Đang tải... (xem toàn văn)
chöùng minh heä luoân coù nghieäm.[r]
(1)91
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Dạng: f(x,y) a
g(x,y) b = ⎧
⎨ =
⎩ với
2 f(tx,ty) t f(x,y) g(tx,ty) t g(x,y)
⎧ =
⎪ ⎨
= ⎪⎩
2 Cách giải:
* Tìm nghiệm thỏa x = (hay y = 0)
* với x 0≠ ( hay y 0≠ ), đặt y tx= (hay x ty= ) * Đối với hệ 22 2
1 1
ax bxy cy d a x b xy c y d
⎧ + + + =
⎪ ⎨
+ + + =
⎪⎩
Ta khử y2 (hay x2) tính y theo x ( hay x theo y) thay vào
một phương trình hệ II CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình: 3x22 2xy y22 11 x 2xy 3y 17 m
⎧ + + =
⎪ ⎨
+ + = +
⎪⎩
1 Giải hệ phương trình với m =
2 Với giá trị m hệ có nghiệm ?
(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A) Giải
1 m = : Hệ 2
2
3x 2xy y 11 (I)
x 2xy 3y 17
⎧ + + =
⎪
⇔ ⎨
+ + =
⎪⎩
Nhận xét x = không nghiệm hệ Đặt y = tx
Hệ (I) 3x22 2tx22 t x2 22 2 11 x 2tx 3t x 17
⎧ + + =
⎪ ⇔ ⎨
+ + =
⎪⎩
2
2
x (3 2t t ) 11 (1) x (1 2t 3t ) 17 (2)
⎧ + + =
⎪ ⇔ ⎨
+ + =
⎪⎩
92
(1) chia (2): 2t t22 11 17 2t t
+ + =
+ +
2
16t 12t 40 t t
⇔ − − = ⇔ = ∨ = −
t : (2)= ⇔x 11 112 = ⇔x2= ⇔ = ±1 x 1⇒ =y 2x= ±2 t 5: (2) 3x2 16 x
4
= − ⇔ = ⇔ = ± y 5x
4
⇒ = − =∓
Tóm lại có nghieäm: (1, 2), (-1, -2), 3, , 3,
3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 Đặt 17 + m = k Heä 2
2
3x 2xy y 11 x 2xy 3y k
⎧ + + =
⎪ ⇔ ⎨
+ + =
⎪⎩
Đặt y = tx ⇒Hệ: x (3 2t t ) 11 (4)22 22 x (1 2t 2t ) k (5)
⎧ + + =
⎪ ⎨
+ + =
⎪⎩
2
(4) 2t t: 11 (k 33)t 2(k 11)t 3k 11 (5) 2t 3t k
+ + = ⇔ − + − + − =
+ +
* k = 33: ⇒m 16,= phương trình (6) có nghiệm t = - * k 33 : (6)≠ có nghiệm:
2
' (k 11) (k 33)(3k 11)
⇔ ∆ = − − − − ≥ =k2−44k 121 0+ ≤ 22 11 k 22 11
⇔ − ≤ ≤ +
với k = m + 17
22 11 m 17 22 11 11 m 11
⇔ − ≤ + ≤ +
⇔ − ≤ ≤ +
Ví dụ 2:
Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm
2
xy y 12 x xy m 26
⎧ − =
⎪ ⎨
− = +
⎪⎩
Giaûi Heä y(x y) 12 (1)
x(x y) m 26 (2) − =
⎧
⇔ ⎨ − = +
(2)93
(2) chia (1)
2
(m 26)y (m 26)y x
x 12
12
y(x y) 12 y (m 14) 144 +
⎧ +
⎧ = =
⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
⎪ − = ⎪ + =
⎩ ⎩
Vậy hệ có nghiệm m 14 0+ > ⇔m> −14 III BAØI TẬP ĐỀ NGHỊ
4.1 Định m để phương trình sau có nghiệm: x22 mxy y2 m 2 x (m 1)xy my m
⎧ + + =
⎪ ⎨
+ − + =
⎪⎩
4.2 Định m để hệ phương trình: 3
3 2
1 x my (m 1)
2 x mx y xy
⎧ − = +
⎪ ⎨
⎪ + + =
⎩
Có nghiệm nghiệm thỏa: x + y = 4.3 Cho hệ phương trình: x22 4xy y2 m
y 3xy
⎧ − + =
⎪ ⎨
− =
⎪⎩ a Giải hệ m =
b chứng minh hệ ln có nghiệm
94
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt
4.1 x22 mxy y2 m (1)2 x (m 1)xy my m (2)
⎧ + + =
⎪ ⎨
+ − + =
⎪⎩
(1) – (2) : xy (1 m)y+ − 2= ⇔ = ∨ =0 y x (m 1)y− Hệ phương trình: y 02 2 x (m 1)y2 2
x mxy y m x mxy y m
= = −
⎧ ⎧
⎪ ⎪
⇔⎨ ∨⎨
+ + = + + =
⎪ ⎪
⎩ ⎩
2
2 x (m 1)y y
m
y (4)
x m(3)
2m 3m
= −
⎧ =
⎧⎪ ⎪
⇔⎨ ∨⎨
=
⎪ ⎪
⎩ ⎩ − +
Hệ cho có nghiệm (3)co ù nghiệm m (4)co ù nghiệm
⎡
⇔⎢ ⇔ ≥
⎣
4.2 Giả sử (x ,y ) nghiệm Từ x + y = ta có: 0 y0= −x0 Thế vào hệ :
3
0
1
x (m 1) (m 1) (1)
x (2 m) (2)
⎧ + = +
⎪ ⎨
⎪ − =
⎩
Vế phải (2)khác ⇒vế trái (2) khác
(1) m 1: (m 1) m m 1 (2) m
+ = + ⇔ = ∨ = ±
− Thử lại:
a/ Với m = 0: hệ cho x y không thỏa: x + y = ⇒m 0= (loại) b/ Với m = - 1: Hệ cho trở thành: x33 y32 2
x x y xy ⎧ + =
⎪ ⎨
− + =
⎪⎩
3 2
1 x
y x 3 3
1 x x y xy y
3 ⎧ = ⎪ = −
⎧⎪ ⎪
⇔⎨ ⇔⎨
− + =
⎪ ⎪
⎩ = −
⎪⎩
(3)95
c/ Với m = Hệ trở thành: x33 y32 2 x x y xy ⎧ − =
⎪ ⎨
+ + =
⎪⎩ Đặt y = tx x (1 t ) 233 2
x (t t 1)
⎧ − =
⎪ ⇒ ⎨
+ + =
⎪⎩ ⇒ − = − ⇔ = − ⇒ = −t t y x,
x x
⇒ = ⇔ = ⇒ + =x y Vaäy m= ±1 nhận
4.3 y = không thỏa phương trình: y2−3xy 4= Đặt x = ty Heä
2 2
2
2
y (t 4t 1) m
y (t 4t 1) m 4
y (1 3t) y (1 3t)
y (1 3t)
⎧ − +
⎧ − + = ⎪ =
⎪
⇔⎨ ⇔⎨ −
− =
⎪ ⎪
⎩ − =
⎩ a Với m = 1: ta có hệ:
2
t 4t 1 (1) 3t y (1 3t) (2) ⎧ − + = ⎪
− ⎨
⎪ − =
⎩ (1) cho t t
4 = ∨ =
t : (2)= ⇔ −8y2=4VN t 1: (2) 1y2 y
4
= ⇔ = ⇔ = ±
x = ty = 1± b Heä
2
2
4
x 4xy m x y 3y y
x
3y 11y (49 9m)y 16 (*)
⎧ + = ⎧ −
=
⎪ ⎪
⇔⎨ − ⇔⎨
⎪ ⎪ − − − =
⎩ ⎩