Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy. I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác:  ( ) x k k≤ >  [ ]   x kc α α π = ∈       x k π π α α   = ∈ −      x∈ ¡       x π π α α   = ∈ −  ÷   !"# ( )        a x b y c a b c+ = >  # [ ]      c c x y c a b α α α π = = ∈ $%&" x y z xyz+ + =  xy yz zx+ + = '(     x y z α β γ = = = )*      π π α β γ   ∈ −  ÷   +,"-(./01# Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến   x a+ x a α =    π π α   ∈ −  ÷     a x−   x ac x a α α =   =  [ ] a π ∈    π π α   ∈ −       x a−  a x c α = !     π π α π     ∈ ∪ ÷ ÷        x y xy + −   x y xy − +   x y α β =   =      π π α β   ∈ −  ÷   II-Ứng dụng của phương pháp: 1. Chứng minh các hệ thức đại số: Bài toán 1:(Đại học Dược Hà Nội 1995) 2%&3)45 xy yz zx+ + = 678(.# ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   y z z x x y M x y z x y z + + + + + + = + + + + + Giải:9           x y z π α β γ α β γ   = = = ∈  ÷   :;4         π α β β γ γ α α β γ + + = ⇒ + + = : ( ) ( ) ( ) ( )                           y z c x x c c c β γ α α α α α β γ β γ + + + + = = = + + ( )              c c c yz c c c c β γ β γ β γ β γ β γ β γ + − = = = − = − :/<=(.>?@/A# B C B C B C ! B C M yz zx xy xy yz zx= − + − + − = − + + = Bài toán 2:2a, b, c > 045ab+bc+ca=1.2.D#  ( ) ( ) ( )                 bc a ca b ab c abc a b c + + = + + + + + +   Giải:9          a b c π α β γ α β γ   = = = ∈  ÷   :E4#         π α β β γ γ α α β γ + + = ⇒ + + = :# ( ) ( )              c bc a β γ α β γ α = = + + :/<=(.>?@/A) ( ) ( )                        c c c α β γ α α β β γ γ α β γ α β γ = + + = + +     $     c α β γ α β γ = BF'    α β γ π + + = C              c abc a b c α β γ α β γ = = + + + B1C Một số bài tập tự luyện: Bài 1:2%G%&G&H 2.D# C       $x y y z z x x y y z z x            − − + − − + − − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ ÷            C ( ) ( ) ( )       !x y z xyz x y z y z x z x y+ + − = + + + + + Bài 2:2        x y z x y z xyz> + + + = 2.D#  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             xyz x y x y x z z x y+ = − − + − − + − − Bài 3:2    x y z xy yz zx xyz xyz+ + + + + = + ≠ 2.D# ( ) ( ) ( )             $ x y z x y z x y z xyz − − − − − − + + = Bài 4:2       B   C       x y z x y z x y z x y z x y z + + + + + + + + = ≠ − − − − − − 2.#  ( ) ( ) ( ) ( )        BC    x y xy z z x y + − − = + + +  ( ) ( ) ( ) ( )        BC    xy x y z z x y − − + = + + + Bài 5:2%&3)45 x y z xy yz zx xyz+ + + + + = + 2.D  ( ) ( )     % G%     s z y z yz + − + − + = ∑ 2. Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bài toán 1:(Đại học kiến trúc TP.HCM 1993).2. x < )?"-=I?*<' # ( ) ( )    BC n n n x x+ + − < Giải:F' x < I ( )    x c π = ∈  ( ) ( ) BC      n n n c c⇔ + + − < :# ( ) ( )            n n n n t t c c c   + + − = +  ÷   F'           t t c π < < ⇒ < < I              n t t t t c c< <                n n n n t t t t c c     ⇒ + < + <  ÷  ÷      ⇒ 1 Bài toán 2:2    $ $ x y x y+ − − + = 2.D# ( ) ( )    !    ! $  ! ! $ ! x y xy x y − + − + + − − + ≤ Giải::# ( ) ( )      $ $    x y x y x y + − − + = ⇒ − + − = 9 ( )            x y c x y c α α α π α α − = − = ∈ ⇒ = + = + ( ) ( )    !    ! $  ! ! $ !   J A x y xy x y π α   = − + − + + − − + = −  ÷    K% A ≤ B1C Bài toán 3:2 ( ) L      i a i n n≤ ≤ = ∈¥ 2.D# ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                  n n n a a a a a a+ + + + − − − ≤ Giải:9     i i i a α π α   = ≤ ≤  ÷   )' ( )    c i n α ≥ = I(I# ( ) ( ) ( )                 BCc c c c c c α α α α α α + + + ≥ + :%           i i c α α α − = + %)BC             n n i i i i i i a a a a = =   − − + ≥ +  ÷ + +   ∏ ∏ M% ( ) ( )        n n n i i i i a a = = + + − ≤ ∏ ∏ B1C 9N.4%    n a a a⇔ = = = = Bài toán 4::O P  Q  R ?< Q S Q ) P  Q  R  T S Q  T I T / Q # xyy xxy P  CJB   ++ + = )< Q %? P U Q / R %U T ) P  T  V I R / Q    =+ yx (Đề thi tuyển sinh Đa ̣ i ho ̣ c, Cao đẳng 2008 – Khối B) Giải: MI R / Q    =+ yx  Q 1 Q ?I/< T I Q U/ Q ?/< R  Q #   =+ uu FO P )S R %W R #H%H X/< Q O P / Q ?/< R  Q  Q # uuu uuu P  CJB   ++ + =  J ++ +− = uu uu P BLC 9I T O P I P  Q  R  T YI Q U T BLC P # BYZJCGBYGCHZY BLLC 9I P I R  Q I R  T 1/<O P BLLC? P # ( ) ( ) ( )  J PPP −≥++−  !JJ  ≤−+⇔ PP !J ≤≤−⇔ P FS R % Q  R ?< Q S Q  T YW P ! Q  R  T S Q  T YW P ZJ Bài toán 5: :O P  Q  R ?< Q S Q ) P  Q  R  T S Q  T I T / Q # + +−= xyP )< Q %? P U Q / R %U T ) P  T  V I R / Q # [J!J  =+ yx Giải: \I Q U T  [J!J  =+ yx )I P ] R #  ! $ ! J  =       +       yx ! :O V I Q )I R W R #        = = ⇒        = = uy ux u y u x  $ !     ! $  ! J ^ Q ]/< Q ] R ?/< R  Q O P #YH + $ ! +− uu K/ T ] R S Q W T / Q #   baubuaba +≤+≤+− :%# YH $ +  J [ + =++ YH $ ++  J [ + =+− Bài toán 6: :O P  Q  R ?< Q S Q ) P  Q  R  T S Q  T  P U Q #   $! yx xyy P + − = Giải: \I Q U T  P Y)I P ] R #         +         + −         + =    $! yx y yx x yx y P ) P  Q % Q W P #  !   !  +−= uu IW R #   yx x u yx y u + = + = _ Q  Q  P U Q Y]/< Q O P / Q ?/< R  Q ? P # Y H!  Z$   !   !  +−= uu ` Q 1] R S Q W T / Q #   baubuaba +≤+≤+− :/< R # YH$ YHa Bài toán 6: 2%? P U Q ]/<%U T  T  V #G%H :O P  Q  R  T S Q  T I T / Q # y y x x P − + − =  $ Giải: F< Q %3) P G%HIW R #      = = uy ux           <<   π u _ Q  Q YH uu uu u u u u       !! + =+ 9W R H H  $  ≤≤       + tu π O Q  ! CB  ! − −− == t tt tfP ( )   ! CBb   $ < − + −= t t tf IcBC R I Q I de FS R %# CB == fP Bài toán 7: :')-#   + + = x bax y @7?*fD$7gfDa Giải: X-%7)*h)=8@?/AG  I(?/A6D #H α ^-%i# ααα α α      ba ba y += + + =      bba y ++= αα j1]kU.#   baubuaba +≤+≤+− :/A#      ba b y ++=      ba b y +−= 9S%)')g%Ilm%))41/<'# +    = − ∨    = = ⇔        −=+− =++ ! $ ! $     $      b a b a ba b ba b Bài toán 8: 2%&g5#G%G&H%&)%& ! ! ≠ :O Q #YH  !  !  !  !  !  ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! z zz y yy x xx z zz y yy x xx − − − − − − − − − + − − + − −  Giải: 2f@8@?/A1l(.lO Q n1n?I/i U.?/A# a a aa ! ! !  ! = − − BC F'#H%H&H ^#Yi# YH!G!G!Z! ! ! ,# accbba cbacba cba   CB −−− −++ =++ BC :;U.?/A    HGG :EBC%# BGGCH :EBC%# B!G!G!CH )EBC%#YH!G!G!Z! ! !H Bài toán 9:2%? P U Q / R %U T  :O P  Q  R ?< Q S Q ) P  Q  R  T S Q  T  P U Q # ( )( ) ( )( )    yx xyyx P ++ −+ = Giải: :/ P I P I R % o ∈ ) P / R  Q W R  T I T / Q #G  ) P G%  W R #    = = vy ux   _ Q  Q Y< T  P #YH ( )( ) ( )( ) vu vuvu     ++ −+ J H vu vu vu vu vu       CB       − + HBG)CBG)C H ( ) vu    + K%# YH   ) P YHa   Bài toán 10: 2? P U Q ]/<%U T ?U T I P I R # GGH :O P  Q  R ?< Q S Q  T I T / Q    !     cba P + + + − + = Giải: 2 Q ? R W R 1 Q I T / Q ] R #G  m Q O V I Q )I R )I Q ? R  T I Q  P # ac ca b − + =  BU Q O P / Q  T U/ Q # yx yx yx    CB − + =+ C 2IW R #HH%       <<   π yx 'HBG%C) P /< R # yyxx P   ! CB    + + ++ − + = yyxx  !CB ++−= HZBG%CG!  % HBG%C %G!Z!  % H CB !  !CB !  CB!  yxyxyyxy ++++−++− H CB !  !CB !  !   yxyxy +++       +−− !  !  ! =+≤ XS Q W T / Q  T %) P O T #      = =+ ⇔      =+ =+− !   CB CB CB !  ! y yx yx yxy p ⇔ ( ) Zk y kx ∈        = +−= !   !     $ π π FS R % Q  R ?< Q S Q  T Y? P # !  Bài tập tự luyện: Bài 1:2.)*  x y z∀ ∈ ¡ #             x y x z z y x y x z z y − − − ≤ + + + + + + + Bài 2:2  a b c ∈ ¡ )45      a b c ab bc ca < <   + + =  :',8(.#       a b c S a b c = + + − − − Bài 3: C 2%&4    x y z+ + = :',8 A xy yz zx= + + C 245     [ [ Ja b c k+ + + = B?D-]/<C :'7?*f8(.  [ [ JB ab ac bc = + + + Bài 4:(Vietnam MO 1998).qr-=]/<45 abc a c b+ + = :'7?* f8(.      !    P a b c = − + + + + Bài 5:2!-=   !  a a a U" 2.Ds@- ( )    ! j k a a j k≤ ≤ #  !    ! j k i k a a a a − − < < + + Bài 6:2--=]/< 2,o#?Us@-%#   !   x y x y xy − ≤ < − + + + Bài 7::O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T  P UQ# xyx yxy u  CB   ++ + = )< Q ]IPI R    =+ yx Bài 8::O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T I T / Q #YHB ! G% ! CZ!% )< Q %? P UQ/ R  T  V ]IPI R    =+ yx (Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008) Bài 9: :O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T I T / Q #YH xyyx +++  )< Q %? P UQ/ R  T  V ]IPI R    =+ yx Bài 10::O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T I T / Q #YH  [[ xyyx −+− Bài 11:2%? P UQ/ R US%U T  :O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T I T / Q # ( )( ) ( ) ( )    yx xyyx P ++ −− = (Đề tuyển sinh Đa ̣ i ho ̣ c, Cao đẳng khối D – 2008) Bài 12:2%? P UQ/ R %U T  :O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T  P UQ# ( )( ) ( ) ( )        yx yxyx P ++ −− = Bài 13::O P  Q  R ?< Q SQ) P  Q  R  T SQ T  P UQ# ( )   $   x x y + + = t Bài 14::O P  Q  R ?< Q SQ T I T / Q #YHGIQWP%) T  V IPI R #      ≥+ =+ =+ !+ + !   yuxv vu yx (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987) 3. Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình: Bài toán 1:u41/<'# ( ) ( )     !    x x x x − − = − i4BC Giải:F* ( ) x∈  x c=    t π   ∈  ÷   ^1/<'#  ( ) ( )     !    a      c c t c − = −     !      c t t c t c⇔ = −    t       $   at Hat c t c t c⇔ = − ⇔ = − ⇔ ( )  p t  t   [ t k c t k k t k π π π  =  ⇔ = ⇔ = ± + ⇔ ∈   =   ¢ ^A1)*   t π < < /A   $   p [ [ t t t π π π = = = Fv%81/<'?