Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán MẶT PHẲNG A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Phương trình mặt phẳng : 1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 +B 2 +C 2 ≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó n A B C( ; ; )= ur là một vectơ pháp tuyến của nó. 2). Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận vectơ n A B C( ; ; )= ur làm vectơ pháp tuyến có dạng A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 . 3). Mặt phẳng (P) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và // 1 2 3 a a a a( ; ; )= r và 1 2 3 b b b b( ; ; )= r thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a n a b b b b b b b , ; ;      ÷ = =    ÷   ur r r . Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’ (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’ 2). Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 . Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là: m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m 2 + n 2 ≠ 0) Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức : 0 0 0 2 2 2 0 A x By Cz D d M A B C ( , ) α + + + = + + Góc gữa hai mặt phẳng Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0. Ta có : 2 2 2 2 2 2 P Q P Q P Q n n A .A ' B B C C cos cos( n n A B C A B C n n . . ' . ' , ) . ' ' ' . ϕ + + = = = + + + + uur uur uur uur uur uur (0 0 ≤φ≤90 0 ) 0 90 P Q n n ϕ = ⇔ ⊥ uur uur ⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau. • Trong phương trình mặt phẳng không có chứa x thì mặt phẳng song song Ox, không có chứa y thì song song Oy, không có chứa z thì song song Oz. Một số dạng mặt phẳng thường gặp D1: Mp ( α ) qua M và vuông góc với vectơ a r . Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là M * Vtpt n a= r r ⇒ pt (α) D2: Mp ( α ) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là M là trung điểm của AB với 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M ; ;   + + +  ÷  ÷   1 Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán Vtpt n A B= uuur r ⇒ pt (α) D3: MP ( α ) qua 3 điểm A, B, C. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt n A B A C,   =   uuur uuuur r ⇒ pt (α) D4: Mp ( α ) // 1 2 3 a a a a( ; ; )= r và // 1 2 3 b b b b( ; ; )= r và đi qua M. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là M * Vtpt n a b,   =   r r r ⇒ pt (α) D5: Mp ( α ) chứa AB và //CD. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A (hoặc B) * Vtpt n A B CD,   =   uuur uuur r ⇒ pt (α) D6: Mp ( α ) // mp ( β ) và qua M. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là M * Vtpt n n β = r r ⇒ pt (α) D7: Mp ( α ) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp ( β ).Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A (hoặc B) * Vtpt n A B n, β   =   uuur r r ⇒ pt (α) D8: Mp ( α ) đi qua 2 điểm A và đồng thời vuông góc với mp ( β ) và mp ( γ ).Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt n n n, β γ   =   r r r ⇒ pt (α) CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT D1: Mp ( α ) qua A và chứa Ox. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt 1 0 0n OA i i, , ( ; ; )   = =   uuur r r r ⇒ pt (α) D2: Mp ( α ) qua A và chứa Oy. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt 0 1 0n OA j j, , ( ; ; )   = =   uuur r r r 2 Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán ⇒ pt (α) D3: Mp ( α ) qua A và chứa Oz. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt 0 0 1n OA k k, , ( ; ; )   = =   uuur r r r ⇒ pt (α) D4: Mp ( α ) qua A và // Oxy. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt 0 0 1n k ( ; ; )= = r r ⇒ pt (α) D5: Mp ( α ) qua A và // Oxz. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt 0 1 0n j ( ; ; )= = r r ⇒ pt (α) D6: Mp ( α ) qua A và // Oyz. Thì mp ( α ) có: * Điểm thuộc (α) là A * Vtpt 1 0 0n i ( ; ; )= = r r ⇒ pt (α) B/. BÀI TẬP: Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD. d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC). Bài 2: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua M(1, 2, 3) và // 4 6 3 2 7 5a b ( , , ), ( , , )= = r r b) Đi qua 3 điểm A(1,1,1), B(2,4,5), C(4,1,2) c) Đi qua A(1, 2, 3) và nhận 3 2 1 3 0 1u v ( , , ), ( , , )= = − r r làm cặp vectơ chỉ phương. d) Đi qua 2 điểm E(4,-1,1), F(3,1,-1) và song song với trục Ox. e) Đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0), C(0,0,c) Bài 3 : a)Viết phương trình mp (α ) đi qua điểm M(2,4,2) và //với 3 0 3 4 1 0a b( , , ), ( , , )= − = − − r r b) Hãy lập phương trình mp (β) đi qua A(1,2,3) và song song với (α ) Bài 4: Lập phương trình mp(α) đi qua 3 điểm A(1,-1,2) B(0,3,0) C(2,1,0) Bài 5: Lập phương trình các mp đi qua I(2,6,-3) và song song với các mp tọa độ Bài 6: Lập phương trình mp: a) Chứa trục Ox và đi qua P(4,-1,2) b) Chứa trục Oy và đi qua Q(1,4,-3) 3 Mặt Phẳng Phan Thanh Tuấn c) Chứa trục Oz và đi qua R(3,-4,7) Bài 7: Cho tứ diện có các đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6) a) Lập phương trình mp (ACD) b) Lập phương trình mp (α) đi qua AB và song song CD Bài 8: Lập phương trình của mp: a) MP (α) đi qua M(2,1,-1) và vng góc với đường thẳng AB, biết A(-1,0,4) B(0,-2,-1). b) MP (β) là mặt trung trực của đoạn thẳng CD, với C(1,3,-4) D(-1,2,2) c) MP (P) nhận điểm N(2,-1,-2) là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ lên mình Bài 9: Lập phương trình mp (α) đi qua hai điểm A(2,-1,4) B(3,2,-1) và vng góc với đường thẳng (β) : x + y + 2z – 3 = 0 Bài 10: Lập phương trình mp (α) đi qua M(3,-1,-5) và đồng thời vng góc với 2 mp (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (Q): 5x – 4y + 3z + 1 =0. Bài 11: Trong khơng gian cho hai mp: (P): x + y + 5z – 1 = 0, (Q): 2x + 3y – z + 2 = 0 và điểm M(3,2,1). Lập phương trình mp(α) đi qua M và qua giao tuyến của 2 mp trên Bài 12: Trong khơng gian cho hai mp: (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, (Q): x – y – 2z + 7 =0. Lập phưong trình mp(α) đi qua giao tuyến của (P) và (Q) và song song với trục Oy Bài 13: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0. a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc nhau. b) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC. c) Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC. Bài 14: Trong khơng gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0. a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P). b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). ( TNPT năm 1993) Bài 15: Cho A(5;1;3); B(1;6;2); C(5;0;4); D(4;0;6) và mặt phẳng ( ) α : x - 2y + z -10 = 0. a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc BC. b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mp(ABC). c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song ( ) α . d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song CD. e) Viết phương trình mặt phẳng qua C, D và vuông góc ( ) α . f) Viết phương trình mặt phẳng qua D, vuông góc hai mặt phẳng (ABC) và ( ) α . g) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC), ( ) α và: Bài 16: Cho A(1;1;3); B(-1;3;2); C(-1;2;3). a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P). b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC. Bài 17: Cho hai điểm A(-3;2;1); B(9;4;3). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bµi 18: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 1 1 1 0 1 5 2 2 A B; ; , ; ;     − −  ÷  ÷     c, 2 1 1 1 3 1 3 2 3 A B; ; , ; ;     −  ÷  ÷     Bµi 19: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ( ) α ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng ( ) β biÕt: a, ( ) ( ) ( ) 2 1 5M Oxy; ; , β = b, ( ) ( ) 1 1 0 2 10 0M x y z; ; , : β − − + − = 4 Mt Phng Phan Thanh Tuaỏn c, ( ) ( ) 1 2 1 2 3 0M x y; ; , : + = d, ( ) ( ) 3 6 5 1 0M x z; ; , : + = Bài 20 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và // 2 1 2 3 2 1a v b( ; ; ); ( ; ; ) r r Bài 21 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z. c) Song song với các trục 0y, 0z. Bài 22: Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và : a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y. c) Cùng phơng với trục 0z. Bài 23 : Xác định toạ độ của véc tơ n ur vuông góc với hai véc tơ 6 1 3 3 2 1a b( ; ; ); ( ; ; ) r r . Bài 24 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) // 2 7 2 3 2 4a b( , , ); ( , , ) r r Bài 25 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. B ài 26 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q). Bài 27 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x. Bài 28: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD. Bài 29: Viết phơng trình tổng quát của (P) a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3) Bài 30: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB. b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P). Bài toán 2. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau: a) (P 1 ): y z + 4 = 0, và ( ) 2 3 0P x y z: + = b) (P 1 ): 2x+4y-8z+9=0 ( ) 2 2 4 1 0P x y z: + + = c) (P 1 ): x+y-z-4=0và ( ) 2 2 2 2 8 0P x y z: + = Bi 2: Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m,n cỏc cp mp sau song song nhau: a) 2x + ny + 3z 5 = 0 v mx 6y 6z = 0 b) 3x 5y + mz 3 = 0 v 2x + ny 3z + 1 = 0 c) mx + 3y 2z 1 = 0 v 2x 5y nz = 0 Bi 3: Xỏc nh cỏc giỏ tr ca m cỏc cp mp sau vuụng gúc nhau: a) 3x 5y + mz 3 = 0 v x + 3y + 2z + 5 = 0 b) 5x +y 3z 2 = 0 v 2x + my 3z + 1 = 0 c) 7x + 2y 9 = 0 v mx + y 3z 1 = 0 Bi 4: Tớnh gúc gia hai mp sau: a) 2x y 2z 9 = 0 v x y 6 = 0 b) 8x 4y 8z + 1 = 0 v 2 2 7 0x y + = Bài toán 3: Chùm mặt phẳng Bài 1:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) có phơng trình : (P 1 ): x - y + z - 4 = 0 và (P 2 ) 3x y + z 1 = 0 Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P 1 ): y + 2z 4 = 0 và (P 2 ) : x + y z 3 = 0 và song song với mặt phẳng (Q): 2 0x y z -+ + = . Bài 3: Lập phơng trình của mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P 1 ): 3 2 0x y z - -+ = và (P 2 ): 4 5 0x y -+ = và vuông góc với mặt phẳng : 2 7 0x z- + = . 5 Mặt Phẳng Phan Thanh Tuấn Bµi 4: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng qua giao tun cđa hai mỈt ph¼ng (P 1 ): 3 2 3 0x y z− + − = vµ (P 2 ): 2 0x z− = vµ song song víi hai mp sau a) ( ) ( ) 3 2 7 0 3 2 3 0 x y z x y z α β  − + − =   + − + =   b) ( ) ( ) 2 3 2 4 2 5 2 5 x y x z α β  − − =   −  − +  =  −  Bài 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 . a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng. b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3). c) Lập p.trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy. d) Lập phương trình mặt phẳng (χ) đi qua gốc tọa độ O và vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q). Bài 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0. a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng. b) Trong tr.hợp ở câu a). Viết pt mp(α) đi qua giao tuyến của (P) và (Q) và đi qua M(1,-2,-4) B µi to¸n 4. Kho¶ng c¸ch_ góc Bµi 1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm M(2;2;1) ®Õn mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau: a) 2 3 3 0P x y z( ) : -+ + = b) ( ) 2 3 1 0P x y z: − − − + = Bµi 2:Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é Oxyz , cho tø diƯn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a) LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t mỈt ph¼ng (ABC) b) TÝnh chiỊu dµi ®êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cđa tø diƯn, tõ ®ã suy ra thĨ tÝch cđa tø diƯn Bµi 3:Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é Oxyz , cho tø diƯn cã 4 ®Ønh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0) a) (§H Lt 1996) TÝnh chiỊu dµi ®êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cđa tø diƯn b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ph©n gi¸c cđa 2 mỈt (ABC) vµ (BCD) c¾t ®o¹n AD Bài 4: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1). a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P). b) Viết pt mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc 45 0 . Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng qua I(1;0;2), song song ( ) 2 3 1a ; ;= r và vuông góc mặt phẳng ( ) α : 2x – y - 5z = 0. Tìm góc của mặt phẳng vừa tìm được và mặt phẳng (Oxy). Bµi to¸n 5: §iĨm vµ mỈt ph¼ng Bµi 1: cho hai ®iĨm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) vµ mỈt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iĨm M thc (P) sao cho AM+BM nhá nhÊt. Bµi 2: cho hai ®iĨm A(1;1;0) ;B(0;-1;1) vµ mỈt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iĨm M thc (P) sao cho AM+BM nhá nhÊt. Bµi 3::Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz cho mỈt ph¼ng (P): 2x-y+z+1=0 vµ hai ®iĨm A(3;1;0), B(-9;4;9) .T×m to¹ ®é ®iĨm M trªn mỈt ph¼ng (P) sao cho MA MB− lµ lín nhÊt . Bµi 4: (§HQG-2000):Cho mỈt ph¼ng (P):x+y+z-1=0 vµ hai ®iĨm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2) a) Chøng tá r»ng ®êng th¼ng ®i qua A,B c¾t mỈt ph¼ng (P) t¹i mét ®iĨm I, t×m to¹ ®é ®iĨm ®ã . b) T×m to¹ ®é ®iĨm M trªn mỈt ph¼ng (P) sao cho MA MB− ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 5: (§HM§C-97): cho ba ®iĨm A(1;4;5) B(0;3;1) ,C(2;-1;0) vµ mỈt ph¼ng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gäi G lµ träng t©m ∆ABC .CMR ®iỊu kÞªn cÇn vµ ®đ ®Ĩ M n»m trªn mỈt ph¼ng (P) cã tỉng c¸c b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch ®Õn c¸c ®iĨm A,B,C nhá nhÊt lµ ®iĨm M ph¶i lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm G trªn mỈt ph¼ng (P) .X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa ®iĨm M ®ã. Bµi 6: Cho mỈt ph¼ng (P) 3x+3y+ mz – 6 – m = 0. a) CMR (P) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh M, T×m to¹ ®é cđa M. b) Gi¶ sư (P) c¾t 0x,0y,0z theo thø tù t¹i A,B,C . c) TÝnh 0A,0B,0C ®Ĩ tø diƯn 0ABC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . d) TÝnh 0A,0B,0C ®Ĩ 0A+0B+0C lµ nhá nhÊt . 6 . (ABC). b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD. d) Viết phương trình mặt phẳng. Mặt Phẳng Phan Thanh Tuaán MẶT PHẲNG A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Phương trình mặt phẳng : 1). Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax +