UBND HUYỆN CHÂU THÀNH Phòng Giáo dục & Đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: 4 3 2 6 11 30 24n n n n+ + + − chia hết cho 24. Bài 2: (3đ) Xác đònh các hệ số a và b để đa thức A = 4 3 2 2 3x x x ax b− + + + là bình phương của một đa thức. Bài 3 (3đ) a) Chứng minh rằng: Với mọi số thực a, b, c, d ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ab cd a c b d+ ≤ + + b) Với a ≥ c; b ≥ c; c > 0. Chứng minh rằng: ( ) ( ) c a c c b c ab− + − ≤ Bài 4) (4đ): a) = + + + − +Rút gọn 4 10 2 5 4 10 2 5B b) Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó 2009C x x= − − Bài 5) (3đ) Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM. Xác đònh vò trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất. Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB và AD kéo dài tại F và E. a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi. b/ Chứng minh rằng: 2 2 DE AE BF AF = ---*--- ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi : TOÁN 9 Bài 1: 4 3 2 6 11 30 24n n n n+ + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 2 6 11 6 24 24 6 11 6 24 1n n n n n n n n n n+ + + + − = + + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 5 5 6 6 24 1 1 5 6 24 1n n n n n n n n n n n n   + + + + + + − = + + + + −   = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 24 1n n n n n+ + + + − (2đ) Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; n + 4 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên 4 3 2 6 11 30 24n n n n+ + + − chia hết cho 24 (1đ) Bài 2: Ta có A là bình phương của một đa thức thì: A = ( ) 2 2 x cx d+ + = ( ) 4 3 2 2 2 2 2 2x cx c d x cdx d+ + + + + (0,5đ) Mà: A = 4 3 2 2 3x x x ax b− + + + Do đó ta có hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 c a c d b cd a c d d b = −  = −    + = =   ⇔   = = −     = =   Do đó: a = - 2 ; b = 1. Vậy: A = 4 3 2 2 3 2 1x x x x− + − + (2,5đ) Bài 3: a/ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ab cd a c b d+ ≤ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 ab abcd cd ab ad bc cd ad adbc bc ad bc ⇔ + + ≤ + + + ⇔ ≤ − + ⇔ ≤ − Bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi số thực a, b, c. Vậy: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ab cd a c b d+ ≤ + + ; với mọi số thực a, b, c, d.(1,5đ) b / Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . . c a c c b c c a c b c c c b c a c c ab − + − = − + −     ≤ + − − + =         (1,5đ) Bài 4: (4đ): ( ) ( ) ( ) = + + + − + ⇒ = + + + − + + + + − + = + − + = + − 2 2 2 ) 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 4 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 16 10 2 5 8 2 6 2 5 a Rútgọn B B B B ( ) ( ) = + − = + − = + ⇒ = + ⇒ = + 2 2 2 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 6 2 5 5 1 B B B B = − − ≥   = − − − + + = − − + ≥  ÷   = ⇔ − − = ⇔ − =  ≥   ⇔ ⇔ =     − =  ÷     2 2 ) 2009 2009 1 3 1 3 3 2009 2009 2008 2009 2008 2008 4 4 2 4 4 1 " " 2009 0 2 1 2009 2 1 0 2 1 2009 4 1 2009 2 b C x x điềukiện x C x x x Dấu xảy ra x x x x Vậy giá trò nhỏ nhất của C là 3 1 2008 2009 4 4 x⇔ = Bài 5: (3đ): Vẽ đường cao AH ta có: ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + = + = + = ⇒ + = 1 1 . . 2 2 1 2 2 ABM ACM ABC ABC ABC ABC S S S AM BI AM CK S S AM BI CK S BI CK AM mà AM AH≥ ( ) ∆ ⇒ + ≤ = + = ⊥ 2 Vậy Max . Khi AM BC ABC S BI CK BC AH BI CK BC ⇒ M là chân đường cao vẽ từ A đến cạnh BC Bài 6: a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi. ( ) ED CD ED AE DCE AFE G G EA AF CD AF ∆ ∆ − ⇒ = ⇒ =: (1) (0,75đ) ( ) AE AF AE BC AFE BFC G G BC BF AF BF ∆ ∆ − ⇒ = ⇒ =: (2) (0,75đ) Từ (1) và (2) suy ra: 2 . . ED BC ED BF CD BC a CD BF = ⇒ = = (không đổi) (0,5đ) Vậy: Tích DE.BF không đổi. B A C D E F b/ Chứng minh rằng: 2 2 DE AE BF AF = Nhân (1) và (2) vế theo vế , ta có: 2 2 . ED BC EA CD BF AF = . Vì CD = BC nên 2 2 DE AE BF AF = (2đ) . phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 20 09 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) (Học sinh không phải chép đề vào giấy thi) Bài. 2 2 DE AE BF AF = ---*--- ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 20 09 Môn thi : TOÁN 9 Bài 1: 4 3 2 6 11 30 24n n