Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng. A.Lý thuyết chung. 1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức, đa thức. 2 ) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1) Đặt nhân tử chung; 2) Dùng hằng đẳng thức; 3) Nhóm nhiều hạng tứ; 4) Tách, thêm, bớt; 5 )Phối hợp nhiều phơng pháp B. Nội dung Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. I. Phơng pháp đặt nhân tử chung 1. Phơng pháp . Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử. Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử. Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. 2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3xy + x 2 y 2 5x 2 y b) 2x(y z) + 5y(z y) c) 10x 2 (x + y) 5(2x + 2y)y 2 Bài Làm a) 3xy + x 2 y 2 5x 2 y = xy(- 3 + xy 5x) b) 2x(y x) + 5y(z y) = 2x(y z) 5y(y z) = (y z)(2x 5y) c) 10x 2 (x + y) 5(2x + 2y)y 2 = 10x 2 (x + y) 10y 2 (x + y) = 10(x + y)(x 2 y 2 ) = 10(x + y)(x + y)(x y) = 10(x + y) 2 (x y) 3. Bài tập tự luyện Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 12xy 2 12xy + 3x b) 15x 30 y + 20z c) 7 5 x(y 2007) 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y 2 + 2y + 1) Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3 b) 2x 3 (x y) + 2x 3 (y x ) + 2x 3 (z x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức 1. Phơng pháp Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 1 Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản. + Những hằng đẳng thức : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 A B = (A + B)(A B) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 AB + B 2 ) A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2BC + 2CA A n B n = (A B)(A 1 n + A 2 n B + + AB 2 n + B 1 n ) A k2 B k2 = (A +B)(A 12 k - A 22 k B + - B 12 k ) A 12 + K + B 12 + K = (A + B)(A k2 A 12 k B + A 22 k B 2 - +B k2 ) (A + B) n = A n + n A 1 n B - 2.1 )1( nn A 2 n B 2 + + 2.1 )1( nn A 2 B 2 n + nAB 1 n + B n (A - B) n = A n - n A 1 n B + 2.1 )1( nn A 2 n B 2 - +(-1) n B n 2.Ví dụ . Ví Dụ 1. Phân tích đa thức tành nhân tử a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 b) a 4 b 4 c) (x 3) 2 - (2 3x) 2 d) x 3 3x 2 + 3x - 1 Bài Làm a) x 2 + 6xy 2 + 9y 4 = x 2 + 2x3y 2 + (3y) 2 = (x + 3y 2 ) 2 b) a 4 b 4 = (a 2 ) 2 (b 2 ) 2 = (a 2 + b 2 ) (a 2 b 2 ) = (a 2 + b 2 ) (a + b) (a b) c) (x 3) 2 - (2 3x) 2 = [(x 3) + (2 3x)][(x 3) (2 3x)]= (- 2x 1)(- 5 + 4x) d) x 3 3x 2 + 3x - 1 = (x 1) 3 Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) a 3 + b 3 + c 3 3abc b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 Bài Làm a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 3ab(a + b) + c 3 3abc = ( a + b + c)[(a + b) 2 (a + b)c + c 2 ] 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = (a + b) 3 + c 3 + 3c(a + b)(a + b + c) a 3 b 3 c 3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c 2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) 3. Bài tập tự luyện Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x 15) 2 16 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 2 b) 25 (3 x) 2 c) (7x 4) 2 ( 2x + 1) 2 d) 9(x + 1) 2 1 e) 9(x + 5) 2 (x 7) 2 f) 49(y- 4) 2 9(y + 2) 2 Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 8x 3 + 27y 3 b) (x + 1) 3 + (x 2) 3 c) 1 y 3 + 6xy 2 12x 2 y + 8x 3 d) 2004 2 - 16 III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. 