Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trờng năng khiếu Quảng Bình năm học 2006-2007 ( Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 : ( 2,5 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc trong hệ đếm thập phân sao cho abc = n 2 1 cba = (n - 2) 2 với n là số nguyên lớn hơn 2. Bài 2 : (2,5 điểm) Giải phơng trình sau : x 2 + y 2 2xy + 3x 2y 1 + 4 = 2x - x 2 - 3x + 2 Bài 3 :( 1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A biết : A = 52 356805616 2 234 ++ ++++ xx xxxx Bài 4 : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có 0 20 = B ,AC = a .M là trung điểm của BC .Qua ba điểm A,C,M dựng một đờng tròn cắt AB tại K . a) Hãy tính diện tích và chu vi hình tròn theo a b) Kẻ phân giác trong BI . Vẽ góc 0 30 = ACH về phía trong tam giác ABC đó .Chứng minh tứ giác CIHK là hình thang .Tính diện tích hình thang đó theo a Đáp án Câu 1: Ta có: abc = 100.a + 10.b +c = n 2 - 1 (1) cba = 100.c + 10.b + a = n 2 - 4n + 4 (2) (0,5đ) Lấy (1) trừ (2) ta đợc: 99.(a c) = 4n 5 Suy ra 4n - 5 99 (0,5đ) Vì 100 abc 999 nên: 100 1 2 n 999 119543931111000101 2 nnn (0,75đ) Vì 4n - 5 99 nên 4n - 5 = 99 n = 26 abc = 675 (0,5đ) Thử lại thấy đúng. Vậy có một số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là 675 (0,25đ) Câu 2: x 2 + y 2 - 2xy + 3x - 2y -1 + 4 = 2x - x 2 - 3x + 2 x 2 + y 2 - 2xy + 3x - 2y -1 + x 2 - 3x + 2 = 2(x - 2) (1) Vế trái không âm nên ta suy ra ngay x 2 (2) (0,5đ) Ta có : (1) (x - y) 2 + 2( x - y) + 1 + x - 2 + (x - 2) 2 + x - 2 = 2(x - 2) (x - y + 1) 2 + x - 2 + (x - 2).(x - 1) = 2(x - 2) (3) .Vì x 2 nên (3) (x - y +1) 2 + x - 2 + (x - 2)(x - 1) = 2 (x - 2) (1,0đ) (x-y+1) 2 - ( x-2 ) + ( x-2) (x-1) = 0 (x - y +1) 2 + (x - 2) 2 = 0 x - y +1 =0 x - 2 = 0 (0,75đ) từ đó ta có x = 2 và y = 3 . Thay x = 2, y =3 thấy phơng trình có nghiệm đúng. Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2; y = 3 (0,25đ) Câu 3: Xét A = 52 3368056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx ; x Thực hiện phép chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu là: 452 2 ++ xx ; x. Ta có: A = 52 256 )52(4 2 2 ++ +++ xx xx (0,5đ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dơng: A 64 52 256 .52(42 2 2 = ++ ++ xx xx (*); x. Dấu đẳng thức trong (*) xảy ra khi và chỉ khi: 4(x 2 + 2x + 5) = ++ 52 256 2 xx (x 2 + 2x + 5) 2 = 64 (0,5đ) x =1 x 2 + 2x + 5 = 8 x 2 + 2x - 3 = 0 x = -3 x 2 + 2x + 5 = - 8 (vô lý vì vế trái không nhỏ hơn 4) Vậy : GTNN (A) = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 (0,5đ) Bài 4 : a) Tứ giác ACMK nội tiếp nên vCMKCAK 2 =+ nhng vCAK 1 = vCMK 1 = Mặt khác M là trung điểm BC nên tam giác CKB cân tại K . 0 20 == KBCBCK 0 40 = CKA (góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) Trong tam giác vuông ACK ta có CK =CA/ sin CKA =a / sin40 0 Do A và M cùng nhìn CK với một góc vuông nên CK là đờng kính . Diện tích hình tròn là S = = 2 0 ) 40sin2 ( a 02 2 40sin4 a Chu vi hình tròn là 2p = 0 40sin a (0,5đ) b) Tam giác ACH có 0 30 = ACH và 00 4070 == HCBACB mà 0 20 = KCB do đó CK là tia phân gíac HCB . Bởi vậy: = BK HK CB CH BK CB HK CH = (0,75đ) mà AH= 2 1 CH BK CB HK CH HK AH . 2 1 . 2 1 == = BK BM Ta lại có ABCBMK (g.g) nên BC BA HK AH BC BA BK BM == (1) Mặt khác do BI là tia phân giác CBA nên BC BA IC AI = (2) (1,0đ) Từ (1) và (2) ta có IC AI HK AH = IH//CK ( hệ quả định lý Ta Lét) Do đó tứ giác CIHK là hình thang (0,5 đ) S ACK = (AC. AK)/ 2 S AIH = (AI .AH)/2 .Trong đó : AC = a ; AH = AC tgACH = a tg 30 0 = a 3 3 AI = AH tg AHI = a 3 3 tg40 0 ;AK = AC .cotg CKA =a.cotg40 0 S CIHK =S ACK -S AIH = 2 1 (a 2 .cotg40 0 - 3 1 a 2 tg40 0 ) = 6 1 a 2 (3cotg40 0 - tg40 0 ) (0,75đ) . Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán trờng năng khiếu Quảng Bình năm học 2006-2007 ( Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. thang .Tính diện tích hình thang đó theo a Đáp án Câu 1: Ta có: abc = 100 .a + 10. b +c = n 2 - 1 (1) cba = 100 .c + 10. b + a = n 2 - 4n + 4 (2) (0,5đ) Lấy (1)