BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài 1: Dùng đònh nghóa, chứng minh rằng: a) n n 1 1 lim 2n 1 2 →∞ + = − b) 2 2 n 1 2n 2 lim 1 3n 3 →∞ − = − + c) 2 n 3 lim 0 n 1 →∞ = + d) n 2 n 1 lim 2 n →∞ + = Bài 2: Tính các giới hạn sau: a) n 4n 1 lim 2n 7 →∞ + − b) 2 2 n 2n 2 n 8 lim n 3 n 7 →∞ − + − + − c) 3 2 n 2n 5n 1 lim 2n n 3 →∞ + − − + d) 2 n n 3n 3 lim n 2n 2 →∞ + + + e) 3 n (2n 1)(n 1)(3n 4) lim (6n 1) →∞ + − − + f) 2 n (3n 4)(n 2)(n 3) lim 2n(n n 4) →∞ + + − + − Bài 3: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 n lim( n 2n 1 n 7n 3) →∞ − − − − + b) 2 n lim( n n n) →∞ + − c) 3 3 n lim( n 1 n) →∞ + − d) 3 3 n lim( n n n) →∞ − + e) 2 2 n 4n 1 (2n 1) lim n 4n 1 n →∞ + − + + + − f) 3 3 2 n 2 n n lim n 1 n →∞ − + + − g) 3 3 2 2 n lim( n 3n 1 n 4n) →∞ − + − + Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) n n n 3 4 lim 1 3.4 →∞ + + b) n n n n n n n 3 4 5 lim 3 4 5 →∞ − + + − c) n 1 n 1 n n n 2 3 lim 2 3 + + →∞ + + d) n n n 1 n n n 1 n 2 6 4 lim 3 6 + + →∞ + − + e) 2 n n lim 2n 1 →∞     +   f) 2 n 3n 1 lim 4n 5 →∞ +     +   Bài 5: Xét sự hội tụ của các dãy số sau: a) n 1 1 1 a (1 )(1 ) .(1 ) 2 4 2n = − − − b) n 1 1 1 a . n 1 n 2 2n = + + + + + c) n 1 1 1 a . 1.2 2.3 (n 1)n = + + + − d) n 2 1 2 . (n 1) a 2n 3n + + + − = + e) n 1 1 1 a . 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) = + + + − + GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài 1: Dùng đònh nghóa, chứng minh rằng: a) x 1 lim(2x 3) 6 → + = b) x 1 x 2 1 lim 2(x 1) 4 →− + = − − c) x 5 lim x 4 3 → + = d) x 0 limsin x 0 → =  DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 : Bài 2: Tính các giới hạn sau: a) 2 x 3 x 3 lim x 9 →− + − b) 2 2 x 2 x x 6 lim x 4 → + − − c) 2 2 x 4 x 16 lim x x 20 → − + − d) 3 2 2 x 1 x x x 1 lim x 3x 2 → − − + − + e) 3 3 2 x 1 x 1 lim x x x 1 → − − + − f) 4 2 3 2 x 3 x 6x 27 lim x 3x x 3 →− − − + + + Bài 3: Tính các giới hạn sau: a) 5 3 x 1 x 1 lim x 1 →− + + b) 6 5 2 x 1 4x 5x x lim (1 x) → − + − c) x 0 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 lim x → + + + − d) 5 5 2 x 0 (1 x) (1 5x) lim x x → + − + + 1 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) m n x 1 x 1 lim x 1 → − − b) n n x a x a lim x a → − − (n ∈ Z + ; a ≠ 0) c) 2 n x 0 x x .x n lim x 1 → + + − − d) x 0 (1 x)(1 2x) .