thi giáo viên giỏi huyện thcs năm học 2006-2007 Môn toán ( Thời gian làm bài 120 phút ) A/ Phần trắc nghiệm khách quan: Hãy chọn nội dung đúng (A, B, C, D) trong các câu sau: Câu 1. Nhận xét về số nguyên tố: A. Một số nguyên tố lớn hơn 3 bao giờ cũng biểu diễn đợc dới dạng 3n 1 (n N) B. Một số nguyên tố bao giờ cũng biểu diễn đợc dới dạng 2n 1 (n N) C. Tích của hai số nguyên tố không thể là một số chính phơng. D. Tích của tổng và hiệu hai số nguyên tố là một số dơng. Câu 2. Trong các bảng sau đây bảng nào y không phải là hàm số của x. x 6 5 4 3 x 3 5 7 5 y 0 0 0 0 y 8 4 2 0 x -3 5 8 9 x 7 5 3 4 y 4 3 8 4 y 6 7 4 5 Câu 3. Giá trị của biểu thức: 83 83 83 83 + + + bằng: A. 1; B. 3; C. 8 ; D. 6 Câu 4. Trong hình bên, biết: AB//NM//PQ//EF//CD//HK. Số cặp tam giác đồng dạng là: A. 21; B. 18; C. 15; D. 12 Câu 5. Theo định lý của căn bậc hai ta có: A. 222222 )7x()8x()7x()8x()7x()8x( ++=++=++ ; B. 7x)7x( 2 = C. 8x)8x( 2 +=+ ; D. 78)78( 2 = Câu 6. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng. A. Phơng trình 5x = 7 tơng đơng với phơng trình 5x + 0y = 7. B. Hai hệ phơng trình =+ = 5y3x2 5y5x2 và = =+ 0y8 5y3x2 tơng đơng với nhau. C. Phân thức 5x3 2 nguyên khi và chỉ khi x = 1 và x = 2. D. Điều kiện để yx yx yx yx + + + có nghĩa là 0,0 yx Câu 7. Hai hình cầu A và B có bán kính tơng ứng là x và 2x (cm). Tỷ số các thể tích hai hình cầu là: A. 1 : 2; B. 1 : 4; C. 1: 8; D. Không xác định đợc. Câu 8. Tam giác MNP nội tiếp đờng tròn tâm O và ngoaị tiếp đờng tròn tâm O / . Tia MO / cắt đờng tròn tâm O tại Q. Ta có: A. NQ = O / Q = PQ; B. NQ = PQ = OQ; C. MO / = NO / = O / Q; D. NQ = NO / = P Q A. B. C. D. A B N Q F D M P E C K H B/ Phần tự luận Câu 1. Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(72) ra phân số: Câu 2. Xét xem lời giải bài toán sau đây đã đúng cha? Nếu sai thì sai ở chổ nào? Và giải lại cho đúng. Bài toán: Tìm a để phơng trình có nghiệm: 4a2x3x +=+++ Lời giải: x ta có: +++ + + 02x3x 02x 03x phơng trình trên có nghiệm khi và chỉ khi a + 4 0 <=> a - 4 Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 1xx x 2 ++ Câu 4. Giải phơng trình: )2x(31x10 23 +=+ Câu 5. Từ điểm P ngoài đờng tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến PA và PB (A, B (O)). Vẽ cát tuyến PMN đi qua O, trên nửa mặt phẳng bờ MN không chứa A vẽ cát tuyến PCD (C, D (O)). AB cắt MN tại H, cắt CD tại K. a) Chứng minh tứ giác OHCD nội tiếp đờng tròn. b) Vẽ đờng kính IOQ vuông góc với CD tại E (E nằm giữa OQ), IP cắt (O) tại F. Chứng minh Q, K, F thẳng hàng Phòng giáo dục đức thọ Kỳ thi chọn giáo viên giỏi huyện năm học 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: a. Cho S = 2009 + 2009 2 + 2009 3 + .+ 2009 2010 Chứng minh rằng S chia hết cho 4038090 b. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: x 3 + y 3 = 2010 c. Cho a > b > 0.Tìm giác trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a + 2 )1)(( 4 + bba Bài 2: Cho phơng trình mx 2 2 ( m + 1)x + m + 3 = 0 a. Giải và biện luận b. Tìm m để phơng trình đã cho có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu ? Bài 3: Cho tam giác ABC. TRên cạnh AB và AC lần lợt các điểm D và E sao cho BD = CE.Gọi M, N là trung điểm của BC và DE.Đờng thẳng qua MN lần lợt cắt AB và AC tại P và Q.Chứng minh: AP = AQ Bài 4: Cho đờng tròn (O 1 ;R 1 ) và đờng tròn (O 2 ;R 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại D.Từ một điểm A thuộc đờng tròn (O 1 ;R 1 ) kẻ tiếp tuyến với (O 1 ;R 1 ) cắt đờng tròn (O 2 ;R 2 ) tại B và C. Chứng minh rằng: A cách đều các đờng thẳng BD và CD Phòng DG-Đt Can Lộc đáp án+ Biểu điểm Bài 1 ( 9 điểm) a (3đ) Ta có S = 2009 + 2009 2 + 2009 3 + .+ 2009 2010 S = 2009 ( 1 + 2009 + 2009 2 + 2009 3 + .+ 2009 2009 ) Suy ra S chia hết cho 2009 Mặt khác S = 2009 ( 1 + 2009) + 2009 3 ( 1 + 2009) + + 2009 2009 ( 1 + 2009) S = 2010 ( 2009 + 2009 3 + 2009 5 + + 2009 2009 ) Suy ra S chia hết cho 2010 Vì ( 2009; 2010) = 1 suy ra S chia hết cho 2009.2010 Hay S chia hết cho 4038090 b)(3 điểm): Ta có: ( x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy(x+y)= 2010 + 3xy(x+y) M 3 1.0đ Suy ra: ( x + y) 3 M 3 ( ) ( ) 3 3 27x y x y + + M M 0.5đ Ta có: 3xy(x+y) M 9 ( ) 3 2010 3 ( ) 9x y xy x y = + + M 0.5đ vô lý vì 2010 không chia hết cho 9 . 0.5đ Vậy không có cặp số nguyên x; y thoả mãn bài toán 0.5đ c)(3,0 điểm): Ta có: 2 1 2 1 )(1)1()1()(2)1(2 + + + +=+++++=+ bb baabbbaa 0.5đ Nên: )1)(1)(( 4 2 1 2 1 )( )1)(1)(( 4 11 ++ + + + + += ++ ++=+ bbba bb ba bbba aP 0.5đ 34 )1)(1)(.(4 4 ).1)(1).((.4 4 = ++ ++ P bbba bbba 1.0đ Dấu bằng xẩy ra khi = = ++ = + = 1 2 )1)(1)(( 4 2 1 b a bbba b ba 0.5đ Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a = 2; b = 1 0.5đ Bài 2: (4đ) a.(2đ) Giải và biện luận - Nếu m = 0 thì phơng trình đã cho trở thành -2x + 3 = 0 x = 2 3 - Nếu m 0 thì ' = ( m +m1) 2 m( m + 3) = -m + 1 - Nếu ' < 0 m > 1 pt vô nghiệm - Nếu ' = 0 m = 1 thì phơng trình có nghiệm kép x = 2 - Nếu ' > 0 m < 1 pt có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = m mm + 11 Vậy : + m > 1 pt ( 1) vô nghiệm + m = 0 phơng trình (1) có nghiệm x = 2 3 + m = 1 thì phơng trình (1) nghiệm kép x = 2 + m < 1 pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = m mm + 11 b. Yêu cầu bài toán thoã mãn = < 0 0 0 S P a = + < + 0 )1(2 0 3 0 m m m m m = << 1 03 0 m m m 1 = m Bài 3: Vẽ hình đúng cho 0,5đ Gọi O là trung điểm của CD.Ta có: OD = OC và MB = MC OM // AB và OM = 2 1 BD (1) QPAOMN = ( so le trong) OD = OC; ND = NE ON // AC; ON = 2 1 EC (2) MQCONM = ( đồng vị) Vì EC = BD (gt) nên từ (1) và (2) ta có: OM = ON OMN cân QPAMQCONMOMN === (3) Mà AQPMQC = ( đối đỉnh) (4) Từ (3) và (4) suy ra QPAAQP = APQ cân tại A AP = AQ Bài 4: (3 điểm) Giả sử tiếp tuyến chung của hai đờng tròn tại D cắt AB tại F; CD cắt (O 1 ; R 1 ) tại E ta có: BCD BDF = ) (cùng chắn cung BD) Mặt khác: FA = FD FDA FAD = BDA BDF FDA BDF BAD BCD FDA ADE = + = + = + = Suy ra DA là phân giác của góc BDE; suy ra A cách đều hai đờng thẳng BD và CD D B O O C A F E Kỳ thi giáo viên giỏi huyện năm học 2007-2008 Đề thi môn Toán . Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao nhận đề). Bài 1: a) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên lẽ thì phơng trình x 2 + ax +b = 0 không có nghiệm nguyên. b) Cho 2010 1 3 1 2 1 1 ++++= b a với a, b nguyên dơng. Chứng minh 2011Ma Bài 2: a) Giải phơng trình: ( )( )( )( ) 0157531 =+++++ xxxx . b) Cho x, y thỏa mãn điều kiện: 1 22 =+ yx . Chứng minh rằng: 5435 + yx Bài 3: Trong các tam giác có một góc bằng và tổng của hai cạnh kề góc đó bằng m. Tìm tam giác có chu vi bé nhất ? Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C bằng 45 0 . Đờng tròn đ- ờng kính AB cắt cạnh AB và AC lần lợt tại M và N. Chứng minh: a) MN vuông góc với OC. b) 2 2AB MN = Phòng GD- ĐT Can Lộc Kỳ thi chọn GVG huyện năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm môn toán Bài 1: (4 điểm) a)(2 điểm): Giả sử phơng trình x 2 + ax +b = 0 với Zba , và a, b lẻ có nghiệm nguyên x 1 , x 2 Theo định lý vi ét ta có: x 1 + x 2 = -a và x 1 . x 2 = b 1,0 đ Điều này không xẩy ra với a, b đều lẻ 0,5 đ Vậy phơng trình không có nghiêm nguyên với a, b đều là số nguyên lẻ. 0,5 đ. b)(2 điểm): 2010 1 3 1 2 1 1 ++++= b a = =+++++= ) 1006 1 1005 1 () 2009 1 2 1 () 2010 1 1( b a !2010 .2011 1006.1005 2011 2009.2 20111 ) 2010 2011 A =+++= 1,0 đ Vì (2011, 2010) = 1 nên khi đa phân số b a về phân số tối giản tử số vẫn còn phần tử 2011 1,0đ Bài 2: (7,0 điểm) a)(4đ): PT ( )( )( )( ) ( )( ) 015158780155371 22 =+++++=+++++ xxxxxxxx (1đ) Đặt yxx =++ 118 2 Ta có phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) = = =+=+=++ 1 1 0110151601544 2 y y yyyyy (1,5đ) Với y=1 ta có: 6401081118 2,1 22 ==++=++ xxxxx (0,5đ) Với y=-1 ta có: 6;201281118 43 22 ===++=++ xxxxxx (0,5đ) Vậy phơng trình có 4 nghiệm: 6;2;64;64 4321 ==+== xxxx (0,5đ) b)(3,0 điểm): Ta có: ( ) ( )( ) 5435254343 2222 2 +=+++ yxyxyx (2,5đ) Dấu bằng xẩy ra khi 5 4 ; 5 3 == yx (0,5đ) Bài 3: (4 điểm) Gọi tam giác ABC có góc A = và AB + AC = m (AB = AC = m/2). Trên cạnh AB và trên tia đối tia CA lần lợt lấy các điểm M và N sao cho BM = CN. Ta có tam giác AMN có góc A = và AM + AN = m. Từ M và N lần lợt kẻ MH và NK vuông góc với BC tại H và K. Ta có: 0 90 <= BCACBA nên H nằm giữa B và C; C nằm giữa H và K. Ta có NKCMHB = (Cạnh huyền góc nhọn), nên BH = CK, do đó HK = BC. Ta lại có HK < MN, do đó BC < MN, nên chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN. Vậy trong các tam giác ABC có góc A bằng và AB + AC = m, tam giác cân đáy BC có chu vi nhỏ nhất . Bài 4: (5đ) a) (2,5đ) Ta có: 0 90 = BOA nên O thuộc đờng tròn đờng kính AB và OA = OB. BMC vuông cân tại M, lại có 0 45 == BAOBMO , OM là phân giác của góc BMC nên OM vuông góc với BC. Chứng minh t- ơng tự NO vuông góc với AC. Nh vậy O là giao điểm các đờng cao của tam giác MCN do đó CO vuông góc với MN. b) (2,5đ) Tứ giác MONB là hình thang cân, MN = OB vì OA 2 + OB 2 = 2 MN 2 = AB 2 do đó 2 2AB MN = A M B H C K C M O N A B Ghi chú: Làm cách khác đúng cho điểm từng phần tơng ứng. . FDA BDF BAD BCD FDA ADE = + = + = + = Suy ra DA là phân giác của góc BDE; suy ra A cách đều hai đờng thẳng BD và CD D B O O C A F E Kỳ thi giáo viên giỏi. N. Chứng minh: a) MN vuông góc với OC. b) 2 2AB MN = Phòng GD- ĐT Can Lộc Kỳ thi chọn GVG huyện năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm môn toán Bài 1: (4 điểm)