1. Phơng pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm. Ap dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toán. 2. Ví dụ Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 3xy + x 3y b) 7x 2 7xy 4x + 4y c) x 2 + 6x y 2 + 9 d) x 2 + y 2 z 2 9t 2 2xy + 6zt Bài Làm a) x 2 3xy + x 3y = (x 2 3xy) + (x 3y) = x(x 3y) + (x 3y)= (x 3y) (x + 1) b) 7x 2 7xy 4x + 4y = (7x 2 7xy) (4x 4y) = 7x(x y) 4(x y)=(x y) (7x 4) c)x 2 + 6x y 2 + 9 = (x 2 + 6x + 9) y 2 = (x + 3) 2 - y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 y) d)x 2 + y 2 z 2 9t 2 2xy + 6zt = (x 2 2xy + y 2 ) (z 2 6zt + 9t 2 ) = (x y) 2 (z 3t) 2 = (x y + z 3t)(x y z + 3t Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz Bài Làm a) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz = (x 2 z + y 2 z + 2xyz) + x 2 y + xy 2 + xz 2 + yz 2 = z(x + y) 2 + xy(x + y) + z 2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z 2 ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z 2 )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 3xyz = (x 2 y + x 2 z + xyz) + ( xy 2 + y 2 z + xyz) + (x 2 z + yz 2 + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 3 3. Bài Tập Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 4 + 3x 2 9x 27 b) x 4 + 3x 3 9x 9 c) x 3 3x 2 + 3x 1 8y 3 Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x(y 2 z 2 ) + y(z 2 y 2 ) + z(x 2 y 2 ) b) xy(x y) xz( x + z) yz (2x + y z ) c) x(y + z ) 2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 4xyz d) yz(y +z) + xz(z x) xy(x + y) IV. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp 1. Phơng pháp Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau : - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử 2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 5x 3 - 45x b) 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6axy 2 3a 2 xy + 3xy Bài làm a) 5x 3 45x = 5x(x 2 9) = 5x(x +3) (x 3) b) 3x 2 y 6x 2 y 3xy 3 6axy 2 3a 2 xy + 3xy = 3xy(x 2 2y y 2 2ay a 2 + 1) = 3xy [( x 2 2x + 1) (y 2 + 2ay + a 2 )] = 3xy [(x 1) 2 (y + a) 2 ] = 3xy [(x 1) + (y + a)] [(x 1) (y + a)] = 3xy(x + y + a 1) (x y a 1) 3. Bài tập Bài tập 1. Phân tích đa thức thành nhân tử . a) 2a 2 b + 4ab 2 a 2 c + ac 2 4b 2 c + 2bc 2 4abc b) 8x 3 (x + z) y 3 (z + 2x) z 3 (2x - y) c) [(x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) + 4abxy] 2 4[xy(a 2 + b 2 ) + ab(x 2 + y 2 )] 2 Bài tập 2. Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) 3 x 3 y 3 - z 3 Hớng dẫn (x + y + z ) 3 x 3 y 3 - z 3 =[(x + y + z) 3 x 3 ] (y 3 + z 3 ) = (x + y + z x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x 2 ] (y + z)(y 2 yz + z 2 ) = (y+z)[ x 2 + y 2 + z 2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x 2 + x 2 y 2 + yz z 2 ] = (y + z)(3x 2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 4 = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 1. Phơng pháp Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung 2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x 2 6x + 8 Bài làm Caựch 1: x 2 6x + 8 = (x 2 2x) (4x 8) = x(x 2) 4(x 2) = (x 2)(x 4) Caựch 2: x 2 6x + 8 = (x 2 6x + 9) 1 = (x 3) 2 1 = (x 3 + 1)(x 3 1) = (x 2)(x 4) Caựch 3: x 2 6x + 8 = (x 2 4) 6x + 12 = (x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x + 2 6) = (x 2)(x 4) Caựch 4: x 2 6x + 8 = (x 2 16) 6x + 24 = (x 4)(x + 4) 6(x 4) = (x 4)(x + 4 6) = (x 4)(x 2) Caựch 5: x 2 6x + 8 = (x 2 4x + 4) 2x + 4 = ( x 2) 2 2(x 2)= (x 2)(x 2 2) = (x 2)(x 4) 3. Bài tập Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 2 + 7x +10 b) x 2 6x + 5 c) 3x 2 7x 6 d) 10x 2 29x + 10 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 + 4x 2 29x + 24 b) x 3 + 6x 2 + 11x + 6 c) x 2 7xy + 10y d) 4x 2 3x 1 VI/ Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Phơng pháp Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, . Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử. x 4 + 64 = x 4 + 64 + 16x 2 16x 2 = (x 2 + 8) 2 (4x) 2 = (x 2 + 4x + 8)(x 2 4x + 8) Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 4 + 4y 4 b) x 5 + x + 1 Bài làm a) x 4 + 4y 4 = x 4 + 4y 4 + 4x 2 y 2 4x 2 y 2 = (x + 2y) 2 (2xy) 2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x 5 + x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) (x 4 + x 3 + x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x 3 (x 2 + x + 1) x 2 (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x + 1)(x 3 x 2 +1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 5 + x 4 + 1 b) x 8 + x 7 + 1 c) x 8 + x + 1 d) x 8 + 4 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 + 5x 2 + 3x 9 b) x 3 + 9x 2 + 11x 21 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 5 c) x 3 7x + 6 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 - 5x 2 + 8x 4 b) x 3 3x + 2 c) x 3 5x 2 + 3x + 9 d) x 3 + 8x 2 + 17x + 10 e) x 3 + 3x 2 + 6x + 4 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 2x 4 b) 2x 3 12x 2 + 7x 2 c) x 3 + x 2 + 4 d) x 3 + 3x 2 + 3x + 2 e) x 3 + 9x 2 + 26x + 24 f) 2x 3 3x 2 + 3x + 1 g) 3x 3 14x 2 + 4x + 3 * Moọt soỏ phửụng phaựp khaực VII/ Phơng pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phơng pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 6x 4 11x 2 + 3 b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài Làm a) 6x 4 11x 2 + 3 - Đặt x 2 = y - Đa thức đã cho trở thành: 6y 2 11y + 3 = (3y 1)(2y 3) - Trả lại biến cũ: 6x 4 11x 2 + 3 = (3x 2 1) (2x 2 3) = ( 3 x 1)( 3 x + 1)( 2 x - 3 )( 2 x + 3 ) b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5 - Đặt x 2 + 3x + 1 = y x 2 3x 3 = y 4 - Đa thức đã cho trở thành y(y 4) 5 = y 2 4y 5 = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ. (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x 3) 5 = (x 2 + 3x + 1 + 1)(x 2 + 3x + 1 5) = (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 3x 4)= (x + 1)(x + 2)(x 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - Đặt x 2 + 8x + 7 = y x 2 + 8x + 15 = y + 8 - Đa thức đã cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x 2 + 8x +7 + 5)(x 2 + 8x + 7 + 3) = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 6 3. Bài tập Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x 2 + x) 2 2(x 2 + x) 15 b) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) 6 c) (x 2 + 4x + 8) 2 + 3x(x 2 + 4x + 8) + 2x 2 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24 b) (4x + 1)(12x 1)(3x + 2)(x + 1) 4 c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x 2 d) 3x 6 4x 5 + 2x 4 8x 3 + 2x 2 4x + 3 VIII/ Phơng Pháp hệ số bất định Phơng Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng ứng của chúng phải bằng nhau. a n x n + a 1 = n x 1 n + . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = b n x n + b 1 = n x 1 n + . + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 a i = b i i = 1; n 2. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Vớ duù 1: A = x 3 + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích đợc thì A có dạng. A = (x + a)(x 2 + bx + c) = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac x 3 + 11x + 30 = x 3 + (a + b)x 2 + (ab + c)x + ac Đồng nhất hệ số, ta có = =+ =+ 30 11 0 ac cab ba Chọn a = 2 c = 15; b = -2 Vậy (x 3 + 11x + 30) = (x + 2)(x 2 2x + 15) 2.2 Ví dụ 2: B = x 4 14x 3 + 15x 2 14x +1 Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành nhân tử thì B có dạng: B = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) B = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất hệ số, ta có: 14 15 14 1 a c ac b d ad bc bd + = + + = + = = = = = = 1 13 1 1 d c b a hoặc 13 1 1 1 a b c d = = = = Do vậy B = (x 2 x + 1)(x 2 13x + 1) hoặc B = (x 2 13x + 1)(x 2 x + 1) Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 3 + 4x 2 + 5x + 2 b) 2x 4 3x 3 7x 2 + 6x + 8 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 7 c) 5x 4 + 9x 3 2x 2 4x 8 Bài 17: Tìm a, b, c a) x 4 2x 3 + 2x 2 2x + a = (x 2 2x + 1)(x 2 + bx + c) b) x 3 + 3x 2 x 3 = (x 2)( 2 x + bx + c) + a c) 4x 3 + 7x 2 + 7x 6 = (ax + b)(x 2 + x +1) + c IX/ Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. 2.1: Vớ duù 1: P = (x + y + z) 3 - x 3 y 3 z 3 Bài Làm Coi P là một đa thức biến x Khi đó nếu x = -y thì P = 0 P (x + y) Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên. P (x + z) P (y + z) P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số. Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3 Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) Ví dụ 2: M = a(b + c)(b 2 - c 2 ) + b(c + a)(c 2 - a 2 ) + c(a + b)(a 2 - b 2 ) Bài Làm Coi M là đa thức biến a Khi a = b thì M = 0 M (a - b) Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên : M (b - c) M (c - a) M = (a - b)(b c)(c a)N Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a. Nhng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R là hằng số) M = (a - b)(b c)(c a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = 2 R = 1 Vậy B = (a b)(b c)(c a)(a + b + c) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a b) + bc(b c) + ca(c a) X. Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức 1. Phơng pháp Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do. 2. Ví dụ: x 3 + 3x - 4 Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x 2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ớc của - 4 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng t không đổi. Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 8 Do vËy ta t¸ch c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc lµm xt hiƯn nh©n tư chung (x – 1) * C¸ch 1: x 3 + 3x 2 – 4 = x 3 – x 2 + 4x 2 – 4 = x 2 (x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x 2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2) 2 * C¸ch 2: x 3 + 3x 2 – 4 = x 3 – 1 + 3x 2 – 3 = (x 3 – 1) + 3(x 2 – 1) = (x – 1) (x 2 + x + 1) + 3(x 2 – 1)= (x – 1) (x + 2) 2 Chó ý: + NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè b»ng kh«ng th× ®a thøc chøa nh©n tư (x – 1). + NÕu ®a thøc cã tỉng c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư bËc ch½n b»ng tỉng c¸c h¹ng tư bËc lỴ th× ®a thøc chøa nh©n tư (x + 1). VÝ dơ : * §a thøc : x 3 - 5x 2 + 8x – 4 cã 1 - 5 + 8 - 4 = 0 Suy ra ®a thøc cã nghiƯm lµ 1 hay ®a thøc cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : x 3 – 5x 2 + 3x + 9 cã (- 5) + 9 = 1 + 3 Suy ra ®a thøc cã nghiƯm lµ - 1 hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1). +NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiƯm nguyªn nhng ®a thøc cã nghiƯm h÷u tû . Trong ®a thøc víi hƯ sè nguyªn nghiƯm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng p q trong ®ã p lµ íc cđa h¹ng tư kh«ng ®ỉi, q lµ íc d¬ng cđa h¹ng tư cao nhÊt. VÝ dơ: 2x 3 – 5x 2 + 8x – 3 NghiƯm h÷u tû NÕu cã cđa ®a thøc trªn lµ : (- 1); 1 ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- 3 Sau khi kiĨm tra ta thÊy x =1/2 lµ nghiƯm nªn ®a thøc chøa nh©n tư (x - 1 2 ) hay (2x - 1). Do ®ã ta t×m c¸ch t¸ch c¸c h¹ng tư cđa ®a thøc ®Ĩ xt hiƯn nh©n tư chung (2x - 1). 2x 3 – 5x 2 + 8x – 3 = 2x 3 – x 2 – 4x 2 + 2x + 6x – 3 =x 2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x 2 – 2x + 3) XI. Ph¬ng ph¸p tÝnh nghiƯm cđa tam thøc bËc hai a) Ph¬ng ph¸p: Tam thøc bËc hai ax 2 +bx + c NÕu b 2 – 4ac lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû th× cã thĨ ph©n tÝch tam thøc thµnh thõa sè b»ng mét trong c¸c ph¬ng ph¸p ®· biÕt . NÕu b 2 – 4ac kh«ng lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè h÷u tû nµo th× kh«ng thĨ ph©n tÝch tiÕp ®ỵc n÷a . b) VÝ dơ: 2x 2 – 7x + 3 Víi a =2 , b =- 7 , c = 3 XÐt b 2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 5 5 Suy ra Ph©n tÝch ®ỵc thµnh nh©n tư : 2x 2 - 7x + 3 = ( x - 3)(2x - 1) Chó ý: P(x) = ax 2 + bx + c = 0 cã nghiƯm lµ x 1 , x 2 th× P(x) =a( x- x 1 )(x - x 2 ) PhÇn 2: CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. I). Bµi to¸n rót gän biĨu thøc 1. Ph¬ng ph¸p +Ph©n tÝch tư thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tư nh»m xt hiƯn nh©n tư chung. +¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc ®¹i sè: Chia c¶ tư thøc vµ mÉu thøc cho nh©n tư chung. ⇒ Häc sinh thÊy ®ỵc sù liªn hƯ chỈt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc gióp ph¸t triĨn t duy suy ln l«gic, s¸ng t¹o. 2)VÝ dơ: Rót gän biĨu thøc A = 342 1573 23 23 +−− −+− xxx xxx Chuyªn ®Ị ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư Ngun Thanh Hïng Tr êng THCS Tiªn Nha n¨m 2006 9 B = 1 3 1 12 1 3 2 + + x x x x x x Bài Làm a) A = 3322 14433 223 223 ++ ++ xxxxx xxxxx A = )1(3)1()1(2 )1()1(4)1(3 2 2 + + xxxxx xxxxx A = )1)(32)(1( )13)(1)(1( )32)(1( )143)(1( 2 2 + = + + xxx xxx xxx xxx A = 32 13 )32()1( )13()1( 2 2 + = + x x xx xx b) MTC = x 2 - 1 = (x + 1)(x - 1) B = )1)(1( )3()1)(12()1)(3( + ++ xx xxxxx B = )1)(1( 31232 22 + ++++ xx xxxxx B = 2 1 1 ( 1)( 1) x x x = + 3. Bài tập Bài 19. Rút gọn biểu thức A = 2322 222 )()()( bcbacab bacacbcba + ++ B = 933193 451272 23 23 + + xxx xxx C = 222 333 )()()( 3 xzzyyx xyzzyx ++++ ++ D = 222 333 )()()( 3 xzzyyx xyzzyx ++ ++ Bài 20. Rút gọn biểu thức A = )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 xyyyxxyxyyxx + + + + + B = ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 bcacccbabbcabaa + + Bài 21. Cho x 2 - 4x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = 2 24 1 x xx ++ II) Bài toán giải phơng trình bậc cao. Phơng pháp: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đa về phơng trình tích AB = 0 hoặc A = 0 hoặc B = 0 Ví dụ: Giải phơng trình * Ví dụ 1: x 3 - 7x 2 + 15x - 25 = 0 x 3 - 5x 2 - 2x 2 + 10x + 5x- 25 = 0 x 2 (x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = 0 (x- 5)(x 2 - 2x + 5) = 0 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên Nha năm 2006 10 [...]... các phơng pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng đợc vào các bài tập là 95% Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề phát triển t duy của học sinh qua việc dạy giải bài toán phân tích đa thức hành nhân tử Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 14 ... qua tôi đã vận dụng phơng pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các bài tập vận dụng rút gọn biểu Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 13 thức thì ý nghĩa của việc phân tích các đa thức tử và mẫu của các phân thức rất quan trọng, nó không những... 2 2 ) = t x Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 12 (5) t 2 2t +3 = 0 (t 1) 2 + 2 = 0 ( vô nghiệm) Vậy Phơng trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bài tập: Bài 22: Giải phơng trình a) 2x 3 + 3x 2 +6x +5 =0 b) x 4 4x 3 19x 2 + 106x 120 = 0 c) 4x 4 + 12x 3 + 5x 2 6x 15 = 0 d) x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0 Bài 23: giải phơng trình a) x(x + 1) (x 1)(x+... 6x + 8) = 40 Đặt x2 + 6x + 5 = t (*) x2 + 6x + 8 = t + 3 Phơng trình đã cho trở thành: 5 1 ; ; 1} 2 2` (1) t(t + 3) = 40 t2 + 3t 40 = 0 (t 5)(t + 8) = 0 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nha Nguyễn Thanh Hùng năm 2006 Tr ờng THCS Tiên 11 Thay t = 5 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = 5 x2 + 6x = 0 t =5 = t 8 x 0 = = 6 x(x + 6) = 0 x Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + 5 = - 8 x2 +... (2x + 3) = 18 d) 12x + 7) 2 (3x + 2)(2x + 1) = 3 Bài 24: giải phơng trình a) (x 2 6x + 9) 2 15(x 2 6x + 10) = 1 b) (x 2 + x + 1) 2 +(x 2 + x + 1) 12 = 0 c) (x 2 + 5x) 2 2x 2 10x = 24 Bài 25: giải phơng trình a) x 4 - 2x 3 + 4x 2 3x + 2 = 0 b) x 4 3x 3 + 4x 2 3x + 1 = 0 c) 2x 4 9x 3 + 14x 2 9x + 2 = 0 d) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 +x 2 + x + 1 = 0 Bài 26: giải phơng trình: x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x... 4x 2 3x + 1 = 0 c) 2x 4 9x 3 + 14x 2 9x + 2 = 0 d) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 +x 2 + x + 1 = 0 Bài 26: giải phơng trình: x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = 0 D Kết luận chung Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phơng pháp khác tạo nên sự lôgic chặt chẽ của toán học Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản . Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử. Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu. thức thành nhân tử. I. Phơng pháp đặt nhân tử chung 1. Phơng pháp . Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử. Phân