Đang tải... (xem toàn văn)
HiÖn t¹i tuæi anh gÊp ®«i tuæi em lóc anh b»ng tuæi em hiÖn nay... Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái cÊp tØnh
Môn thi: TOáN
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Chứng minh:
3 2 -1 = -
3 +
3
Bài 2: (2 điểm)
Cho 4a2+ b2 = ab (2a > b > 0)
TÝnh sè trÞ biĨu thøc: M = 2 2
4b b
ab
Bµi 3: (2 ®iĨm)
Chøng minh: nÕu a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = và
c,d nghiệm phơng trình: x2 + qx + = th× ta cã:
(a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2
Bµi 4: (2 điểm)
Giải toán cách lập phơng trình
Tui anh v em cng li 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi anh, em
Bài 5: (2 điểm)
Giải phơng tr×nh: x4 +
2006
x = 2006
Bài 6: (2 điểm)
Trong hệ trục toạ độ vng góc, cho parapol (P): y =
-4
x
đ-ờng thẳng (d): y = mx 2m – 1 VÏ (P)
2 T×m m cho (d) tiÕp xóc víi (P)
(2)Bài 7: (2 điểm). Cho biểu thức A = x – xy + 3y - 2 x+ 1
Tìm giá trị nhỏ mà A cú th t c
Bài 8: (4 điểm).
Cho hai đờng trịn (O) (O’) ngồi Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF, A,E (O); B, F (O’)
a Gọi M giao điểm AB EF Chøng minh:
∆ AOM ∾∆ BMO’ b Chøng minh: AE BF
c Gäi N lµ giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O thẳng hàng
Bài 9: (2 điểm).
Dng hỡnh ch nhật biết hiệu hai kích thớc d góc nhọn đờng chéo
đáp án biu chm
Môn thi: TOáN
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
(3)3 2 -1 = 3
- +3
9(3 2 - = 1-3 2 + 4 (0,5 ®iĨm)
9(a-1) = (1 –a + +a2)3
Biến đổi tơng đơng đợc a3 = (đúng) (1 điểm)
Suy điều phải chứng minh (0,5 điểm)
Bài 2: (2 ®iĨm)
+ Tõ: 4a2 + b2 = 5ab => 16a4 – 8a2b2 + b4 = 9a2b2 (*) (0,5 ®iÓm)
+ Tõ: M = 2 2
4a b
ab
kết hợp (*) suy đợc: M
2 =
(0,5 ®iÓm) + Tõ: M = 2 2
4a b
ab
kÕt hỵp (2a > b > 0) suy ra: M > (0,5 ®iĨm)
Tính đợc: M =
3
(0,5 điểm)
Bài 3: (2 điểm)
Theo hệ thøc Viet ta cã:
(I) 1 . 1 d c q d c ab p b a (0,5 ®iĨm)
(a – c)(b c)(a+d)(b+d) (*)
Kết hợp (I) (*) suy ra: (a –c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 p2 (1,5
điểm)
Bài 4: (2 điểm)
Gọi tuổi em (0 < x < 21) (0,25 điểm)
Thì tuổi anh 21 x
Thời ®iĨm anh b»ng ti em hiƯn th× ti anh lµ x, ti em lµ
2
(21 - x) (0,75 điểm)
Ta có phơng trình x -
2
(21 - x) = 21 - x – x
(4)Tính đợc: Tui anh: 21 = 12
Đáp số: 12 tuổi9 tuổi (0,25 điểm)
Bài 5: (2 ®iĨm)
x4 +
2006
x = 2006
x4 = 2006 -
2006 2 x
x4 + x2 +
= x2 + 2006 -
2006
x +
4
)2
(x = ( x2 2006 -
2
)2
x2 +
= 2006 21
x (0,5
®iĨm)
* x2 +
> nªn: x2 +
= x22006 -
2
(0,25 điểm) * Biến đổi tơng đơng đợc: x4 + x2 2005 = (1)
Đặt x2 = y ( y 0) (1) y2 + y – 2005 = (2) (0,5 ®iĨm)
Giải (2) đợc: y1 =
2 8021 1
: y
2 =
2 8021 1
(loại) (0,25 điểm)
Suy ra: x1 =
2 8021 1
x2 =
2 8021 1
(5)Bài 6: (2 điểm) a Vẽ đồ thị
b Khi (d) tiÕp xóc víi (P) ta cã phơng trình: -
4
x = mx – 2m –
x2 + 4mx – 8m – =
vµ '
=
Tính đợc m = -1 Suy ra: m = - (d) tiếp xúc (P) (0,75 điểm) c Giả xử (d) qua điểm cố định A (x0, y0) thuộc (P) thì:
y0 = mx0 – 2m –1 với m
Tính đợc: xY00 = = -1 Vậy (d) ln qua điểm A(2; -1) thuộc (P) điểm) (0,75
Bài 7: (2 điểm)
iu kiện: x 0; y để x; y ; xy Có nghĩa (0,25
®iĨm)
A = x - xy + 3y – 2 x + Biến đổi đồng đợc:
A = ( x - y - 1)2 +
( 2 y - 1)2 -
(0,75 ®iÓm)
Suy đợc: A = -
2
x =
4
9 (thoả mÃn đ/k) y =
4
1 (thoả mÃn đk) (1điểm)
(6)Bài 8: (4 ®iĨm)
Vẽ hình đúng, ghi GT, KL sạch, đẹp (0,5
®iĨm)
a Chỉ đợc AOM ∾ BMO (g.g)’ (0,5 điểm) b Chỉ đợc BF O’M
=> BF OM
(0,5 OM O’M
Chỉ đợc AE BF OM OM => AE BF
Điều phải chứng minh (0,5 điểm) c, Gọi H giao điểm AE OM
K giao điểm BN MO
áp dụng hệ thức lợng cho hai tam giác vuông AOM BMO Ta có: OA2 = OH OM
MB2 = MK
MO’
=>
2
MB OA =
MK OH
' MO OM
(0,5 điểm) Kết hợp: AOM ∾ BMO’(chứng minh câu a) suy đợc:
MK OH
= ' MO OM
=>
OM OH
= ' MO
MK =>
OM OH
= ' MO
HN
(Do chứng minh đợc: MK = HN)
Chỉ đợc: OHN ∾ OMO’ (c.g.c) (1,0 điểm)
Tính đợc: ONH + HNE +FNO’= 1800
Suy ra: O, N, O thẳng hàng (0,5
điểm)
(7)Giả sử hình chữ nhật ABCD dựng đợc thoả mãn yêu cầu toán:
AB – AD = d gãc nhän AOD =
+ Thể đợc hình vẽ 1 Cách dựng:
- Dùng EDB cã EB = d, BED
- Dùng tia BE
- LÊy O lµ trung ®iĨm cđa BD, dùng DOx = tia BE cắt Ox điểm A ( Ox điểm E n»m vỊ phÝa so víi bê BD)
- Dựng điểm C đối xứng với A qua O
Nối AD, DC, BC đợc hình chữ nhật ABCD (1 điểm) 2 Chứng minh:
Chỉ đợc ABCD hình chữ nhật Chỉ đợc: AB - AD = d
DOA =
Kết luận: ABCD hình chữ nhật cần dựng (0,5 ®iĨm)
D
B d
E A
O
(0,5 ®iĨm)
x
= 1350; EBD =