Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 20102010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút đề thức Bài 1: (1,5 điểm) Cho a 2 :     1      HÃy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) xy a) Giải hệ phơng trình: xy x 16 y y  x  b) T×m m để phơng trình x 2x 3x  6x  m 0 cã nghiÖm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mÃn k k 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi th× p  a  p  b p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB t¹i C Chøng minh r»ng: a) MB.BD MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - gi¸c EFGHIJKM cã c¸c gãc b»ng Chøng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ HÕt -Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị Số báo danh: ..Phòng thi số: … … Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: (1,5 ®iÓm)  a 2 :    1   a= 2:  7   2 :     1  7  1 0,5 đ 0,25 đ Đặt x a  x    x    x  2x  7 0,5 ®  x  2x  0 Vậy phơng trình x 2x nhận 0,25 đ làm nghiệm Bài 2: (2,5 ®iĨm)  xy  a)  xy   x 16  x 16 xy     y y   y  y  x 5   x y x (1) ĐK: x, y 0,25 đ (2) Giải (2)  6y  6x 5xy  (2x  3y)(3x  2y) 0  3y  3y 16 y   2 0,25 ® * NÕu 2x  3y 0  x  Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình v« nghiƯm)  2y * NÕu 3x  2y 0  x  Thay vµo (1) ta đợc y y 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - Víi y 3  x (thoả mÃn điều kiện) - Với y x (thoả mÃn điều kiện) 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) §Ỉt x  2x  y   x  1 y  x 1  y (y 0) (*) Phơng trình đà cho trở thành: y  1   y  1  m 0 0,25 ®  y  5y  m  0 (1) Tõ (*) ta thÊy, ®Ĩ phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có 0,25 đ nghiệm dơng phân biÖt     S   P   9  4m   5  m    0,25 ®  m    4m m   VËy víi  m phơng trình có nghiệm phân biệt 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy k   5; k  16  - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  10n   k  0,25 đ k không số nguyên tố - Xét k 5n (víi n  )  k 25n  20n   k  16 5 0,25 đ k 16 không số nguyên tè - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  30n   k  16 5 0,25 ®  k 16 không số nguyên tố - Xét k 5n  (víi n  )  k 25n  40n  16  k  5 0,25 ®  k  không số nguyên tố Do k   b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th×  a  b  c  3 a  b  c (*) ThËt vËy (*)  a  b  c  2ab  2bc  2ca 3a  3b  3c 0,5 ®  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 0 (lu«n ®óng) ¸p dơng (*) ta cã:  p a  p b  p c Suy  3  3p  a  b  c  3p 0,5 ® p  a  p  b  p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: 0,5 đ BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD Do MBC MDB đồng dạng Suy 0,5 đ MB MD MB.BD MD.BC BC BD    b) Gäi (J) lµ đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC BJC  hay  MBC  0,5 ®  180 BJC BCJ cân J CBJ    BJC 180 O  BJC   Suy MBC  CBJ   90 O  MB  BJ 2 0,5 ® Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB c) Kẻ đờng kính MN (O)  NB  MB Mµ MB lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC 0,5 đ Chứng minh t¬ng tù I thuéc AN     Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ 0,5 đ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E F a B b h M K G c H g d f D e J I C Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là: 0,25 đ (8 2).180O 135O Suy góc hình cạnh ®ã lµ: 180O - 135O = 45O 0,5 ® Do ®ã c¸c tam gi¸c MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 2 h b f d Ta cã AB = CD nªn: a   e 2 2  (e - a) = h + b - f - d h b f d (điều vô lý số vô tỉ) Nếu e - a ≠ th×  e a  MA = AE = VËy e - a =  e = a hay EF = IJ (®pcm) HÕt 0,25 đ Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x y xy 3   xy  3x 4 2) T×m m nguyên để phơng trình sau có nghiƯm nguyªn: 4x  4mx  2m  5m Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gän biÓu thøc: A   x2     x    x   víi  x 2   x2 2) Cho tríc sè h÷u tØ m cho m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m  b m  c 0 C©u III (2.0 ®iĨm): 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) với hệ số x số nguyên dơng biết f(5) f(3) 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp số 2) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: P  x  4x   x  6x  13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK Chøng minh r»ng: NMP 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -HÕt Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: Hớng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm néi dung 2 x  y  xy 3 (1)  (2)  xy  3x 4 §iĨm 0.25 Tõ (2)  x  Tõ ®ã y   3x , thay vµo (1) ta cã: x   3x   3x x   x 3  x x    7x  23x  16 16 Giải ta đợc x hc x = 0.25 0.25 0.25 Tõ x 1  x 1  y 1 ; x 16  x 4  y 5 7 7 0.25 4 5 7 4 7 ;  ;   ;      §iỊu kiƯn để phơng trình có nghiệm: x ' 0.25  m   5m  0  (m  2)(m  3) 0 V× (m - 2) > (m - 3) nªn:  x ' 0  m  0 vµ m  0  m 3, mµ m  Z  m = hc m = Khi m =   x ' =  x = -1 (tháa m·n) Khi m =   x ' =  x = - 1,5 (lo¹i) 0.25 VËy hƯ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);  2) 1,0điểm Vậy m = câu II 1) 2,5 ®iÓm 1,5®iÓm a 1,0®iÓm (a, b 0)  a  b2 4; a  b 2x  ab a  b3  ab  a  b  a  b  ab  A   ab  ab  ab  a  b    ab   A   ab  a  b   ab  A   2ab  a  b  2) 0.25 0.25 Đặt a x; b   x  A 2 0.25   0.25    b2  2ab  a  b   a  b   a  b   A a  b 2x  A x a m  b m  c 0 (1) Gi¶ sư cã (1)  b m  c m  am 0 (2) Tõ (1), (2)  (b2  ac) m (a m  bc) a m  bc NÕu a m  bc m số hữu tỉ Trái với giả thiết! b ac b ac 0 b3 abc     a m  bc 0 bc am b  b3 a 3m  b a m NÕu b m số hữu tỉ Trái víi gi¶ thiÕt! a  a 0;b 0 Tõ ta tìm đợc c = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Ngợc lại a = b = c = (1) Vậy: a = b = c = c©u III ®iĨm 1) 1,0®iĨm 2) 1,0®iĨm 0.25 Theo bµi f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dơng Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 V× a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P x 2 x  3  12   x   x  3 OA  0.25 0.25 0.25 22 0.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: AB 0.25 x Mặt khác ta cã: OA  OB AB  2      25   26  12 , OB   x  2  x  3  12   22  x  3 0.25  2  26 0.25 DÊu “=” x¶y A thuéc đoạn OB B thuộc đoạn OA x x Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x OB VËy Max P  26 x = câuIV 1) điểm 0,75điểm 0.25 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp  MAB , MNB   MCAP néi tiÕp  CAM CPM M 0.25   L¹i cã BNM CPM (cïng phô gãc NMP) K B    CAM BAM C D N (1) 0.25 Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân A MA lµ trung trùc cđa DE  MD = ME E 0.25 P A 2) 0.25 1,25®iĨm M K B C D N E A P   Do DE//NP nên DEK , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nªn: NAB      DEK 1800 NMB  NAB 1800  NMB     Theo gi¶ thiÕt DMK  DMK  DEK 1800 NMP  Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực cña DE  MEA MDA      MEA MDA  MEK MDC     Vì MEK DM phân giác góc CDK, kết hợp MDK MDK MDC với AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiÕp gãc DAK cđa tam gi¸c DAK 0.25 0.25 0.25 0.25 A' câu V điểm B' B O C A D' D Không tổng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC AB ' CB' Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA  AB  BC CA '  'BC B  ' AC B  'CA (1) ; B  'CA  B  'BA 1800 Ta cã: B (2) 0.25  'BA B  'BA ' (3);Tõ (1), (2), (3)  B Hai tam giác ABB ABB A 'B ' B ' A Ta cã  B'A  B'C B'A' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C không đổi B, A, C cố định) Dấu = x¶y B trïng víi B’ 0.25  'BC  B  'BA ' 1800 B  Hoµn toµn tơng tự gọi D điểm cung ADC th× ta cịng cã AD’ + CD’  AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’  Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt B, D điểm cung đờng tròn (O) AC Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải cho điểm tèi ®a SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi:Tốn (chuyên) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phút Bài 1(1.5điểm) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng: 0.25 0.25 1< a b c + +