§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TIẾT PPCT: 29,30,31,32 GIÁO VIÊN: NGŨN THANH LAM §2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Nơ ̣i dung bài ho ̣c đươ ̣c tim hiểu tiế t: ̀ Tiế t 29: I Vectơ pháp tuyế n của mă ̣t phẳ ng II Phương trình tổ ng quát của mă ̣t phẳ ng Tiế t 30: II Phương trình tổ ng quát của mă ̣t phẳ ng (tt) + Bài tâ ̣p: Viế t phương trinh mă ̣t phẳ ng ̀ Tiế t 31: III Điề u kiê ̣n để hai mă ̣t phẳ ng song song, vuông góc Tiế t 32: IV Khoảng cách từ mô ̣t điể m đế n mô ̣t mă ̣t phẳ ng I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng a Qua điểm M cho trước có baou r ? Định nghĩa: r nhiêu r u r α Nếu vectơ n ( ≠ 0) vng góc với mp( n )(≠ 0) mặt phẳng vuông gọi vectơ pháp tuyến mp( α) góc với vectơ cho trước? u r u r * n ⊥ (α) ⇒ kn ⊥ (α) (k ≠ 0) ? Cho điểm M ∈( α) Điều kiện cần đủ để điểm M thuộc mp( α) gì? uuu u u ur r M 0M ⊥ n M0 u r n M α * Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc vectơ pháp tuyến * Một mặt phẳng có vô số VTPT và các VTPT này cùng phương với Bài toán: Tìm vectơ pháp tuyế n mp( α) r a u r b Quan sát hình vẽ: r Giá của vectơ n vuông góc với mă ̣t phẳng (α ) α u r n a b Trong kg Oxyz cho mp( α) và hai vectơ không cùng phương r u r ) a = (a1;a ;a ) b = (b1;b ;b3 )có giá song song hoă ̣c nằ m mp( α Chư u ́ ng minh rằ ng mp( α) nhâ ̣n vectơ r n = ( a b3 − a 3b ; a 3b1 − a1b ; a1b − a 2b1 ) làm vectơ pháp tuyế n Phương pháp: Tim vectơ pháp tuyế n của mă ̣t phẳng ̀ B1 Tính : rr rr a.n và b.n rr  a.n =  B2 Nế u  r r thì vectơ b.n =  r la ǹ VTPT của mp( α ) Tóm la ̣i: Trong kg Oxyz cho mp( α) và hai vectơ không cùng phương r u r a = (a1;a ;a ) b = (b1;b ;b3 )có giá song song hoă ̣c nằ m mp( α ) r r thì tích có hướng của hai vectơ a, b đươ ̣c go ̣i là vectơ pháp tuyế n của mp(α ) u r r u r  a a a a1 a1 a  n = a , b  =  ; ; Ta viế t:   b b3 b3 b1 b1 b ÷   u r u r r n = a ,b  = ( a b3 − a 3b ; a 3b1 − a1b ; a 1b − a 2b1 )   Bài toán: Tìm vectơ pháp tuyế n mp( α ) Nế u mă ̣t phẳ ng mp(α ) qua ba điể m A,B,C thì to ̣a đô ̣ vectơ pháp tuyế n của mă ̣t phẳ ng ( α) đươ ̣c tính bởi công thức : r n= uu uu ur ur  AB, AC    A u r n B α C uu ur AB ̀ va uu ur AC Tich có hướng của hai vectơ ́ là vectơ pháp tuyế n của mă ̣t phẳ ng qua ba điể m A,B,C Tham khảo: r u r Hai vectơ a ; b không r a phương có giá song song u r b chứa mp(α) gọi cặp vectơ phương mp(α ) A α u r n a B b C Do đó: Tích có hướng của că ̣p vectơ chỉ phương của mă ̣t phẳ ng Go ̣i là vectơ pháp tuyế n của mă ̣t phẳ ng đó Ví dụ 1: Trong khơng gian toạ độ Oxyz cho ba điểm không thẳng hàng A(2;0; − 1); B(1; −2;3); C(0;1;2) Tìm toạ độ mơ ̣t vectơ pháp tuyế n của mă ̣t phẳ ng (ABC) Giải: Ta có : uu