ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THỜI GIAN 150 PHÚT Câu 1(4đ): Giải các hệ phương trình sau: a) 7 2 5 2 1 x y x y x y x y  + + + =   + + − =   b) ( 1) ( 1) 2 1 1 x y y x xy x y y x xy  − + − =   − + − =   Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 x y z P x y z = + + + + + Câu 3(3đ): Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2 1 1 1a b c + + ≥ + + + Chứng minh rằng: 1 8 abc ≤ . Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ là đường kính của đường tròn (O). Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và d là tiếp tuyến của (O) tại C. Gọi AH, BI là các đường cao của tam giác. a) Chứng minh HI // d. b) Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đường thẳng d. chứng minh rằng MN = EF Câu 6(2đ): Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chia hết cho 12 . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN THỜI GIAN 150 PHÚT Câu 1(4đ): Giải các hệ phương trình sau: a) 7 2 5 2 1 x y x y x y x y  + +. x y x y  + + + =   + + − =   b) ( 1) ( 1) 2 1 1 x y y x xy x y y x xy  − + − =   − + − =   Câu 2( 3đ): Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi