Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẶNG VĂN HIẾU SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHAN HUY KHẢI Thái Nguyên, năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 1.1 – Bất đẳng thức Côsi 1.2 – Sử dụng bất đẳng thức Côsi 1.3 – Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 14 1.4 – Thêm bớt số sử dụng bất đẳng thức Côsi 23 1.5 – Thêm bớt biến số sử dụng bất đẳng thức Cơsi 27 1.6 – Nhóm số hạng sử dụng bất đẳng thức Côsi 33 Chương – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 42 2.1 – Bất đẳng thức Bunhiacopski 42 2.2 – Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng 55 Chương – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức với dãy đơn điệu 59 3.1 – Bất đẳng thức với dãy đơn điệu 59 3.2 – Một số ví dụ minh hoạ 60 Chương – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsép 67 4.1 – Bất đẳng thức Trêbưsép 67 4.2 – Một số ví dụ minh hoạ 68 Chương – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Jensen 81 5.1 – Định nghĩa hàm lồi 81 5.2 – Điều kiện đủ tính lồi hàm số 82 5.3 – Bất đẳng thức Jensen 82 5.4 – Một số ví dụ minh hoạ 84 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 98 http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt q trình học tập trường Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức chuyên mục có tính hấp dẫn giáo trình giảng dạy học tập mơn tốn nhà trường phổ thơng Nó đề tài thường xun có mặt đề thi toán kỳ thi tuyển sinh quốc gia, kỳ thi Olympic toán cấp Luận văn dành để trình bày nhánh lý thuyết bất đẳng thức – Các bất đẳng thức thơng dụng Ngồi phần mở đầu danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm có chương: Chương với tiêu đề “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi” dành để trình bày bất đẳng thức Cơsi Bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức quan trọng có nhiều ứng dụng chứng minh bất đẳng thức Trong chương chúng tơi dành để trình bày phương pháp để sử dụng có hiệu bất đẳng thức Côsi Chương “Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski” trình bày ứng dụng bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Một phương pháp hay sử dụng có tính hiệu để chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức với dãy đơn điệu Các kết trình bày chương Chương dành để trình bày lớp bất đẳng thức đơn điệu đặc biệt (đó bất đẳng thức Trêbưsép) Sau hết chương trình bày áp dụng lý thú kết giải tích lồi để chứng minh bất đẳng thức – sử dụng tính lồi hàm số để chứng minh bất đẳng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1.1.1 Định lý Với n số không âm: a1 , a2 , , an ( n ³ ) ta có: a1 + a2 + + an n ³ a1 a2 an n Đẳng thức xảy Û a1 = a2 = = an Chứng minh · Hiển nhiên bất đẳng thức với n = · Giả sử bất đẳng thức cho n số khơng âm bất đẳng thức với 2n số không âm Ta có: a1 + a2 + + a2 n ³ 2n ( n ) a1.a2 an + n an +1.an +2 a2n ³ n a1.a2 a2 n , nên bất đẳng thức n luỹ thừa · Giả sử bất đẳng thức với n số không âm, ta chứng minh bất đẳng thức với n - số không âm Thật vậy, đặt A = a1 + a2 + + an-1 ; an = Ta có: A + A n -1 A a a a A ³ n n n-1 Þ A ³ (n -1).n-1 a1.a2 an-1 n -1 n -1 Kết hợp ba điều suy bất đẳng thức Côsi với n nguyên dương (n ³ 2) Þ đpcm 1.1.2 Hệ Với n số dương: a1 , a2 , , an (n ³ 2) ta ln có: ỉ1 (a1 + a2 + + an )ỗỗỗ + ỗố