(1 nx) 1 lim x → + + + − Bài 5: Tính các giới hạn sau: a) x 0 1 2x 1 lim 2x → + − b) x 0 4x lim 9 x 3 → + − c) x 2 x 7 3 lim x 2 → + − − d) 2 2 x 1 3x 2 4x x 2 lim x 3x 2 → − − − − + e) 3 2 x 1 2x 7 x 4 lim x 4x 3 → + + − − + f) x 1 2x 7 3 lim 2 x 3 → + − − + g) 2 2 x 0 x 1 1 lim x 16 4 → + − + − h) x 4 x 5 2x 1 lim x 4 → + − + − k) x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − Bài 6: Tính các giới hạn sau: a) 3 x 2 4x 2 lim x 2 → − − b) 3 3 x 3 2 19 x lim 4x 3 3 → + − − − c) 3 3 x 1 x 1 lim 4x 4 2 → − + − d) 3 3 3 x 1 x 9 2x 6 lim x 1 → + + − + e) 3 x 0 1 x 1 x lim x → + − + f) 3 2 x 2 8x 11 x 7 lim x 3x 2 → + − + − + g) 3 3 x 1 3x 2 2x 1 lim x 1 → − − − − Bài 7: Tính các giới hạn sau: a) x a x x a a lim x a → − − b) n m x 1 x 1 lim x 1 → − − (m, n ∈ Z + ) c) 3 5 4 4 x 1 (1 x)(1 x)(1 x)(1 x) lim (1 x) → − − − − −  GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Bài 8: Tính các giới hạn sau: a) x 0 sinx lim 2x → b) x 0 tgx lim x → c) 2 x 1 sin(x 1) lim x 1 → − − d) 2 2 x 0 x sin 2 lim x → e) x 0 sin5x lim tg3x → f) x 0 1 cos x lim x.sin x → − Bài 9: Tính các giới hạn sau: a) x 0 1 cos x lim 1 cos3x → − − b) 3 x 0 tgx sin x lim x → − c) 2 x 0 cosx cos3x lim sin x → − d) 3 x 0 1 cos x lim x.sin 2x → − e) 4 x 0 1 cos x lim x.sin3x → − f) 3 2 x 0 1 cos x lim sin x → − g) 2 2 x 0 1 sin x cos x lim sin x → + − h) 2 x 0 1 cos x cos2x lim x → − Bài 10: Tính các giới hạn sau: a) x 0 1 1 lim( ) sin x tgx → − b) x 0 1 1 1 lim( ) sin x sin3x x → − c) 2 x 0 1 cos x lim tg x → − d) 3 x 0 1 cos2x tg x lim x.sin x → − + Bài 11: Tính các giới hạn sau: a) x 4 2 sin x 1 lim 2 cosx 1 π → − − b) x 4 sin x cos x lim 4x π → − − π c) x 4 1 tgx lim 1 cot gx π → − − d) x 2 cosx lim x 2 π → π − e) x 2 1 lim( tgx) cosx π → − f) x 2 lim(1 cos2x)tgx π → + g) x 6 2sinx 1 lim 2cosx 3 π → − − h) 2 x 6 2sinx 1 lim 4cos x 3 π → − − k) 3 x 3 tg x 3tgx lim cos(x ) 6 π → − π + 2 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 Bài 12: Tính các giới hạn sau: a) x 0 cos(a x) cos(a x) lim x → + − − b) 2 x 0 sin(a x) 2sin(a x) sina lim x → + − + + c) x 0 sin(a x) sin(a x) lim tg(a x) tg(a x) → + − − + − − d) 2 2 x 0 tg(a x)tg(a x) tg a lim x → + − −  GIỚI HẠN MỘT BÊN: Bài 13: Tính các giới hạn sau: a) x 1 x 3 3x 1 lim x 1 + → + − + − b) x 1 cosx lim sin x + →π + c) x 2 1 cosx lim x 2 + π → + π − Bài 14: Tính giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của các hsố: a) 3 3sin x nếu x 0 f(x) khi x 0 x x 1 nếu x 0  >  = →   − ≤  b) 2 2 x 3 2 nếu x 1 x 1 f(x) khi x 1 x 3x 1 nếu x 1 4(3x 5x 2)  + − >   − = →  − +  <  − +  c) 3 2 2 2 6(1 cosx) nếu x 0 sin x f(x) khi x 0 x x nếu x 0 x  − >   = →  −  <    DẠNG VÔ ĐỊNH ∞ ∞ : Bài 15: Tính các giới hạn sau: a) x 2x 1 lim x 1 →∞ + − b) 2 2 x 2x 3x 4 lim 1 2x 4x →∞ − + + − c) 2 x 2x x 1 lim x 2 →∞ − + − d) 3 3 2 x 2x 3 lim x 2x 1 →∞ + − + e) 2 x x x 1 lim x x 1 →∞ + + + f) 2 3 x (3x 1)(5x 3) lim (2x 1)(x 4) →∞ + + − + Bài 16: Tính các giới hạn sau: a) 2 x 4x 1 lim 3x 1 →∞ + − b) 2 2 x 9x x 1 4x 2x 1 lim x 1 →∞ + + − + + + c) 2 2 x x 2x 3 4x 1 lim 4x 1 2 x →∞ + + + + + + − d) 4 2 x 3x 2 x x 5x lim 2x 4x 5 →∞ − + − + − Bài 17: Tính các giới hạn sau: a) x 1 2 x x lim x 3 →∞ + − + b) 3 2 x x 3x 1 lim x x x →∞ + − + c) 2 x x.sin x lim 2x 1 →∞ = d) x x 2 1 x lim 1 x →∞ + − −  DẠNG VÔ ĐỊNH ∞ − ∞ : Bài 18: Tính các giới hạn sau: a) 2 x lim( x x x) →∞ + − b) 2 x lim(2x 1 4x 4x 3) →∞ − − − c) 2 2 x lim( x x 1 x x 1) →∞ − + − + + d) 3 3 x lim( x 1 x) →∞ + − e) 3 3 2 x lim( x x x) →∞ + − f) 3 33 2 3 x lim( x 5x x 8x) →∞ + − + Bài 19: Tính các giới hạn sau: a) 2 x 1 2 1 lim( ) x 1 x 1 → − − b) 3 x 1 1 3 lim( ) 1 x 1 x → − − − 3 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 c) 2 2 x 2 1 1 lim( ) x 3x 2 x 5x 6 → − − + − + d) x 0 2 1 1 lim( ) x tgx sin 2 → − e) 2 2 x 2 sin x lim( tg x) cos x π → − Bài 20: Tính các giới hạn sau: a) x lim ( x x x x) →+∞ + + − b) x lim ( x x x x x x ) →+∞ + + − − − c) 2 2 x lim x( x 2x 2 x x x) →+∞ + − + + d) 3 3 2 2 x lim ( x 3x x 2x) →+∞ + − − e) n 1 2 n x lim [ (x a )(x a ) .(x a ) x] →+∞ + + + −  DẠNG VÔ ĐỊNH 0.∞ : Bài 21: Tính các giới hạn sau: a) x 2 lim( x)tgx 2 π → π − b) x 4 lim tg2x.tg( x) 4 π → π − c) x 0 limsin5x.cotg3x → d) x 0 lim x.cot gx → e) x 1 lim(1 x)tg x 2 → π − f) x 2 lim(x 4)sin x →∞ + HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục tại x 0 của hàm số trong các trhợp sau: a) 2 3 2 0 2 7x 5x x nếu x 2 f(x) tại x 2 x 3x 2 1 nếu x 2  − + − ≠  = = − +   =  b) 3 3 0 x x 2 nếu x 1 x 1 f(x) tại x 1 4 nếu x 1 3  + + ≠ −   + = = −   = −   c) 0 1 2x 3 nếu x 2 f(x) tại x 2 2 x 1 nếu x 2  − − ≠  = =  −  =  d) 0 x 2 nếu x 4 x 5 3 f(x) tại x 4 3 nếu x 4 2  − ≠   + − = =   =   e) 3 0 3x 2 2 nếu x 2 x 2 f(x) tại x 2 3 nếu x 2 4  + − ≠   − = =   =   Bài 2: Xét tính liên tục tại x 0 của hàm số trong các trhợp sau: a) 2 0 1 cosx nếu x 0 sin x f(x) tại x 0 1 nếu x 0 4  − ≠   = =   =   4 