x = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: Ta có : P x = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx = 4x 2 + 8x+ 20 + 52 256 2 ++ xx Vì x 2 + 2x +5 = (x+1) 2 +4 > 0 (*) nên P x luôn xác định với mọi x ta đặt y = x 2 + 2x + + 5 , ta có P x = 4y + y 256 với y > 0 , ta thấy 4y và y 256 là hai đại lợng luôn dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và y 256 ta có : 4y + y 256 6416.2.2 256 .42 == y y . Dấu = xẩy ra khi 4y = y 256 => y = 8 hoặc y = -8 từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của P x = 64. Ví dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q x = (x 2 - 2x + 2)(4x- 2x 2 + 2) với x thuộc tập hợp các số thực. Lời giải: Đặt x 2 - 2x +2 = y ta có 4x 2x 2 + 2 = -y +6 . Vậy Q x = y ( 6- 2y). Ta có 2Q x = 2y(6-2y) , ta thấy x 2 - 2x+2 = (x- 1) 2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y )26(22 yy => 3 )26(2 yy => 9 2 Q x dấu = xẩy ra khi 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x 2 - 2x +2 = 1,5 => x = 1+ 2 2 hoặc x= 1 - 2 2 .Vậy GTLN của Q x = 4,5 với x = 1+ 2 2 hoặc x= 1 - 2 2 . Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 3 Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc H x = (8 + x 2 + x )(20 x 2 x) với x là các số thực tuỳ ý . Lời giải: Ta có : * 8+ x 2 + x =( x+ 2 1 ) 2 + 4 31 >0 với mọi giá trị của x *20 x 2 x > 0 khi -5 < x < 4 . Nh vậy H x = (8 + x 2 + x )(20 x 2 x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra H x có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). Với -5 <x <4 ta có 8+ x 2 + x và 20 x 2 x luôn dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lợng dơng 8+ x 2 + x và 20 x 2 x ta có : (8+ x 2 + x )+( 20 x 2 x) )20)(8(2 22 xxxx ++ 14 )20)(8( 22 xxxx ++ => 196 (8 + x 2 + x )(20 x 2 x) .Dấu = xẩy ra khi 8+ x 2 + x =20 x 2 x => x= 2 hoặc x= -3. Hay H x 196 .Vậy GTLN của H x = 196 ,với x=2 hoặc x = -3. V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng . Ví dụ 11 : Tìm giá trị của m, p sao cho A = m 2 4mp + 5p 2 + 10m 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Lời giải: Ta có A = m 2 4mp + 5p 2 + 10m 22p + 28 = ( m 2p) 2 + ( p 1) 2 +27 + 10(m 2p) Đặt X = m-2p ta có A = X 2 + 10 X +( p-1) 2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1) 2 + 2 . Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1) 2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0. Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3 Ví dụ 12 : Tìm giá trị của x, y sao cho F = x 2 + 26y 2 10xy +14x 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: Ta có F = x 2 + 26y 2 10xy +14x 76y + 59 = ( x-5y) 2 + (y-3) 2 +14(x-5y)+50. Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7) 2 + (y- 3) 2 +1 1. Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 .Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3 . Ví dụ 13 : Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x 2 +54y 2 +16z 2 -16xz 24yz +36xy +5. Đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: Ta có P = 19x 2 +54y 2 +16z 2 -16xz 24yz +36xy +5 = ( 9x 2 + 36xy + 36y 2 ) + (18y 2 - 24yz +8z 2 ) + (8x 2 16xz + 8z 2 ) + 2x 2 + 5 hay P = 9(x+2y) 2 + 2(3y 2z) 2 + 8(x- z ) 2 + 2x 2 + 5 .Ta thấy (x+2y) 2 0 ; (3y 2z) 2 0; (x- z ) 2 0; 2x 2 0 với mọi giá trị của x, y, z . Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phơng trình trên ta đợc x= y =z = 0 . VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski. *Bất đẳng thức Buanhiacôpski. ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + .a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + +a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 .b n 2 ) 4 Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc Dấu bằng xẩy ra khi n n b a b a b a === 2 2 1 1 *Các ví dụ : Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất . P = x 2 + y 2 +z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995. Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có : (x.1 + y.1 + z.1) 2 (1 + 1+ 1)(x 2 + y 2 + z 2 ) Hay : ( x + y +z ) 2 3.