Đang tải... (xem toàn văn)
Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009 ♥♦♥❡✶Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn1 ụ ụở t tứ ế ệ t t ỉ ột số ế tứ ổ trợ Pế ồ ử tụ ớ tử ệ t t ỉ ệ ề t t ỉ í ụ ề t t ỉ t tứ ế Pt ể t í ụ ự tồ t ệ tí t ủ t ệ ệ ệ ỉ ủ t tứ ế ệ ệ ệ ỉ t ệ ỉ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn2 ✷✳✶✳✷✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽✷✳✶✳✸✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶✷✳✷✳ ❳✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹✷✳✷✳✶✳ ❳✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼✷✳✸✳ ❑Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ t❤ö ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵❑Õt ❧✉❐♥ ✹✸❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✹✸Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn3 ở X ột tự X ợ ủ X ó ề ợ í ệ . A : X X ttử ệ trị K ột t ồ ó tr X ớ f X tì x0 K s A(x0) f, x x0 0 x K, ở x, x í ệ trị ế tế tí tụ x Xtx X t ợ ọ t t tứ ế rtqt ế K X tì t ó trì t tửA(x) = f. t tứ ế ệ ớ t s r từ ề ề ủ t ọ ứ ụ trì t t ýt tố r ề ề tự tế t t tị ì tế ề ó tể tợ ớ ủ ột t tứ ế ệ t tế t tứ ế ệ ó t t ỉ tí ổ ị ủ t t ỉ ệ sốủ ó ó ý ột s số ỏ tr ữ ệ ủ tó tể ế ột s số t ỳ tr ờ ì tế s ề tì ổ ị t t ỉ s s số ủ ữ ệ ỏ tì ệ ỉ tì ợ ớ ệ ú ủ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn4 r ệ ỉ ổ tế ể từ ó ý tết t t ỉ ợ t trể ết sứ sộ ó t ở ết t tự tếụ í ủ ề t ứ ột ổ ị t tứ ế ệ tr sở ự ệ ệỉ ữ ề t tứ ế ứ sự ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ớ t tử ợ ệ tr tự ự tr ệ ọ t sốệ ỉ t ệộ ủ ợ trì tr trì ột số ế tứ t ề t tử ệ t t ỉ t tứ ế r sẽ trì ệ ỉ t tứ ế ệ ết q í ủ tố ộ ộ tụ ủ ệ ỉ ớ t số ệ ỉ ợ ọt ệ ồ tờ ự ệ ệ ỉ ữ ề tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ở ố ủ ếtq số ó tí t ứ trìtự ệ ợ ết ữ ết q ề sự ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ữ ề ủ t tứ ế ợ t tr í ọ ệ ọ số ố tỏ ò ết s s tớ ế sĩ ễị ỷ rt t tì ớ ỉ tr sốt tờ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn5 tự ệ ó trự tế ớ t ó ử ờ t tớ s tế sĩ ở ệ ọ ệ ệ t t tộ ệ ọ ệ ệt t tr rờ ọ ọ ó ó r ết ò trề t ềế tứ ọ tr sốt tờ ọ t t rờố ù t ử ờ tớ ữ ờ t ữ ờ ủ t ộ ổ ũ t rt ề tr sốt tờ ừ q ề ệ tờ trì ộ ó ó tr ỏ ữ tế sót rt ợ ữ ý ế ó óqý ủ qý t t tể t ị ỷS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn6 ột số ý ệ ữ ết ttH rt tựX tựX ợ ủ XRn n ề t rỗx := y x ợ ị ĩ yx ớ ọ xx tồ t xinfxXF (x) ủ t {F (x) : x X}I ịAT tr ể ị ủ tr Aa b a t ớ bAt tử ợ ủ t tử AD(A) ề ị ủ t tử AR(A) ề trị ủ t tử Axk x {xk} ộ tụ tớ xxk x {xk} ộ tụ ế tớ xS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn7 t tứ ế ệ t t ỉ ột số ế tứ ổ trợr ụ ú t trì ột số ế tứ ủ tí tí tế ó q ế ộ ứủ ề t ế tứ ợ t tr t ệ ị ĩ ột ị ủí ụ Lp[a, b], 1 p < ớ tử x(t) ị p tí tr [a, b] s ba|x(t)|pdt < ột ớ x =ba|x(t)|pdt1/p. X tự X ợ ủ X ợ ủ Xợ ọ ợ tứ ủ X í ệ X tứ X L X, RS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn8 [...]... chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1 Nghiệm hiệu chỉnh 2.1.1 Bài toán hiệu chỉnh Cho X là không gian Banach phản xạ thực có tính chất X là các không gian lồi chặt, K E S, X là một tập con lồi đóng yếu của và X Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân đã được đề cập ở Chương 1: tìm x0 K sao cho A(x0 ) f, x x0 0 x K, ở đây f A : D(A) X X là một toán tử đơn điệu, là phần tử cho trước... rồi cho t 1 ta nhận được U s (x1 x ), x x1 0, x S0 , nghĩa là U s (x1 x ), x x U s (x1 x ), x1 x = x1 x s Từ đây suy ra x1 x x x là một tập lồi đóng và X , x S0 Vì tập nghiệm S0 là không gian Banach lồi chặt nên từ (2.8) suy ra dãy nghiệm của (2.1) x1 = x0 Cũng {x } hội tụ mạnh đến x0 2 2.