a1 1ư + + ÷÷÷ ³ n a2 an ÷ø Đẳng thức xảy Û a1 = a2 = = an Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: a1 + a2 + + an ³ n n a1.a2 an > , 1 1 1 + + + ³ n n > a1 a2 an a1 a2 an (1) (2) Nhân vế (1),(2) suy điều phải chứng minh Nhận xét: · Bất đẳng thức Côsi áp dụng cho số không âm · Bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức quan trọng nhất, quen thuộc nhất, có tầm ứng dụng rộng rãi mơn tốn học sơ cấp Đặc biệt dùng để chứng minh bất đẳng thức Sự thành công việc áp dụng bất đẳng thức Cơsi để chứng minh tốn bất đẳng thức hoàn toàn phụ thuộc vào linh hoạt người sử dụng kỹ thuật cách chọn số a1 , a2 , , an Sau số phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức 1.2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CƠ BẢN 1.2.1 Nội dung phương pháp Qui ước: Gọi hệ bất đẳng thức Côsi “Bất đẳng thức Côsi bản” Sử dụng hệ để chứng minh bất đẳng thức gọi phương pháp “Sử dụng bất đẳng thức Côsi bản” Từ “Bất đẳng thức côsi bản” tổng quát, ta có hai trường hợp riêng sau: · Với a, b > , ta có: (a + b) ( 1 1 + ) ³ hay: + ³ a b a b a+b Đẳng thức xảy Û a = b ỉ1 1ư 1 · Với a, b, c > , ta có: (a + b + c )ỗỗ + + ữữữ hay: + + ỗố a b c ứ a b c a+b+c Đẳng thức xảy Û a = b = c 1.2.2 Một số thí dụ minh hoạ Thí dụ 1.1 (Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng khối A – 2005) Cho x, y , z > thoả mãn: 1 + + = Chứng minh: x y z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1 + + £1 x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi hai lần liên tiếp, ta có: 1ỉ 1 ÷ư éê 1 ỉ 1 ửự 1ổ1 1ử Ê ỗỗ + ữữ Ê + ỗỗ + ữữữỳỳ ị Ê ỗỗ + + ÷÷÷ (1) x + y + z çè x y + z ÷ø ë x ỗố y z ữứỷ x + y + z ỗố x y z ữứ ïì2x = y + z Û x= y= z ïïỵ y = z Đẳng thức (1) xảy Û ïí Hồn tồn tương tự, ta có: 1ỉ 1 1ử Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z ốỗ x y z ữứ (2) 1ổ 1 1ử Ê ỗỗ + + ÷÷÷ x + y + z ỗố x y z ứữ (3) Cng vế (1),(2),(3) ta được: 1 1 æ1 1ử + + Ê ỗỗ + + ữữữ = Þ đpcm x + y + z x + y + z x + y + z ỗố x y z ữứ ng thức xảy Û đồng thời đẳng thức (1),(2),(3) xảy Û x = y = z = Nhận xét: Ta có bất đẳng thức Cơsi sau: Với a, b, c, d > thì: æ1 èa 1ö dø (a + b + c + d )ỗỗỗ + + + ữữữ 16 ị b c 1 ỉ1 1 1ư £ çç + + + ÷÷÷ a + b + c + d 16 ỗố a b c d ứ Áp dụng vào thí dụ trên, ta có: 1 ỉ1 1 1ư 1 ỉ 1ử = Ê ỗỗ + + + ữữữ ị Ê çç + + ÷÷÷ x + y + z x + x + y + z 16 ỗố x x y z ø÷ x + y + z 16 ỗố x y z ứữ Tng t suy ra: ị 1 ổ 1ử Ê ỗỗ + + ÷÷÷ x + y + z 16 çè x y z ÷ø 1 ỉ 1 2ử Ê ỗỗ + + ữữữ x + y + z 16 ỗố x y z ữứ 1 1 ỉ1 1ư + + £ ỗỗ + + ữữữ = ị pcm x + y + z x + y + z x + y + z ỗố x y z ÷ø Đẳng thức xảy Û x = y = z = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Thí dụ 1.2 (Bất đẳng thức Nesbit biến) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c + + ³ b+c c +a a+b (1) Bài giải æ Dễ thấy (1) Û ççç1 + è a ÷ư çỉ b ÷ư çỉ c ữử ữữ + ỗỗ1 + ữữ + ỗỗ1 + ÷³ b + cø è c + aø è a + b ÷ø ỉ 1 ư÷ Û ( a + b + c )ỗỗ + + ỗố b + c c + a a + b ÷÷ø é 1 ù ú ³ Û éë( a + b) + (b + c) + (c + a )ùû ê + + êë a + b b + c c + a úû (2) Theo bất đẳng thức Cơsi (2) Þ đpcm Đẳng thức xảy Û a = b = c > Nhận xét : · Bất đẳng thức Nesbit bất đẳng thức thông dụng, thường dùng làm bất đẳng thức trung gian để chứng minh bất đẳng thức khác, nhằm rút gọn phép chứng minh bất đẳng thức · Xin đưa thí dụ hình học lý thú minh hoạ cho bất đẳng thức Nesbit sau: Cho DABC Vẽ ba phân giác AA',BB',CC' Gọi ka , kb , kc tương ứng khoảng cách từ A ', B ', C ' đến AB, BC , CA Gọi , hb , hc tương ứng ba chiều cao hạ từ A, B, C Chứng minh: k a kb kc + + ³ hb hc Bài giải Ta có: SDABC = SDABA ' + SDAA ' C (Hình 1.1) Þ 1 aha = cka + bka 2 Þ aha = ka (b + c) Þ ka a = b+c Hồn tồn tương tự, ta có: kb b = hb c+a (Hình 1.1) ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên kc c = hc a+b http://www.Lrc-tnu.edu.vn Từ suy ra: k a kb kc a b c + + ³ Û + + ³ b+c c +a a+b hb hc (*) Theo thí dụ 1.2 Þ (*) Þ đpcm Đẳng thức xảy Û DABC Thí dụ 1.3 Cho x, y , z > x + y + z = Chứng minh: x y z + + £ x +1 y +1 z +1 Bài giải Có: ỉ x y z 1 1 ư÷ + + = 1+ 1+ 1= - ỗỗ + + ữ x +1 y + z +1 x +1 y +1 z +1 ốỗ x + y + z + 1÷÷ø Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: 1 9 + + ³ = , x +1 y + z +1 x +1+ y +1+ z + Vậy: (do: x + y + z = ) x y z + + £ - = Þ đpcm 4 x +1 y + z +1 ìï x + = y + = z + 1 Û x= y= z= ïïỵ x + y + z = Đẳng thức xảy Û ïí Nhận xét: · Xin đưa minh hoạ lượng giác cho thí dụ trên: Chứng minh DABC , ta ln có: A B B C C A sin sin sin sin sin 2 + 2 + 2 £ A- B B-C C-A cos cos cos 2 sin (1) Thật vậy, ta có (1) tương đương với: A B B C C A sin sin sin sin sin 2 2 2 + + £ A B A B B C B C C A C A cos cos + sin sin cos cos + sin sin cos cos + sin sin 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tan tan tan tan tan tan 2 2 2 £3 (2) Û + + A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan + 2 2 2 sin A Đặt a = tan tan B B C ; b = tan tan 2 ; c = tan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên C A tan , (a, b, c > 0) 2 http://www.Lrc-tnu.edu.vn A Dễ thấy: a + b + c = tan tan Khi (2) trở thành: B B C C A + tan tan + tan tan = 2 2 a b c + + £ a +1 b + c + (3) (4) Theo thí dụ 1.3 từ (3),(4) Þ (1) Þ đpcm Đẳng thức xảy Û a = b = c Û A = B = C Û DABC · Theo cách giải trên, ta chứng minh dạng tổng quát thí dụ 1.3 sau: Cho x1 , x2 , , xn > thoả mãn: x1 + x2 + + xn = Chứng minh: x x1 x n + + + n £ x1 +1 x2 + xn + n + Thí dụ 1.4 Cho x, y , z > Chứng minh rằng: M= x y z + + £ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài giải Có M = - x+ y+z x+ y+z x+ y+z + 1+ 12x + y + z x + 2y + z x + y + 2z ỉ ư÷ 1 = - ( x + y + z )ỗỗ + + ữ= ỗố x + y + z x + y + z x + y + z ÷÷ø é ù 1 1 ú = - éë( x + y + z ) + ( x + y + z ) + ( x + y + z )ùû ê + + êë x + y + z x + y + z x + y + z úû Theo bất đẳng thức Côsi bản, ta có: é ù 1 é(2 x + y + z ) + ( x + y + z ) + ( x + y + z )ù ê ú + + ë û ê x + y + z x + y + z x + y + 2z ú ³ ë û Vậy M £ - = Þ đpcm Đẳng thức xảy Û x = y = z Thí dụ 1.5 Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh: 1 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi 1.1 – Bất đẳng thức Côsi 1.2 – Sử dụng bất đẳng thức Côsi 1.3 – Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi 14 1.4 – Thêm bớt số sử dụng bất đẳng thức Côsi 23... biến số sử dụng bất đẳng thức Cơsi 27 1.6 – Nhóm số hạng sử dụng bất đẳng thức Côsi 33 Chương – Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 42 2.1 – Bất đẳng thức Bunhiacopski 42 2.2 – Bất đẳng. .. Sau số phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức 1.2 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CƠ BẢN 1.2.1 Nội dung phương pháp Qui ước: Gọi hệ bất đẳng thức Côsi ? ?Bất đẳng thức
