Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh đại học. Các ví dụ Bài 1:Giải hệ phơng trình a) =++ =+ 42 3)2( 2 yxx xxy b) 2 2 2 xy x 1 7y (x, y ) x y xy 1 13y + + = + + = Ă H K B 2009 c) 2 2 x(x y 1) 3 0 5 (x y) 1 0 x + + = + + = (x, y R) H K D 2009 Bài 2: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phơng trình =+++ =++ 8 )1)(1( 22 yxyx myxxy a. Giải hệ khi m=12 b.Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phơng trình 2 2 2 1 1 2 a x y x y a + = + = + Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phơng trình 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m + = + = Tìm m để hệ có nghiệm 4) Cho hệ phơng trình =+ =+ 222 6 ayx ayx a) Giải hệ khi a=2 b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ 5) Cho hệ phơng trình +=+ +=+ ymx xmy 2 2 )1( )1( Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 6) =+ =+ 22 22 xy yx 7) =+++++++ =+++ myxxyyx yx 1111 311 a.Giải hệ khi m=6 b.Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2: =+ =+ 358 152 33 22 yx xyyx HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 3: =+ = )2(1 )1(33 66 33 yx yyxx HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số : ( ) tttf 3 3 = trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1) Bài 4: HVQY 1995 .CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất += += x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 HD: = = 223 2 axx yx xét 23 2)( xxxf = lập BBT suy ra KQ Bài 5 =+ =+ 22 22 xy yx HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2 Bài 6 =+ =+ )1( )1( 2 2 xayxy yaxxy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 7: += = )2(5 )1(2010 2 2 yxy xxy HD : Rut ra y yy y x += + = 55 2 Cô si 52 5 += y y x 20 2 x theo (1) 20 2 x suy ra x,y Bài 8: =+ =++ ayx ayx 3 21 Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt 2,1 +=+= yvxu đợc hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu Bài 9: += = mxyx yxy 26 12 2 2 Tìm m để hệ có nghiệm Bài 10: = = 19 2.)( 33 2 yx yyx dặt t=x/y có 2 nghiệm Bài 11: =++ =++ 64 9)2)(2( 2 yxx yxxx đặt X=x(x+2) và Y=2x+y Bài 12: =++ =+ 4 )1(2 2222 yxyx yxyx đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1) Bài 13: =+ =+ 22 333 6 191 xxyy xyx Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) HD: x=y V xy=-1 CM 02 4 =++ xx vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm Bài 14: +=+ +=+ axy ayx 2 2 )1( )1( xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ Bài 15: =+ =+ 3 3 22 xyyx x y y x HD bình phơng 2 vế Bài 16: =+ +=+ 78 1 7 xyyxyx xy x y y x HD nhân 2 vế của (1) với xy Bài tập 17:Giải hệ phơng trình =+++ =+ 6xyyxyx 3yxxy 22 . Bài tập 18:Giải hệ phơng trình =++ =++ 1xyyx 3yxyx 22 . Bài tập 19: Tìm m để hệ phơng trình =+ =++ 4yx 2y)1m(mx 22 .có nghiệm Bài tập 20:Giải hệ phơng trình = = 2y3xy2 2x3yx2 22 22 . Bài tập 21: Tìm a để hệ phơng trình =+ =+ 1ayx 3y2ax có nghiệm duy nhất thoả mãn x >1, y > 0 . Bài tập 22:Giải hệ phơng trình =+ =+ 5yx 2 1 y 1 x 1 22 . Bài tập 23:Giải hệ phơng trình = = 49yxyx5 56y2xyx6 22 22 . Bài tập 24:Giải hệ phơng trình : ++=+ += 6y3x3yx )xy(239 22 3 2 log)xy( 2 log . Bài tập 25:Giải hệ phơng trình +=+ =+ 3a2ayx 1a2yx 222 . Xác định a để tích P = xy lớn nhất . Bài tập 26:Giải hệ phơng trình =+ =+ m31yyxx 1yx . Bài tập 27:Giải hệ phơng trình + = + = 2 2 2 2 y 2x x3 x 2y y3 . Bài tập 28 : Tìm k để hệ bất phơng trình sau có nghiệm + < 1)1x(log 3 1 xlog 2 1 0kx31x 3 2 2 2 3 . . Bài tập 29:Giải hệ phơng trình ++=+ = 2yxyx yxyx 3 Các đề thi những năm gần đây về hệ phơng trình . Bài tập 1: ĐHCĐ B 2002 Giải hệ phơng trình 3 2 x y x y x y x y = + = + + . Bài tập 2:ĐHCĐ D 2002 Giải hệ phơng trình: 3x 2 x x 1 x 2 5y 4y 4 2 y 2 2 + = + = + Bài tập 3: ĐHCĐ DB 2002 Giải hệ phơng trình: 4 2 x 4 | y | 3 0 log x log y 0 + = = Bài tập 4: ĐHCĐ DB 2002 Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) 3 2 x 3 y log x 2x 3x 5y 3 log y 2y 3y 5x 3 + = + = Bài tập 5: ĐHCĐ A 2003 . Giải hệ phơng trình: 3 1 1 x y x y 2y x 1 = = + Bài tập 6: ĐHCĐ DB 2003 . Giải hệ phơng trình: y x x y log xy log y 2 2 3 = + = Bài tập 7: ĐHCĐ B 2003 . Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 y 2 3y x x 2 3x y + = + = Bài tập 8: ĐHCĐ A 2004 Giải hệ phơng trình ( ) 1 4 4 2 2 1 log y x log 1 y x y 25 = + = Bài tập 9: ĐHCĐ D 2004 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm x y 1 x x y y 1 3m + = + = Bài tập 10: CĐ A 2002 . Cho hệ phơng trình: x my 3 mx y 2m 1 + = + = + a) Giải và biện luận hệ phơng trình đã cho. b) Trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất, hãy tìm những giá trị của m sao cho nghiệm ( ) 0 0 x , y thỏa mãn điều kiện 0 0 x 0 y 0 > > Bài tập 11: CĐSP Hà Tĩnh Giải hệ phơng trình: ( ) 3 3 2 2 x y 7 x y x y x y 2 = + = + + Bài tập 12: ĐH Hùng Vơng 2004 Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) 2 2 log 3 log xy 2 2 9 3 2 xy x y 3x 3y 6 = + + = + + Bài tập 13: Giải hệ phơng trình: ( ) 2 2 2 4 2 log x y 5 2log x log y 4 + = + = Bài tập 14: CĐGTVT 2004 . Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 6x xy 2y 56 5x xy y 49 = = Bài tập 15: CĐGTVT 2004 Giải hệ phơng trình: 2 2 1 1 1 x y 2 x y 5 + = + = Bài tập 16: CĐKT A 2004 Cho hệ phơng trình: ax 2y 3 x ay 1 + = + = Tìm a để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn điều kiện x 0,y 0> > Bài tập 17: Giải hệ phơng trình: 2 2 3 3 2x y xy 15 8x y 35 + = + = Bài tập 18: CĐYTTB 2004 Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 2x y 3x 2 2y x 3y 2 = = Bài tập 19: CĐCN Hà Nội Giải hệ phơng trình x x y y x x y y 2A 5C 90 5A 2C 80 + = + = (trong đó k n A là chỉnh hợp chập k của n phần tử, k n C là tổ hợp chập k của n phần tử). Bài tập 20: CĐ Đà Nẵng Giải hệ phơng trình: 2 2 xy x y 3 x y x y xy 6 + = + + + = Bài tập 21: ĐHCĐ B 2005 Giải hệ phơng trình: ( ) 2 3 9 3 x 1 2 y 1 3log 9x log y 3 + = = Bài tập 22 : ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình 2 1 1 3 2 4 x y x y x y + + + = + = Bài tập 23: ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình ( ) ( ) 2 2 4 1 1 2 x y x y x x y y y + + + = + + + + = Bài tập 24: ĐHCĐ A 2006. Giải hệ phơng trình . 3 1 1 4 x y x y x y + = + + + = Bài tập 25: ĐHCĐ DB 2006 . Giải hệ phơng trình 2 2 1 ( ) 4 ( 1)( 2) x y y x y x y x y + + + = + + = Bài tập 26: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình ( ) 3 3 2 2 8 2 3 3 1 x x y y x y = + = + Bài tập 27: ĐHCĐ D 2006 chứng minh với mọi a > 0 hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ln 1 ln 1 x y e e x y y x a = + + = Bài tập 28: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 2 3( ) 7( ) x xy y x y x xy y x y + = + + = Bài tập 29: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình 2 2 ln(1 ) ln(1 ) 12 20 0 x y x y x xy y + + = + = Bài tập 30: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 13 25 x y x y x y x y + = + = Bài tập 31 : CĐ Bách Khoa 2006 Giải hệ phơng trình 2 2 5 2 21 x y y x x y xy + = + + = Bài tập 32 : ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình 2 2 1 2 2 x y x x y y x x y + + = + = Bài tập 32: ĐHCĐ D 2007 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thực 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y + + + = + + + = Bài tập 33: ĐHCĐ DB A 2007 Giải hệ phơng trình 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y + + = + + + = + Bài tập 34: ĐHCĐ DB A 2007 Giải hệ phơng trình 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy + = + = Bài tập 35: ĐHCĐ DB B 2007 chứng minh 2 2 2007 1 2007 1 x y y e y x e x = = có đúng 2 nghiệm x > 0; y > 0. Bài tập 36: ĐHCĐ DB B 2007 Giải hệ phơng trình 2 3 2 2 2 3 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y + = + + + = + + Bài tập 37: ĐHCĐ DB D 2007 Tìm m để hệ phơng trình 2 0 1 x y m x xy = + = có nghiệm duy nhất. Bài tập 38: ĐHCĐ A 2008 Giải hệ phơng trình 2 3 2 4 2 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x + + + + = + + + = Bài tập 39: ĐHCĐ B 2008 Giải hệ phơng trình 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x + + = + + = + Bài tập 40: ĐHCĐ D 2008 Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y + + = = Bài tập 41 : Giải hệ phơng trình: =+ ++=+++ 36 97 1 6 13 6 131 22 yx y yyx x y Bài tập 42 : Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: += += myyyx mxxxy 232 232 4 4 Bài tập 43: Cho hệ phơng trình: ( ) ( ) +=++ =+ 21 2 ymxyyx myx 1) Giải hệ phơng trình với m = 4. 2) Tìm m để hệ phơng trình có nhiều hơn hai nghiệm. Bài tập 44: Giải và biện luận hệ phơng trình: +=+ +=+ xmyxyy ymxxyx 2 2 2 2 Bài tập 45: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++ + = + + + 01123 23 2 0123 23 122 23 1 2 2 2 22 2 y xx y xx y xx Bài tập 46: Giải hệ phơng trình: = =+ 222 1 yx yx Bài tập 47: Chứng minh rằng với m hệ sau luôn có nghiệm: ( ) +=+ +=++ mmyxxy mxyyx 2 12 Bài tập 48: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) =+ =+ 223 223 xylog yxlog y x Bài tập 49: Cho hệ phơng trình: =+ =+ 32 2 222 ayx ayx Gọi (x, y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy là nhỏ nhất Bài tập 50: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) += = + yxlogyxlog x y y x 33 1 324 Bài tập 51: Cho hệ phơng trình: ( ) ( ) =+ =+ 1 1 2 2 xmyxy ymxxy 1) Giải hệ phơng trình với m = -1. 2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Bài tập 52: Tìm m để hệ sau có nghiệm: =+ =+ 445 1 xy)yx( mxyyx Bài tập 53: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ +=++ 142241 312 4 2 44 44 22 4 y x logxyylogxylog yxlogxlogyxlog Bài tập 54: Cho hệ phơng trình: =+ =+ 0 0 22 aayx xyx 1) Giải hệ phơng trình khi a = 1. 2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 3) Gọi (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 1 2 12 2 12 + yyxx Bài tập 55: Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ = 111 239 22 3 2 2 yx xy log xylog Bài tập 56: Cho hệ phơng trình: =+ =+ 1 1 22 2 yxtg xsinyaax .