(x 2 + y 2 + z 2 ) . Từ đó ta có : P = x 2 + y 2 + z 2 3 1995 3 )( 22 = ++ zyx ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995). Vậy GTNN của P = 3 1995 2 dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z = 1995 .Ta có x= y =z =665. Ví dụ 14 : Cho biểu thức Q = zyx .542 ++ . Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 169.Tìm GTLN của Q. Lời giải: áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có : (2x + 4y + 5 z) 2 { 2 2 + 4 2 + ( 5 ) 2 }( x 2 + y 2 + z 2 ) . Hay Q 2 { 2 2 + 4 2 + ( 5 ) 2 }( x 2 + y 2 + z 2 ) vì x 2 + y 2 + z 2 = 169 nên Q 2 25.169. Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi 5 42 zyx == và x 2 + y 2 + z 2 = 169 từ đó tìm đợc x = 5 26 ; 5 26 . y= . 5 52 ; 5 52 z = 5 513 ; 5 513 VII. Các bài tập áp dụng : Bài 1: Cho biểu thức : Q = 544 3 2 + xx . Tìm GTLN của Q. Bài 2: Biểu thức : P = 2 12 2 + + x x có giá trị lớn nhất không ? Hãy chứng tỏ khẳng định của mình. Bài 3: Cho biểu thức : A = 12 1 2 2 ++ ++ xx xx . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A. Bài 4: Cho biểu thức : B= 126 146 2 2 + + xx xx . Tìm GTLN của B. Bài 5: Cho biểu thức: F = x xx 3 1615 2 ++ . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F. Bài 6: Cho biểu thức: A = 4 2 1 x x + . Hãy tìm GTLN của A. Bài 7: Cho biểu thức: Y = x xx )8)(2( ++ . Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y. Bài 8: Cho biểu thức: Y = 1 122 23 + x xxx . Tìm GTNN cua Y. 5 Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc VIII. Hớng dẫn giải và đáp số : Bài 1:Ta có : Q = 4 3 4)12( 3 2 + x . Vậy GTLN của Q = 4 3 , với x= 0,5. Bài 2: Ta có P = 1 - 2 )1( 2 2 + x x . Vì 2 )1( 2 2 + x x 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1 khi x=1. Bài 3:Ta có : A= 1 - 2 1 1 ++ x x . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 1 1 ++ x x đạt GTLN muốn vậy x+ x 1 + 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên x 1 > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và x 1 ta có : x + x 1 x x 1 .2 = 2 .Dấu = xẩy ra khi x = x 1 => x= 1; x = -1 (Loại ). Vậy GTNN của A = 1 - 4 3 4 1 = , với x= 1. Bài 4: Ta có : B= 126 146 2 2 + + xx xx = 1+ 3)3( 2 2 + x . Ta thấy B có GTLN thì 3)3( 2 2 + x phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3) 2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất . Ta có (x- 3) 2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B = 3 5 , với x = 3. Bài 5: Ta có F = x xx 3 1615 2 ++ . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = 5 3 16 3 ++ x x vì x > 0 Nên 3 x > 0; x3 16 > 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 3 x + x3 16 x x 3 16 3 2 = 3 8 ; Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + 3 8 = 3 23 ; với x = 4. Bài 6: Ta có : A = 4 2 1 x x + với x 0 thì A = 2 2 1 1 x x + . A đạt GTLN khi 2 1 x + x 2 nhỏ nhất , ta thấy x 2 và 2 1 x là hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có: x 2 + 2 1 x 2 2 1 .2 x x = 2 . Dấu = xẩy ra khi x 4 = 1 => x= 1; x = -1. Vậy GTLN của A = 2 1 , với x= 1; x = -1. Bài 7: Ta có : Y = x xx )8)(2( ++ . Với x > 0 Y = x + x 16 + 10 x x 16 .2 + 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và x 16 ). Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 . Bài 8: Ta có : Y = 1 122 23 + x xxx ( với x 1) Y = ( x + 2 3 ) 2 - 4 5 4 5 . 6 Ngời viết : Cao Quốc Cờng - Trờng thcs Vĩnh Tờng- Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc Dấu = xẩy ra khi x = - 2 3 . Vậy GTNN của Y = - 4 5 ; với x = - 2 3 . c. kết luận : Các bài toán về tìm GTLN; GTNN là một dạng toán không thể thiếu trong chơng trình toán cấp 2 . Các bài toán này là một trong những chủ đề quan trọng để bồi dỡng học sinh giỏi và luyện thi vào cấp 3; luyện thi vào trờng chuyên. Với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy tôi đã suy tầm các bài toán về tìm GTLN; GTNN và các phơng pháp cơ bản để giải các bài toán này . Đó chính là nội dung tôi thể hiện trong chuyên đề . Do kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót rất mong sự đóng góp của các thầy cô giáo ; của các em học sinh để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn. Mọi góp ý xin liên hệ số điện thoại 0982 172 094 Tôi xin chân thành cảm ơn . Vĩnh Tờng tháng 2 năm 2008 Cao Quốc Cờng 7