ur AB = (−1; −2;4 ) uu ur AC = (−2 ;1; ) u uu uu r ur ur ⇒ VTPT : n =  AB, AC  = ( −10 ; −5 ; −5)   ́ Ap du ̣ng để thực hiê ̣n  1 trang 70 SGK II Phương trình tổng quát mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( α) qua điểm M (x ; y ;z ) u r n = (A;B;C) có VTPT u u u u Với điểm M(x; y; z) r u ur M ∈ (α) ⇔ n.M M = ? ⇔ A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = (1) z M u r + ⇔ Ax + By + Cz − (Ax + By(2) Cz ) = 0 + n α) D Trong đó: D = −(Ax + By + Cz )  A + B2 + C >  g M0 Pt (1) (2) gọi phương trình mp( α ) O * Định nghĩa: (SGK) x * Chú ý: Nếu mp(α ) có pt: Ax + By + Cz + D = VTPT u r n = (A;B;C) y Ví dụ 2: Viết pt mặt phẳng qua ba điểm M(1; −2; − 1); N(2;1;0); P(3; −1;2) u ur uu Giải: Ta có: MN = (1;3;1) ; uu ur MP = (2;1;3) r uu uu  1 1  u u ur r ; ; mp(MNP) có VTPT là: n =  MN,MP  =  ÷   3 2 1  = (8; −1; −5) mp(MNP) có phương trình tổng qt 8(x − 1) − (y + 2) − 5(z + 1) = ⇔ 8x − y − 5z − 15 = ́ Ap du ̣ng để thực hiê ̣n 3  trang 72 SGK Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; −2;3); B(−5;0;1) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Giải: Gọi I trungu ur u điểm đoạn AB Khi đó, mp cần tìm qua I có VTPT AB uu ur I(−2; −1;2); AB = (−6;2; −2) mp cần tìm có phương trình tổng qt −6(x + 2) + 2(y + 1) − 2(z − 2) = ⇔ 3x − y + z + = * Lưu ý: Ta lập pttq mặt phẳng trung trực theo cách cho AM = BM với M(x; y; z) thuộc mp trung trực M A I (P B TÓM TẮT BÀ I HỌC Trong không gian Oxyz mp( α) qua điểm M (x ; y ;z ) u r có VTPT n = (A;B;C) Có phương trình tổ ng quát là: A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = hay Ax + By + Cz + D = Trong đó: D = −(Ax + By + Cz )  A + B2 + C ≠  Tiế t sau, Thầ y sẽ hướng dẫn tìm hiể u trường hợp riêng phương trình tổng quát làm tâ ̣p trang 80 SGK Tiết hoc kết thúc ̣ Qu tháưy,cä và cạc em hc sinh Bài tâ ̣p về nhà Viết phương trình mặt phẳng (α) trường hợp sau: u r 1- (α) qua M(1; 0; 2) nhận n = (1;1;1)làm VTPT 2- (α) mặt phẳng trung trục đoạn AB với A(1; -2; 4); B(3; 6; 2) 3- (α) qua điểm M(0; 8; 0); N(4; 6; 2); P(0; 12; 4) ... Viết phương trình mặt phẳng (? ?) trường hợp sau: u r 1- (? ?) qua M(1; 0; 2) nhận n = (1 ;1;1)làm VTPT 2- (? ?) mặt phẳng trung trục đoạn AB với A(1; -2; 4); B(3; 6; 2) 3- (? ?) qua điểm M(0; 8; 0); N(4;... M0 Pt (1 ) (2 ) gọi phương trình mp( α ) O * Định nghĩa: (SGK) x * Chú ý: Nếu mp(α ) có pt: Ax + By + Cz + D = VTPT u r n = (A;B;C) y Ví dụ 2: Viết pt mặt phẳng qua ba điểm M(1; −2; − 1); N(2;1;0);... trung trực M A I (P B TÓM TẮT BÀ I HỌC Trong không gian Oxyz mp( α) qua điểm M (x ; y ;z ) u r có VTPT n = (A;B;C) Có phương trình tở ng quát là: A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = hay Ax