Chơng I: Hàm số lợng giác. phơng trình lợng giác Tiết 1-2-3- 4 Bài 1.hàm số lợng giác. I.Mục tiêu 1.Về kiến thức Giúp học sinh - Hiểu đợc trong định nghĩa các hàm số lợng giác y =sinx ,y=cosx ,y=tanx, y=cotx , x là một số thực và số đo là radian(không phải là số đo độ của góc(cung) lợng giác. - Hiểu đợc tính chất chẵn lẻ ,tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác;tập xác định và tập giá trị của các hàm số đó Biết dựa vào trục sin, trục cosin, trục tang, trục côtang gắn với đờng tròn lợng giác để khảo sát sự biến thiên của các hàm số tơng ửngồi thể hiện sự biến thiên đó trên đồ thị 2.Về kĩ năng Giúp học sinh nhận biết hình dạng và vẽ dồ thị của các hàm số lợng giác cơ bản(thể hiện tính tuần hoàn,tính chẵn lẻ,giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhât,giao với trục hoành, .) B.Chuẩn bị về phơng tiện dạy học -Giáo viên:Bảng phụ và các phiếu học tập -Học sinh : chuẩn bị thớc kẻ,compa,bút dạ trong hoạt động nhóm C.Gợi ý về phơng pháp dạy học -Gợi mở, vấn đáp -Phát hiện và giải quyết vấn đề -Đan xen hoạt động nhóm D.Tiến trình bài học và các hoạt động Hoạt động 1: Các hàm số y =sinx và y=cosx Hoạt động của giáo viên Hoạt động của giáo viên Hoạt động 1:Giáo viên treo bảng phụ A' O A B B' Trục côsin Trục sin + K H M x P1: Quan sát hình vẽ và suy nghĩ P2;Trả lời câu hỏi 2 Sinx = OK Cosx = OH Sin 2 = 1 :cos(- 4 ) = 2 2 Cos2 =1 H1:Trên hình vẽ hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng cosx.Tính sin 2 ;cos(- 4 ), cos2 GV:ứng với mỗi số thực x có bao nhiêu giá trị sinx, (với đơn vị đo là radian)?tơng tự với cosx ,tanx và cotx? Ta có định nghĩa sau (giáo viên viết định nghĩa lên bảng ) Cho 1h\s đọc lại định nghĩa H4:Hãy cho biết tâp xác định của các hàm số y=sinx và y = cosx? Viết: Sinx : R R x sinx H4:có nhận xết gì về tính chẵn lẻ của hàm số y =sinx? Đối với hàm số y= cosx? P3:Có 1 giá trị sinx duy nhất Tơng tự ứng với mỗi giá trị x cũng có duy nhất 1 giá trị cosx, tanx và cotx P4:Tập xác định của các hàm số y=sinx, y=cosx là R P5:Hám số y = sinx là một hàm số lẻ vì sin(-x) = sinx với mọi x thuộc R Hàm số y=cosx là một hàm số chẵn vì cos(- x) =cosx với mọi x thuộc R a) Tớnh cht tun hon ca cỏc hm s y = sinx v y = cosx: Hot ng ca giỏo viờn Hot ng ca hc sinh H? Cho ng thc sin(x+T)=sinx, x . S T cú th l dng no ? Gi ý: Ta ó bit vi mi s nguyờn k: H? Tìm số T dương nhỏ nhất (T=k2 π )? GV : Ta nói hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π . GV giải thích từ ‘tuần hoàn’? sin(x+k2 π ) = sinx với x ∀ Vậy T = k2 π Gợi ý: T = 2 π . b) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Do hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên một đoạn có độ dài 2 π , chẳng hạn trên đoạn [- π ; π ]. Cho (OA,OB) tăng từ - π đến π . • Khi x tăng từ - π đến - 2 π thì M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm K chạy dọc trục sin từ O đến B’. Do đó OK , tức sin, từ 0 đến -1. • Khi x tăng từ - 2 π đến 2 π thì OK tăng từ -1 đến 1. • Khi x tăng từ 2 π đến π thì OK giảm từ 1 đến 0. x A' B B' A O M K x A' B B' A O M K x A' B B' A O M K Gợi ý: H? Hãy lập bảng biến thiên của hàm số y = sinx trên đoạn [- π ; π ]? H? Hãy nêu cách vẽ đồ thị hàm số y=sinx trên R? Nhận xét: 1) Dựa vào đồ thị ta thấy tập giá trị là [-1; 1]. Hàm số y = sinx đồng biến trên (- 2 π 2 π ). 2) Do tính tuần hoàn với chu kì 2 π của hàm số y=sinx nên nó đồng biến trên mỗi khoảng (- 2 π + k2 π ; 2 π + k2 π ) k ∈ Z. Yêu cầu học sinh thực hiện x - π - 2 π 0 2 π π y=sin x Gợi ý: • Vẽ đồ thị hàm số y = sinx trên [0; π ] • Lấy đối xứng qua gốc O phần đồ thị trên ta được đồ thị hàm số y = sinx trên [- π ; π ]. Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R. • Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái và sang phải những đoạn có độ dài 2 π , 4 π , 6 π . (Đồ thị này ta gọi là đường hình sin) 4 2 -2 -4 -5 5 c) Sự biến thiên và đồ thị của hàm s è y = cos x 0 1 -1 0 0 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H? Hãy nêu cách khảo sát sự biến thiên hàm số y = cosx? H? Có cách khác không? - H? Nhìn vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số y=cosx trên đoạn bất kì, ví dụ trên đoạn [- π ; π ]? Yêu cầu học sinh làm hoạt động H4? H? Nhìn vào đồ thị hãy tìm tập giá trị của hàm số y=cosx? Yêu cầu học sinh thực hiện H5? Gợi ý: Tương tự cách khảo sát hàm số y=sinx. Gợi ý: Ta có cosx = sin(x+ 2 π ) với mọi x. Ta có thể tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài 2 π Ta cũng gọi là đường hình sin. 4 2 -2 y -5 5 y=cosx y=sinx - π π - π 2 π 2 x E 1 Gợi ý: • Tập giá trị của y=cosx là [-1; 1]. • Do hàm số y= cosx là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số y = cosx nhận trục tung làm trục hoành. • Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng (- π ; 0). Từ đó do tính chất tuần hoàn với chu kì 2 π , hàm số y=cosx đồng biến trên mỗi khoảng (- π +k2 π ; k2 π ), k ∈ Z Ghi nhớ: Hàm số y = sinx Hàm số y=cosx • Có tập xác định là R; • Có tập xác định là R; • Có tập giá trị là [-1; 1]; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π ; • Đồng biến trên mỗi khoảng ( - 2 π + k2 π ; 2 π + k2 π ) k ∈ Z và nghịch biến trên mỗi khoảng (- 2 π + k2 π ; 2 3 π +k2 π ), k ∈ Z. • Có đồ thị là một đường hình sin. • Có tập giá trị là [-1; 1]; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π ; • Đồng biến trên mỗi khoảng (- π + k2 π ; π + k2 π ) k ∈ Z và nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2 π ; π +k2 π ), k ∈ Z. • Có đồ thị là một đường hình sin. 2. Các hàm số y = tanx và y = cotx: a) Định nghĩa: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Yêu cầu học sinh đọc định nghĩa SGK H? Hãy nêu tập xác định của hàm số tang? Ta có thể viết: cot: D 1 → R x  cotx H? Hãy nêu tập xác định của hàm số côtang? Ta có thể viết: cot: D 2 → R x  cotx • Định nghĩa: Quy tắc cho tương ứng mỗi số x tập xác định với số thực tanx = x x cos sin được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Gợi ý: Tập xác định của y =tanx là D 1 = R\ { 2 π +k π |k ∈ Z} • Định nghĩa : Quy tắc cho tương ứng mỗi số x tập xác định với số thực cotx = x x sin cos được gọi là hàm số cotang, kí hiệu là y = cotx. Gợi ý: Tập xác định của y = cotx là D 2 = R\ {k π | k ∈ Z} H? Xét tính chẵn lẻ của các hàm số y=tanx, y = cotx? Gợi ý: Hàm số y=tanx, y = cotx là các hàm số lẻ trên tập xác định của nó. b) Tính chất tuần hoàn: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H? Tìm số T dương nhỏ nhất sao cho a) tan(x + T) = tanx, 1 Dx ∈∀ b) cot(x + T) = cotx, 2 Dx ∈∀ GV : Ta nói hàm số hàm số y = tanx và y = cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kì π . Gợi ý : a)T = k π , k ∈ Z T = π là số dương nhỏ nhất. b) T = k π , k ∈ Z T = π là số dương nhỏ nhất. c) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tan x : Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Do tính tuần hoàn với chu kì π của hàm số y = tanx, ta chỉ cần khảo sát sự biến thiên của nó trên khoảng (- 2 π ; 2 π ) ⊂ D 1 . H? Xét sự biến thiên của hàm số y=tanx trên (- 2 π ; 2 π ) ? *Yêu cầu học sinh thực hiện H6 : Tại sao có thể khẳng định hàm số y=tanx đồng biến trên mỗi khoảng (- 2 π +k2 π ; 2 π +k2 π ) ? Gợi ý : Khi cho x=(OA,OM) tăng từ - 2 π đến 2 π thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến B’. Khi đó tanx tăng từ - ∞ đến ∞ . Gợi ý : Hàm số y=tanx đồng biến trên (- 2 π ; 2 π ) nên do tính chất tuần hoàn với chu kì π , nó đồng biến trên khoảng (- 2 π +k2 π ; 2 π +k2 π ). H ? Yêu cầu học sinh vẽ bảng biến thiên của hàm số y=tanx trên (- 2 π ; 2 π ) ? H ? Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của hàm số y=tanx ? H ? Nêu tập giá trị, tính chẵn lẻ của hàm số y=tanx ? 2 -2 -4 -5 5 π 2 - π 2 3 π 2 -3 π 2 π - π f x ( ) = tan x ( ) O x D Nhận xét : • Tập giá trị của hàm số y=tanx là R. • Là hàm số lẻ trên TXĐ. • Các đường thẳng x= 2 π +k2 π , k ∈ Z được gọi là đường tiệm cận. d) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cot x : Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H ? Tương tự trên, hãy khảo sát hàm số y = cotx ? H ? Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = cotx ? Gợi ý : • TXĐ D 2 = R\{k π | k ∈ Z} • Là hàm số tuần hoàn chu kì π . • Đi qua điểm k π . • Các đường tiệm cận là x = k π 4 2 -2 -5 5 j h x ( ) = cos x ( ) sin x ( ) -3 π 2 π 2 - π 2 3 π 2 π - π f x ( ) = tan x ( ) O y x D Ghi nhớ : Hàm số y=tanx Hàm số y=cotx • Có tập xác định là D 1 = R\ { 2 π +k π |k ∈ Z} • Có tập giá trị là R. • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π . • Đồng biến trên khoảng (- 2 π +k2 π ; 2 π +k2 π ), k ∈ Z. • Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x= 2 π +k2 π (k ∈ Z) làm một đường tiệm cận. • Có tập xác định là D 2 = R\ {k π |k ∈ Z} • Có tập giá trị là R. • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π . • Nghịch biến trên khoảng (k π ; π +k π ), k ∈ Z • Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = k π (k ∈ Z) làm một đường tiệm cận. 3. Về khái niệm hàm số tuần hoàn: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H? Hãy nêu các hàm số tuần hoàn đã học? H? Vậy hàm số y = f(x) là hàm số tuần hoàn khi nào? (Yêu cầu học sinh đọc sgk-T13) Gợi ý: Các hàm số y = sinx, y=cosx là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π ; các hàm số y = tanx, y = cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kì π . Định nghĩa: Hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có • x+T ∈ D, x-T ∈ D • f(x+T) = f(x) Nếu có số T dương nhỏ nhất thoã mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T. H? Hãy nêu các bước xác định một hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì T? Yêu cầu học sinh làm ví dụ SGK trang13. Gợi ý: • Tìm số T thoả mãn các điều kiện: 1) x+T ∈ D, x-T ∈ D với ∀ x ∈ D 2) f(x+T) = f(x) với ∀ x ∈ D • Số T nhỏ nhất : T là chu kì của hàm số tuần hoàn. I. Bài tập về nhà : SGK Tiết 5 : Luyện tập : Bµi 1.hµm sè lîng gi¸c A. Mục tiêu : 1. Về kiến thức : - Củng cố kiến thức về các tính chất chẵn-lẻ, tính chất tuần hoàn của hàm số. - Ngoài ra vận dụng kiến thức đã học để làm một số các bài tập về đồ thị của hàm số lượng giác. 2. Về kĩ năng : [...]... ngha l cos =m thỡ cos =m x = + k 2 , x = + k 2 k Z (IIa) H ? Ly nghim ca phng trỡnh (II)? Yờu cu hc sinh gii cỏc phng trỡnh: cosx =1 cosx = -1 Yờu cu hc sinh thc hin hot cosx = 0 ? ng H5 ? Chỳ ý : 1) cosx = 1 x = k 2 cosx = -1 x = + k 2 cosx = 0 x = + k 2 2) |m| 1, phng trỡnh cú ỳng mt nghim nm trong [0; ] Ngi ta thng kớ hiu nghim ú Yờu cu hc sinh lm H6? l arccosm Khi ú x = a rc cos m... trỡnh cosx = m: Hot ng ca giỏo viờn Cho m l mt s tu ý, xột phng Hot ng ca hc sinh trỡnh cotx = m (IV) H? Nờu tp xỏc nh ca phng Gi ý: D = R\{ k , k Z} trỡnh? Tng t i vi phng trỡnh tanx=m, ta cú Nu l mt nghim ca phng trỡnh (III), ngha l cot =m thỡ cot =m x = + k , k Z.(VIa) Vớ d: Gii phng trỡnh: a) cotx = 1 3 b) cot3x = 1 Gi ý: 1 a) Gi l mt s m cot = 3 , ta cú cotx = 1 x = + k 3 b) cot3x... = 1 x = + k 3 b) cot3x = 1 cot3x = cot 3x = x= 4 = + k 6 Mt s iu cn lu ý: Yờu cu hc sinh c mc ny 4 +k k + 12 3 Chỳ ý: 1) D thy rng vi mi s m cho trc, cotx =m luụn cú mt nghim nm trong khong (0; ) ngi ta thng hiu nghim ú l arccotm Khi ú: cotx = m x = arc cot m + k 2) cot =cot Yờu cu hc sinh lm H8? 1) Khi ó cho s m, ta cú th tớnh c cỏc giỏ tr arcsinm, arccosm (|m| 1),arctanm bng mỏy tớnh... trờn mỏy sin 350, cos 1250? tớnh H? Hóy gii cỏc phng trỡnh lng Gi ý: giỏc: a) cosx = 0,4 x = arccos 0,4 + k a) cosx = 0,4 b) sinx = 0,6 c) tanx = 2 b) sinx = 0,6 x = a rc sin 0,6 + k 2 d) cotx = 3? x = a rc sin 0,6 + k 2 c) tanx = 2 x = arctan 2 + k d) cotx = 3 x = arccot 3 + k H? S dng mỏy tớnh b tỳi tớnh Gi mt hc sinh ng ti ch tr li cỏc giỏ tr arccos 0,4; arctan 2; arccot 3; arcsin 0,6?... thnh tớch gii cỏc phng trỡnh sau: a)cos3x = sin2x b) sin(x-120o) cos2x = 0 Hot ng ca hs Hot ng ca gv nhn nhim v Giao nhim v cho cỏc nhúm nh li cụng thc nghim ca phng Bao quỏt lp,gi ý nu cn trỡnh sinx = sin v cosx = cos Cho cỏc nhúm bỏo cỏo kt qu hot ng theo nhúm nhn xột ỏnh giỏ bi lm ca hs pt (a) tng ng gv kt lun cos3x = co s( 2 -2x) pt (b) tng ng cos(210o x) =cos2x i din trỡnh by kt qu nhn xột... Z) 3 k x = + 6 2 + Lu ý với học sinh cách viết đơn vị độ và radian k Vậy nghiệm của (1) là x = + + Chú ý cách trình bày biến đổi t6 2 ơng đơng 2 2) cos(x + 30 ) + 2 cos 15 = 1 cos(x + 30) = 1 + 2 cos 2 15 cos(x + 30) = cos 30 cos(x + 30) = cos150 x + 30 = 150 + k 360 x + 30 =150 + k 360 x = 120 + k 360 x =180 + k 360 Vậy pt có các nghiệm x = 120 + k 360 x = 180 + k 360 là và... Đặt cotx = t ta có pt 2 t t 2 = 0 t=-1 và t=2 Do đó : cot 23x cot 3x 2 = 0 cot 3x = 1 cot 3x = 2 3x = 3 + k 4 3x = ar cot 2 + k x= +k 4 3 1 x = ar cot 2 + k 3 3 Vậyc pt đã cho có các nghiệm là x= + k va 4 3 1 3 x= arc cot 2 + k 3 Hớng dẫn giải: - Chuyển về pt ẩn tanx -Giải ra ta đợc tanx=1 và tanx=- 2 5 2) Giải pt 5tanx-2cotx-3=0 (4) Biểu diễn nghiệm trên đờng tròn lợng -Hớng dẫn... vy pt ó cho cú nghim x= v x= 5 + k2 6 + k2 6 a.Vy pt ó cho cú nghim x= b) t cotx = t ta cú pt t 2 t 2 = 0 x= 5 + k2 6 t=-1v t=2 Do ú : cot 23x cot 3x 2 = 0 + k2 v 6 cot 3x = 1 cot 3x = 2 3 3x = 4 + k 3x = ar cot 2 + k x= +k 4 3 1 x = ar cot 2 + k 3 3 b.Vy pt ó cho cú nghim x= + k v 4 3 1 3 x= arc cot 2 + k 3 Hoạt động 3: (Củng cố) Nêu các bớc giải pt bậc nhất và bậc hai đối... bản ứng với giá trị của ẩn phụ 5) Kết luận nghiệm Bài tập về nhà: Bài 27,28 (trang 41 SGK) Tit:15-16 - 17 - 18: Luyện tập Bi 3: Mt s phng trỡnh lng giỏc thng gp hot ng 1: gii cỏc phng trỡnh sau a)cos(3x 15o) = c) sinx = 1 2 2 2 b) 3 cot3x + 1 = 0 d) tan(x-1) = 5 Hot ng ca hs nhn nhim v hot ng thheo nhúm gii bi toỏn a cos(3x 15o) = - 2 2 cos(3x- 15o) = cos135o 3x 15o = 135o + k360o hoc 3x 15o = -135o... 8 Xét 4 hàm số y = 2sin2x+3 C) 8 y = cos(x - Số hàm chẵn là: A) 3 B) 4 C) 1 9 Tìm chu kỳ của hàm số y = cos3x + 2 2 3 D) 7 y = cos2x+cos2x y = sinx+cosx A) T= B) T=2 C) T= 2 ) D) 2 3 D) T= x 10 Giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số y = 2 sin 2x +1 theo thứ tự là : A) 1 và 2 B) 0 và 1+ 2 C) 0 và 1; D) 1 - B: Tự luận: 1 Cho phơng trình :2m(sinx + cosx ) = 2m2 + cox sinx + a) Giải với m= 2 b) Tìm m . arccotm. Khi đó: cotx = m π kmarcx +=⇔ cot 2) cot α =cot β παβ k +=⇔ Gợi ý: D = R{ π k , k ∈ Z} Gợi ý: a) Gọi α là một số mà cot α = 3 1 − , ta có cotx. nghĩa là cos α =m thì cos α =m    +−= += ⇔ πα πα 2 2 kx kx , k ∈ Z. (IIa) Yêu cầu học sinh giải các phương trình: cosx = 1 cosx = -1 cosx = 0 ? 1) cosx