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 b) 2 2 0 cosx 1 sin x nếu x 0 f(x) tại x 0 sin x 10 nếu x 0  − +  ≠ = =   − =  c) 0 1 cos x nếu x 0 sin x.sin2x f(x) tại x 0 1 nếu x 0 8  − ≠   = =   =   d) 3 2 0 1 cos x nếu x 0 sin x f(x) tại x 0 1 nếu x 0 3  − ≠   = =   =   e) 0 sin x nếu x 1 f(x) tại x 1 x 1 nếu x 1 π  ≠  = = −   − π =  f) 2 0 1 cosx nếu x 0 sin x f(x) tại x 0 1 nếu x 0 4  − ≠   = =   =   g) 2 2 2 0 sin (x 4) nếu x 2 f(x) tại x 2 x 4x 4 16 nếu x 2  − ≠  = = − +   =  h) 2 0 1 x sin nếu x 0 f(x) tại x 0 x 0 nếu x 0  ≠  = =   =  Bài 3: Xét tính liên tục tại x 0 của hàm số trong các trhợp sau: a) 0 2 x 5 nếu x 5 f(x) tại x 5 2x 1 3 (x 5) 3 nếu x 5 −  >  = = − −   − + ≤  b) 0 1 cos x nếu x 0 f(x) tại x 0 x 1 nếu x 0 − ≤   = =  + >   c) 3 2 0 1 cos2x nếu x 0 sin x 2 f(x) nếu x 0 tại x 0 3 1 1 x 1 nếu x 0 6 x  − >    = = =    + − + <   d) 3 2 0 2 2 6(1 cosx) nếu x 0 sin x f(x) 1 nếu x 0 tại x 0 x x nếu x 0 x  − >    = = =   −  <   e) 0 x 2 nếu x 0 x 4 1 f(x) nếu x 0 tại x 0 2 x nếu x 0 tg2x  − >  −   = = =    − <   5 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 f) 2 0 cosx cos2x nếu x 0 x 3 f(x) nếu x 0 tại x 0 2 1 x 1 nếu x 0 1 x −  >    = = =   −  + <  +   TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC: Bài 4: Đònh a để các hàm số sau liên tục tại x 0 : a) 2 0 1 x 1 nếu x 0 f(x) tại x 0 x a nếu x 0  − −  ≠ = =   =  b) 0 1 x 1 x nếu x 0 x f(x) tại x 0 4 x a+ nếu x 0 x 2  − − + <   = =  −  ≥   + c) 3 0 3x 2 2 nếu x 2 x 2 f(x) tại x 2 1 ax nếu x 2 4  + − >   − = =   + ≤   d) 2 0 1 cos x cos 2x nếu x 0 f(x) tại x 0 x a nếu x 0  − ≠  = =   =  e) 3 0 1 cos4x 3x 2 2 nếu x 0 xsin 2x f(x) tại x 0 x a nếu x 0 x 1  − + − <   = =  +  ≥   + f) 2 0 2 2 cosax nếu x 0 f(x) tại x 0 x x a nếu x 0 −  <  = =   + ≥  g) 3 0 x 3 3x 5 nếu x 1 f(x) tại x 1 x 1 ax 1 nếu x 1  + − + ≠  = =  −  + =  Bài 5: Đònh f(x 0 ) để các hàm số sau liên tục tại x 0 : a) Đònh f(-2) để 3 2 2 x 3x 2x f(x) (x 2) x 5x 6 + + = ≠ − + + liên tục tại x 0 = -2. b)Đònh f(1) để 4 3 2 2 x 2x 2x 2x 1 f(x) (x 1) x 3 2 − + − + = ≠ + − liên tục tại x 0 = 1. c) Đònh f(3) để 3 2 2 x 1 2 f(x) (x 3) x 4x 3 − − = ≠ − + liên tục tại x 0 = 3. d)Đònh f(0) để 2 3 1 x 1 f(x) (x 0) 1 x 1 + − = ≠ − − liên tục tại x 0 =0. e) Đònh f(0) để 2 cos2x 1 f(x) (x 0) 1 x 1 − = ≠ + − liên tục tại x 0 =0. f) Đònh f(0) để 2 cos x cos2x f(x) (x 0) sin x − = ≠ liên tục tại x 0 = 0. g) Đònh f(0) để 1 cos x f(x) (x 0) 1 cos3x − = ≠ − liên tục tại x 0 = 0. h)Đònh f(2) để 2 2 2 sin (x 4) f(x) (x 2) tg (x 2) − = ≠ − liên tục tại x 0 = 2. i) Đònh f( 3 π ) để 2sinx 3 f(x) (x ) 2cosx 1 3 − π = ≠ − liên tục tại x 0 = 3 π 6 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11  TÌM CÁC KHOẢNG TRÊN ĐÓ HÀM SỐ LIÊN TỤC: Bài 6: Tìm các khoảng và nửa khoảng trên đó hàm số đã cho sau đây liên tục: a) 3 x nếu x 1 f(x) x 1 nếu x 1  ≥ =  + <  b) 2 x x 1 nếu x 1 f(x) cosx nếu x 1  + + < =  ≥  Bài 7: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R: a) 3 3 x x 2 nếu x 1 x 1 f(x) 4 nếu x 1 3  + + ≠ −   + =   = −   b) 1 xsin nếu x 0 f(x) x 0 nếu x 0  ≠  =   =  Bài 8: Đònh a để hàm số sau liên tục trên R: sin(x ) 3 nếu x f(x) 1 2cosx 3 tg a nếu x 6 3 π  −  π ≠  = −   π π + =   Bài 9: Tìm A và B để hàm số sau liên tục trên R: 2sinx nếu x 2 f(x) Asinx B nếu x 2 2 cosx nếu x 2 π  − ≤   π π  = + − < <   π  ≥   Bài 10: Đònh a để hàm số sau liên tục trên [ 3; )− +∞ : 3 x 3 3x 5 nếu x 1 f(x) x 1 ax 1 nếu x 1  + − + ≠  =  −  + =  Bài 11: Đònh a để hàm số sau liên tục trên [0;4] : x 4 nếu x 4 f(x) 3( x 2) a nếu x 4 −  ≠  = −   =   TÌM CÁC ĐIỂM GIÁN ĐOẠN: Bài 12: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: a) 3 2 3 f(x) x 2x = − b) 2 2x 1 f(x) x 2 + = − c) 3 2 2x 1 f(x) x 2x x 2 + = − − + d) x f(x) sin x = e) 2 1 f(x) cos x = f) 1 f(x) cos x = g) sin2x f(x) sin x = Bài 13: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: a) 1 nếu x 0 sin x f(x) x nếu x 0 1 x  <   =   ≥   − b) tgx nếu x 0 f(x) x nếu x 0 1 x >   =  ≤   + c) 2 2x 2 nếu x 1 f(x) x 3x 2 2 nếu x 1 −  ≠  = − +   − =  d) 2 x+1 nếu x 1 f(x) 1 nếu x 1 x 3x ≤   =  >  −   CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM: Bài 14: Chứng minh rằng: a) 4 2 x 6x 1 0− + = có 2 nghiệm ∈ ( 1; 3)− . b) 3 2x 6x 1 0− + = có 3 nghiệm ∈ ( 2;2)− . c) 5 3 x 5x 4x 1 0− + − = có nghiệm phân biệt. d) a(x b)(x c) b(x c)(x a) c(x a)(x b) 0− − + − − + − − = luôn có nghiệm a,b,c R∀ ∈ . Bài 15: Cho pt: 2 ax bx c 0 (a 0)+ + = ≠ thỏa 2a + 3b + 6c = 0. CMR: Phương trình cho có ít nhất một nghiệm ∈ (0;1) . 7 . liên tục tại x 0 =0. e) Đònh f(0) để 2 cos2x 1 f(x) (x 0) 1 x 1 − = ≠ + − liên tục tại x 0 =0. f) Đònh f(0) để 2 cos x cos2x f(x) (x 0) sin x − = ≠ liên tục. + − − + − − d) 2 2 x 0 tg(a x)tg(a x) tg a lim x → + − −  GIỚI HẠN MỘT BÊN: Bài 13: Tính các giới hạn sau: a) x 1 x 3 3x 1 lim x 1 + → + − + − b) x 1 cosx