#   $      p [ [ x c x c x c π π π = = = Bài toán 2:(Vô định quốc gia 1984).u41/<' ( ) ( ) ( ) ! !         BCx x x x+ − + − − = + − Giải:9^#       x x x + ≥  ⇔ − ≤ ≤  − ≥  9 x c=   t π ≤ ≤  ( ) ( ) ( ) ! ! BC        t c c t⇔ + + − − = + ( )  ! !                                              G         H H  t t t c c t t t t t t c c c t t t c t t c t c x     ⇔ + − = +  ÷  ÷         ⇔ + − + = +  ÷ ÷ ÷        ⇔ − + = + ⇔ = +  ÷ ÷    ⇔ ⇔ ⇒ =  Fv%1/<'5]%f   x = Bài toán 3:u41/<' ( ) ( ) !     ! x x + = − + BLC Giải:vrD ( ) ( )      + − =  ( ) ( ) ( ) ( )  !          x x x x− + = + − = + 9 ( ) ( )     x t t+ = > ^1/<'#  !   $ ! $ !   t t t t = + ⇔ − = BC Xw].1Ix [ ] t ∈ − I [ ] ( )   t c α α π = ∈ ( ) ! !     $ ! $  !  !    [ ! t t c c c k k π π α α α α ⇒ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ ¢ F' [ ] + p    [ [ [ π π π α π α   ∈ ⇒ ∈      ⇒ 1BC! + p      [ [ [ t c c c π π π   ∈     ^81BLC?       + p ?   ?   ?   [ [ [ x c c c π π π + + +         ∈    ÷  ÷  ÷         [ Một số bài tập tự luyện: Bài 1#(Đề thi Olympic 30-4-1994).u41/<'#        x x a a a a     + − − =  ÷  ÷     Bài 2:(Đề thi Olympic 30-4-2000).97(1/<'# ( ) ( ) $ ! ! ! $   m x m x m− + + − − + − = Bài 3:(Thi HSG trường PTNK-ĐHQGTPHCM 2000) u41/<'#       x x x x+ − + − = Bài 4:(IMO 1976) 2  B C f x x= − 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    n n f x f f x f x f f x − = = 2.D1# ( )  n f x = n  n 1S Bài 5:(Đề nghị Olympic 30-4-2000, tinh Tiền Giang).u41/<'# ( ) ( ) ( ) !  !  !  ! !  ! !  ! !  x x y x y y z y z z x z  − = −   − = −   − = −   Bài 6:(Đề dự tuyển IMO 1995, Hoa Kì) 2-=]/<5%'-%&#  ( )    $ x y z a b c xyz a x b y c z abc + + = + +    − + + =   Bài 7:u41/<'#    ! $ +  x y z x y z xy yz zx        + = + = +   ÷  ÷  ÷         + + =  4. Tính giới hạn của dãy số Bài toán 1:(Đề nghị Olympic 30-4-2000, tỉnh Đồng Tháp) 2]5%-/A7/#        n n x x x n + = = + ∀ ∈ ¥ :' ? n n x →+∞ Giải::    !           $ $  x c x x c c π π π   = = = + = + =  ÷   Dm%@1./AD G    n x c π = ^ G ? ?       n n n x c c π →+∞ →+∞   = = =  ÷   Bài toán 2:2]5%-y  z# ( )            n n n u u u n u + + − = = = − + :6  u Giải:9       u π ϕ ϕ   = = ∈  ÷   )n{D    t π − = ^    t  t    t u π ϕ π ϕ π ϕ +   = = +  ÷   −  !   t t   t    t t u π π ϕ π ϕ π π ϕ   + +  ÷     = = +  ÷     − +  ÷    \Dm%@1./A ( )     t n u n n π ϕ   = + − ∀ ≥  ÷   Fv%I ( )       t  [  !  t t        t u π ϕ π π ϕ ϕ π ϕ + + −     = + = + = = = +  ÷  ÷     − − − Bài tập tự luyện: Bài 1:2]5%-y  z)y)  z7/#                  n n n n v u u u n v v v v + +  = = − −   ∀ ∈  + −  = =   ¥ 2,o#     n n n n u v π + + < < Bài 2:(Vietnam MO 1989).2]5%y  z  n x∈ ≤¥ ) ( )   ! !  n n n x x x + = − + − C 2lI'-)*  x (]5%y  zs-]/<  . Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây. yuxv vu yx (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987) 3. Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình: Bài toán 1:u41/<'#