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Trước khi đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, ... tục, đơn điệu mạnh làm thành phần là ánh xạ đối ngẫu tổng quát Us của (xem [4]) Bằng phương pháp này, Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho bài toán (2.1) dựa trên việc giải bất đẳng thức biến phân: tìm x K sao cho Ah (x ) + U s (x x ) f , x x 0 x K, ở đây x là phần tử trong của nghiệm, X (2.4) đóng vai trò như là tiêu chuẩn cho sự lựa chọn = (h, ) 2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. .. không chỉnh (2.1) ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định Một trong các phương pháp được sử dụng rộng rãi và rất hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X X có tính chất h-liên hiệu chỉnh Một dạng của toán tử X M tục,... chất của tập nghiệm Giả sử A là một toán tử đơn điệu một con lồi đóng của X thỏa mãn Định lý 1.3.1 có ít nhất một nghiệm với mọi Phần tử x 0 S0 intK = của bài toán Bổ đề 1.3.2 S0 = tục và bức, K là Khi đó, bất đẳng thức (1.5) f X có chuẩn nhỏ nhất được gọi là nghiệm chuẩn tắc của bài toán (1.5) Tính chất của tập nghiệm đúng S h-liên S0 và tập nghiệm chuẩn tắc (1.5) được cho bởi bổ đề sau Tập nghiệm. .. x (2.8) + U s (x0 x ), x0 x Bất đẳng thức (2.8) chứng tỏ dãy {x } giới nội Vì X phản xạ, cho nên tồn tại một dãy con của là không gian Banach {x } hội tụ yếu đến một phần tử x1 nào đó của X Không giảm tổng quát, ta giả thiết rằng x x1 , khi h+ , 0 Trong bất đẳng thức (2.4) cho h, , 0, sử dụng tính đơn s điệu, h-liên tục của Ah , U và tính hội tụ yếu của dãy {x } ta được A(x) f, x x1... gọi là hội tụ yếu đến phần tử X được xn x0 0 Dãy x0 nếu với mọi f X f (xn ) f (x0 ) , khi n Ta sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ sự hội tụ mạnh và để chỉ sự hội tụ yếu Với định nghĩa như trên ta có (xem [2]): 1) Từ sự hội tụ mạnh của dãy {xn } suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó 2) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất 3) Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội 4) Nếu X là không gian phản xạ thì xn hội tụ trong... 1.3 Bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ Cho của X X là không gian Banach phản xạ thực, X, A : X X là một toán tử đơn trị và X K là không gian liên hợp là tập con lồi đóng của Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: với hãy tìm x0 K sao cho A(x0 ) f, x x0 0, Ví dụ 1.3.1 x0 J f X , Cho f (x) x K là một hàm thực khả vi trên J = [a, b] (1.5) Hãy tìm sao cho. .. ) 2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bài toán (2.1) được chứng minh trong định lý sau (xem [3]) 28 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn28 > 0, h > 0 và f X , bất đẳng thức biến phân h+ hiệu chỉnh (2.4) có duy nhất nghiệm x Ngoài ra, nếu , 0 thì {x } hội tụ đến phần tử x0 S0 có x -chuẩn nhỏ nhất... X Nếu toán tử điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì bài toán (2.1) A (2.1) h-liên tục và bị chặn, không có tính chất đơn nói chung là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (A, f ) Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (2.1) là S0 với giả thiết S0 = và S0 K Khi đó S0 Thay cho các giá trị đúng và giá trị của các đại lượng là tập đóng và lồi trong (A, . LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN. HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng