phơng trình vô tỉ cách giải phơng trình vô tỉ phần thứ nhất đặt vấn đề. I. Lý do chọn đề tài Trong chơng trình Toán THCS, các bài toán về phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn( hay còn gọi là phơng trình vô tỉ) không đợc đợc đề cập trong một phần mục riêng nhng nó lại có nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng. Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức khác nh: phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức .Nó nâng cao khả năng vận dụng, phát triển khả năng t duy cho học sinh, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức đợc sử dụng thi đầu vào khối THPT. Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy HS th- ờng mắc một số khuyết điểm sau khi giải phơng trình vô tỉ: - Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phơng trình . - Chỉ giải đợc dạng phơng trình đơn giản trong SGK. - Khi bình phơng hai vế của phơng trình để làm mất căn bậc hai thờng các em không tìm điều kiện để cả hai vế không âm. - ở dạng phức tạp hơn thì các em cha có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rất hạn chế, các em thờng không có cơ sở kiến thức để phát triển phơng pháp giải. Để giúp các em học sinh nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phơng pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết chuyên đề: '' Các dạng phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn và cách giải'' áp dụng cho khối THCS . Hy vọng chuyên đề này phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em học sinh khi gặp dạng phơng trình này và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. Với kinh nghiệm còn hạn chế và thời gian nghiên cứu cha nhiều, chuên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này có thể đợc áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lợng học tập của các em học sinh. II - Đối tợng nghiên cứu: - Học sinh lớp 9 trờng THCS. - Học sinh thi học sinh giỏi huyện. Iii- phơng pháp nghiên cứu: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK 1 - Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tợng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, kém. - Đa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. - Tham khảo các trờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều kinh nghiệm. - Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh. - Dạy thực nghiệm một tiết trên 2 lớp 9 của trờng. iV - Phạm vi nghiên cứu: - Giới thiệu, nghiên cứu phơng trình vô tỉ trong chơng trình đại số lớp 9 v - điều tra cơ bản: * Tổng số học sinh khối 9: - 42 học sinh/2 lớp 9 - đại trà. - 1 học sinh đội tuyển Toán giỏi trờng tham dự thi học sinh giỏi huyện. * Phân loại: - Khá, giỏi: 10 học sinh. - Trung bình: 20 học sinh. - Yếu, Kém: 12 học sinh. * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 42/42 học sinh có đủ. phần thứ hai 2 giải quyết vấn đề i - Kiến thức cần sử dụng Để giải quyết tốt các vấn đề về phơng trình vô tỉ thì học sinh cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau: 1. + Khái niệm về phơng trình, nghiệm của phơng trình, ĐKXĐ của phơng trình + Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phơng trình tơng đơng. + Cách giải các loại phơng trình cơ bản nh: Phơng trình bậc nhất một ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình bậc hai một ẩn số . + Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số. 2 . Học sinh nắm chắc: + Các kiến thức về phơng trình nói chung và phơng pháp giải các loại phơng trình đã học nh phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, . + Các kiến thức cơ bản về căn thức. + Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. + Các dạng phơng trình vô tỉ, cách giải từng dạng. + Những sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ. ii - các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản và cách giải: Dạng 1: = m Đây là dạng đơn giản nhất của phơng trình vô tỉ. I.Ví dụ: Giải các phơng trình sau: 1) 212 = x ĐKXĐ: 2 1 x 2x 1 = 4 x = 2 5 ( Thoả mãn) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2 5 2) 4581223 =+++ xx ĐKXĐ : 3 2 x 523 523 53233 5323223 =+ =+ =+ =+++ x x x xx 3 x =1( Thoả mãn) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 1 3) 1885052 +=+ x ĐKXĐ : 2 5 x )( 2 5 052 052 Tmx x x = = = Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2 5 4) 124834 =+ x ĐKXĐ : 4 3 x 3234 = x (Vô lý) Vậy phơng trình vô nghiệm II.Nhận xét Phơng trình = m - Nếu m > 0 thì ta bình phơng 2 vế - Nếu m = 0 thì f(x) = 0 - Nếu m< 0 thì phơng trình vô nghiệm 2 Dạng 2 = g (x) (1). I. Ví dụ 1) Giải phơng trình: 5 + x = 1 - x (1) Giải Phơng trình (1) 1 - x 0 x 1 (2) x + 5 = (1 - x) 2 x 2 - 3x - 4 = 0 (3) Giải phơng trình (3) : (x + 1)(x - 4) = 0 => x = -1 hoặc x = 4 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = -1 thoả mãn Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình (1). 2) x + 313 =+ x Để đơn giản hơn ta có thể trình bày lời giải nh sau ĐKXĐ: x -1/3 089 )303()3(13 313 2 2 =+ =+ =+ xx xxxx xx x = 1( tm) ; x = 8(loại) Vậy nghiệm của phơng trình là x =1 II. Cách giải: 4 = g (x) g(x) 0 (2). f(x) = [g(x)] 2 (3). Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phơng trình (1). Dạng 3: Biểu thức ở dới dấu căn có dạng bình phơng I. Ví dụ: Giải các phơng trình sau 1) = = = = = = =+ 1 7 43 43 43 4)3( 496 2 2 x x x x x x xx Vậy nghiệm của phơng trình là x = 7 ; x=-1 2) (*)254 25)4( xx xx =+ =+ - Nếu x -4 thì phơng trình (*) có dạng x+ 4 = 5 2x x = 3 2 ( Tm) - Nếu x<-4 thì - x- 4 = 5 2x x = 9( loại) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3 2 3) 12 2 ++ xx + 96 2 + xx = 4 (1) Giải Phơng trình (1) 4)3()1( 22 =++ xx 431 =++ xx (2) 5 +) NÕu 3 3 1 03 01 ≥⇔    ≥ −≥ ⇔    ≥− ≥+ x x x x x (*) PT (2) cã d¹ng x + 1 + x - 3 = 4 ⇔ x = 3 tho¶ m·n (*) +) NÕu    > −< ⇔    >− <+ 3 1 03 01 x x x x (kh«ng x¶y ra) +) NÕu 31 3 1 03 01 <<−⇔    < −> ⇔    <− >+ x x x x x (**) PT (2) cã d¹ng x + 1 + 3 - x = 4  0x = 0 PT nµy cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n (**) +) NÕu 1 3 1 03 01 −≤⇔    < −≤ ⇔    <− ≤+ x x x x x (***) Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: - x - 1 - x + 3 = 4 ⇔ - 2x = 2 ⇔ x = -1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (***) . KÕt hîp nghiÖm ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm -1 3 ≤≤ x 4) 143 −++ xx + 5168 =−−+ xx (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x 1 ≥ Ph¬ng tr×nh (1) ⇔ 4141 +−+− xx + 913.21 +−−− xx = 5. ⇔ 5)31()21( 22 =−−++− xx 6 1 x +2 + 31 x = 5 (do x 1 ) 1331 = xx Vì vế trái luôn không âm nên ta có: 3 - 9103101 xxx 101 x Kết hợp điều kiện ta thấy 101 x là nghiệm của phơng trình đã cho II.Nhận xét -Nêú biểu thức ở dới dấu căn viết đợc dới dạng bình phơng thì đa về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 4 : Biểu thức ở ngoài biến đổi đợc theo biểu thức ở dới dấu căn( trong căn) : I.Ví dụ: Giải phơng trình sau: 1) 0633 33 22 22 =++ =+ xx xx Đặt )0(3 2 =+ yyx Thì phơng trình có dạng 2 y - y 6 =0 y = 3 (tm) ; y = -2( loại) y = 3 6633 22 ===+ xxx Vậy nghiệm của phơng trình là x = 6 ; x = - 6 2) x 2 + 53 2 + xx = 3x + 7 (1) Giải Phơng trình (1) x 2 - 3x - 7 + 53 2 + xx = 0 x 2 - 3x + 5 + 53 2 + xx - 12 = 0 (2) Điều kiện: x R Đặt 53 2 + xx = t ( t 0 ) => x 2 - 3x + 5 = t 2 (*) Phơng trình (2) có dạng : t 2 + t - 12 = 0 = 49 > 0 = 7 Vậy phơng trình có hai nghiệm: t 1 = 3 ; t 2 = - 4 Vì t 0 nên t = 3 thoả mãn . Theo (*) ta có : x 2 - 3x +5 = 9 7 x 2 - 3x - 4 = 0 <=> (x+1)(x-4) = 0 Vậy nghiệm của phơng trình là: x = -1 ; x= 4. II.Nhận xét -Nếu biểu thức bên ngoài biến đổi đợc theo biểu thức trong căn thì thờng đặt ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ là không âm) Dạng 5 : mxgaxfxgaxf =++ )()()()( I .Ví dụ : Giải phơng trình 69696 =++ xxxx ĐKXĐ: x 2/3 3696)96)(96(296 =++++ xxxxxxxx 2x + 2 96 2 + xx = 36 x + 3 x = 18 -Nếu x 3 thì phơng trình có dạng x + x- 3 = 18 x = 21/2( Tm) -Nếu x<3 thì phơng trình có dạng x x + 3 = 18 0x = 15(PTVN) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 21/2 II. Ph ơng pháp giải Dùng phơng pháp bình phơng 2 vế : Dạng 6 + = m ( m là hằng số) I .Ví dụ : Giải phơng trình 1) 271 =+ xx ĐKXĐ: x -1 ; x 7 )(8 17 17 77441 721 tmx x x xxx xx = = = ++=+ +=+ Vậy nghiệm của phơng trình là x = 8 2) Giải phơng trình: 3 + x + x 1 = 2 (1) Giải Điều kiện: x + 3 0 x - 3 -3 x 1 (*) 8 1 - x 0 x 1 Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta có: x + 3 + 1 - x + 2 3 + x . x 1 = 4 3 + x . x 1 = 0 => x = 1 hoặc x = -3 Cả 2 nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là : x = -3 hoặc x = 1 II.Ph ơng pháp giải - Đặt ĐKXĐ - Bình phơng 2 vế . - Chú ý đặt điều kiện 2 vế không âm Dạng 7 + = I. Ph ơng pháp giải - Đặt ĐKXĐ - Bình phơng 2 vế . II.Ví dụ: Giải phơng trình 15 x - 23 x = 1 x (1) Giải Điều kiện: 5x - 1 0 x 5 1 3x - 2 0 x 3 2 x 1 (*) x - 1 0 x 1 Phơng trình (1) có dạng : 15 x = 23 x + 1 x Với điều kiện (*) bình phơng 2 vế của phơng trình (1) ta có : 5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2 23 x . 1 x x + 2 = 2. 23 x . 1 x Với x 1 cả hai vế của phơng trình này không âm , bình phơng 2 vế của phơng trình ta đợc: (x + 2) 2 = 4.(x - 1)(3x - 2) x 2 + 4x + 4 = 12x 2 - 20x + 8 = 0 11x 2 - 24x + 4 = 0 (x - 2)(11x - 2) = 0 x = 2 hoặc x = 11 2 Theo điều kiện (*) thì phơng trình chỉ có nghiệm x = 2 Vậy x = 2 là nghiệm của phơng trình Dạng 8 9 + + n = g(x) (1) I.Sơ đồ cách giải. Điều kiện: f(x); h(x) 0. Đặt t= + (t 0) => t 2 = f(x) +h(x) +2 từ đó ta giải tiếp => =( t 2 - f(x) - h(x)):2 II.Ví dụ : Giải phơng trình 1 + x + x 3 - 1 + x . x 3 = 2 (1) Giải Điều kiện : x + 1 0 3 - x 0 -1 x 3 (*) Đặt t = 1 + x + x 3 ( t > 0) , ta có : t 2 = x + 1 + 3- x+ 2 1 + x . x 3 => 2 1 + x . x 3 = t 2 - 4 (**). Khi đó phơng trình (1) có dạng: 2t - ( t 2 - 4 ) = 4 t 2 -2t = 0 t .( t - 2) = 0 (2) Phơng trình (2) có hai nghiệm là t 1 = 0; t 2 = 2. Nghiệm t = 2 thoả mãn điều kiện: t > 0 Khi t = 2 theo (**), ta có : 2 1 + x . x 3 = 2 2 - 4 1 + x . x 3 = 0 = > x = -1 hoặc x = 3 Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn điều kiện (*) Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3 III. Nhận xét chung - Nh vậy đứng trớc một bài giải phơng trình vô tỉ nhìn chung ta có một số phơng pháp giải sau: + Bình phơng hai vế ( Chú ý đăt ĐKXĐ và điều kiện 2 vế không âm) + Đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối + Đặt ẩn phụ ( Chú ý điều kiện của ẩn phụ) - Ngoài 3 phơng pháp chủ yếu ở trên thì còn có Ph ơng pháp dùng bất đẳng thức đợc dùng ở nhiều dạng khác nhau. 1)Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau. Khi đó phơng trình vô nghiệm: Ví dụ 1: Giải phơng trình 822 =+ xx Giải Điều kiện: x 2 Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên ph ơng trình là vô nghiệm 10 [...]... trên, trong chuyên đề này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giản là giúp cho học sinh trong việc giải phơng trình vô tỉ, để học sinh có thêm những phơng pháp giải cụ thể, dễ nhớ, có hiệu quả Qua chuyên đề cho thấy, mọi vấn đề dễ, khó đều có hớng giải quyết tốt nếu nh ngời giáo viên giúp học sinh biết biến các vấn đề phức tạp thành đơn giản hơn và quen thuộc hơn 17 Để áp dụng có hiệu quả chuyên đề này: + Đối... tìm đọc tài liệu tham khảo, su tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi viết chuyên đề '' Các dạng phơng trình chứa ẩn ở dới dấu căn và cách giải' ' Sau khi áp dụng ở trờng, tôi thấy chuyên đề này đã phần nào có tác dụng đối với học sinh lớp 9 của trờng, nó tạo hứng thú học toán đối với các em đặc biệt là dạng toán mà thờng ngày các em rất ngại Chuyên đề này đã cố gắng xây dựng một hệ thống... em trớc khi giải toán phơng trình cần xác định rõ dạng của phơng trình này và phơng pháp giải hớng dẫn học sinh phân tích bài toán, phán đoán cách giải, các bớc giải để các em đi đến lời giải thông minh và ngăn gọn nhất, đạt hiệu quả cao - Rèn kỹ năng giải phơng trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạng phơng trình và thờng xuyên chú ý đến những sai lầm của học sinh thờng mắc phải khi giải phơng... đề này đợc áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong các trờng học THCS hoặc sử dụng để bồi dỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, là cơ sở vững chắc cho 16 các em học tốt hơn khi học THPT trong bộ môn Toán, đặc biệt là toán giải phơng trình vô tỉ VIII.Những vấn đề còn bỏ ngỏ Trong chuyên đề này, tôi đã đề cập nhiều dạng phơng trình vô tỉ điển hình,... công thức có chứa dấu căn - Lựa chọn phơng pháp giải phù hợp đối với từng dạng phơng trình để có lời giải ngắn gọn và hiệu quả - Thờng xuyên lu ý học sinh các sai sót mà các em thờng mắc phải khi giải phơng trình vô tỉ để các em có thể tránh đợc - Nếu có cơ hội cần tạo ra những bài toán mở rộng khác, các bài toán liên quan đến bài tập cơ bản +) Đối với tổ chuyên môn và hội đồng khoa học nhà trờng cần... ra ví dụ - Một số học sinh khi giải đã trả lời thấy hứng thú hơn khi giải phơng trình đặc biệt là phơng trình vô tỉ Qua việc kiểm tra đánh giá chất lợng 37 học sinh đại trà sau 2 lần kiểm tra tôi đã thu đợc một số kết quả cụ thể nh sau: Thời điểm KT Điểm dới 5 Điểm 5 trở lên SL % SL % Kiểm tra trớc khi áp dụng chuyên đề 22 59,5 15 40,5 Kiểm tra sau khi áp dụng chuyên đề 14 37,8 23 62,2 Từ kết quả cụ... làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lợng bài tập về nhà có nội dung tơng tự hoặc mở rộng hơn để các em đợc tự mình giải các loại phơng trình vô tỉ Nếu có đợc những việc làm trên tôi xin chắc rằng tất cả các em học sinh sẽ không còn lúng túng, ngại ngùng khi giải toán phơng trình đặc biệt là phơng trình vô tỉ VII.Điều kiện áp dụng Nh tôi đã trình bày ở trên bản chuyên đề này đợc... đề cập nhiều dạng phơng trình vô tỉ điển hình, ở mỗi dạng tôi cố gắng đa ra đợc những nhận xét hoặc phơng pháp giải Song còn có một số dạng không điển hình, phơng trình vô tỉ chứa tham số, chứa căn bậc ba, tôi cha đề cập đợc Trong chuyên đề này, một số dạng nội dung còn sơ sài, còn nhiều vấn đề cha mở rộng, đi sâu, rất mong các bạn đồng nghiệp triếp tục đi sâu nghiên cứu cho hoàn thiện thêm phần thứ... x + 4 x + 4 = 4 2 x 2 3x + 8 =x-4 10 x x 4 x 1 =1 =x-3 2 VI Kết quả áp dụng chuyên đề Qua việc dạy chuyên đề về phơng trình chứa ẩn dới dấu căn đối với học sinh nói chung và đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở học sinh tôi đã thu đợc một số kết quả dới đây - Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phơng trình vô tỉ - Làm tốt dạng tìm ĐKXĐ của biểu thức có chứa căn bậc hai... hàm số: Ví dụ1: Giải phơng trình x +1 + x + 8 =7 (1) Giải Ta thấy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1) Nếu x < 8 thì x +1 < 3; x +8 < 4 Vậy vế trái nhỏ hơn 7 x < 8 không là nghiệm của phơng trình (1) Nếu x > 8 thì x +1 > 3; x +8 > 4 Vậy vế trái lớn hơn 7 x > 8 không là nghiệm của phơng trình (1) Vậy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 2: Giải phơng trình 3 x 2 + x +1 = 3 (1) Giải Ta thấy x = . hiệu quả. Qua chuyên đề cho thấy, mọi vấn đề dễ, khó đều có hớng giải quyết tốt nếu nh ng- ời giáo viên giúp học sinh biết biến các vấn đề phức tạp thành. khi giải toán phơng trình cần xác định rõ dạng của phơng trình này và phơng pháp giải hớng dẫn học sinh phân tích bài toán, phán đoán cách giải, các bớc giải