SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ A Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐIỂM CỦA BÀI THI Các giám khảo (Họ tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do chủ tịch hội đồng chấm thi ghi) Bằng số …………………………… Bằng chữ …………………………… ……………………….……………………. ……………………………………. …………….………………………………. Chú ý: 1. Thí sinh chỉ được sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống. 2. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 8 chữ số thập phân. 3. Chỉ ghi kết quả vào ô và không thêm ký hiệu gì khác. Đề bài Kết quả C âu 1: (2 điểm) a. Với a=1,15975328. Hãy tính: 2 2 1 1 1 a 4 a A 1 1 1 1 1 a a 4 a 2 a æ ö ÷ ç ÷ + - ç ÷ ç ÷ ç è ø = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + - - - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø b. Cho: 27 B 31 7 15 2008 = + + Biết: 0 1 n 1 n 1 B b 1 b . 1 b b - = + + + Tìm dãy số: b 0 ,b 1 ,…,b n . Câu 2: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R, M là điểm di động trên đường tròn, kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). a. Tìm vị trí của M trên đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác OMH lớn nhất. b. Tìm diện tích lớn nhất đó khi R=1,94538958 Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: ( ) 4 1 2 3 4 5 6 7 8 6 8 a a a a a a a a a a= Câu 4: (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên x, y với x lớn nhất có 3 chữ số và thỏa mãn phương trình: x 3 +x 2 -xy- y 2 =0 1 Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC, có diện tích là s. Các điểm M,N thuộc BC và P,Q lần lượt thuộc AC, AB thay đổi sao cho MNPQ là hình chữ nhật. a. Xác định điều kiện để diện tích hình chữ nhật MNPQ là lớn nhất. Tính diện tích đó theo s. b. Áp dụng với s=16,69957094. Câu 6: (2 điểm) a. Tính tổng các chữ số của A 2 . Biết rằng: = ¼ 12 3 n ch ÷ sè 9 99 9A b. Áp dụng với n=2007 2 . Câu 7: (2 điểm) a. Tìm số dư khi chia M=k 2n + k n + 1 cho k 2 + k + 1 với mọi số tự nhiên n, và k ∈ Z, k≠1. b. Áp dụng tìm số dư khi chia 2007 2.2008 +2007 2008 +1 cho 2007 2 +2007+1. C âu 8: (2 điểm) Trong một trận bóng đá, ban tổ chức cần 1000 nhân viên an ninh cả chuyên nghiệp và không chuyên nghiệp được sắp xếp xung quanh sân đấu. Các vị trí dành cho các nhân viên chuyên nghiệp được ban tổ chức đánh dấu bắt đầu từ vị trí số 1, cứ cách 15 vị trí lại đánh dấu tiếp. Việc đánh dấu sẽ kết thúc khi bắt gặp một vị trí đã đánh dấu. Hỏi ban tổ chức đã cần bao nhiêu nhân viên an ninh chuyên nghiệp và bao nhiêu nhân viên an ninh không chuyên nghiệp? Câu 9: (2 điểm) Tìm chữ số thập phân thứ 25 2010 của phép chia số 2331 cho 13209. C âu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC theo thứ tự tại D và E. Giả sử AD=AE. a. Hãy tính AB 2 +AC 2 theo R. b. Áp dụng với R=1,53156738. 2 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ A ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn làm bài Kết quả Điểm Câu 1: (2 điểm) a. Rút gọn biểu thức ta được: 1 1 A 1 2 a æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø b. 54216 A 31 30127 = + 1 32 1 1 1 3 1 1 1 94 1 1 1 5 1 3 3 = + + + + + + + + a.Rút gọn rồi tính ≈ 0,931 126 18 b. {b 0 ,b 1 ,b 2 ,…,b n } = {32,1,3,1,94,1,5,3,3} 1 1 Câu 2: 2 OMH R S 4 ³ a. Vậy ta có 4 điểm M tạo với OA hoặc OB góc 45 0 . b. S max = 2 R 4 a. góc(MOX)=45 0 (Với X là A hoặc B) (tìm được 4 điểm M) b. S max =0,946 135 15 1 1 Câu 3: (2 điểm) Ta có: 6 8 56 a a 99< £ . Dùng quy trình: M=M+1: M^4 = = … (65; 17 850 625) (86; 54 700 816) (91; 68 574 961) 2 Câu 4: (2 điểm) Ta có: x x 5 4x y 2 - ± + = Với X=999. Dùng quy trình: X=X-1:(-X+X√(1+4X))÷2:(-X-X√(1+4X))÷2= = … X=991 Y=30721 2 Câu 5: (2 điểm) Ta có: MNPQ ABC 1 1 S S s 2 2 £ = dấu bằng “=” xảy ra khi QB=QA => S max = s 2 1 khi P, Q là trung điểm của AC và AB. a. P, Q là trung điểm của AC và AB. S max = s 2 1 b. S max =8,349 785 47 1 1 Câu 6: (2 điểm) Ta có: A 2 = 99 9800 01¼ ¼ 123 123 n-1 sè 9 n-1 sè 0 Vậy tổng các chữ số của A 2 là: (n-1)9+8+1=9n a. 9n b. 36 252 441 1 1 Câu 7: (2 điểm) Đặt n=3t+r (r=0,1,2 và t∈N) ta có: M=k 2r (k 6t -1)+k r (k 3t -1)+(k 2r +k r +1). Vậy: + Với r=0 (n=3t) thì số dư là 3. + Với r=1 hoặc r=2 thì số dư là 0 a. + Nếu n=3t đáp số 3. +Nếu n=3t+1 hoặc n=3t+2 đáp số là 0. b.Vì n=2008=669x3+1 Vậy đáp số là: 0 1,5 0,5 3 Câu 8: (2 điểm) + Vòng đầu các vị trí được đánh dấu là (bội của 15)+1, và kết thúc ở vị trí 991. + Vòng 2 vị trí bắt đầu đánh dấu là 6 tiếp theo là các vị trí 15k+6 (k=1,2, .) và kết thúc tại 996. + Vòng 3 vị trí bắt đầu đánh dấu là 11, tiếp theo là 15k+11 (k=1,2, .) và kết thúc tại 986. + Vòng 4 vị trí bắt đầu đánh dấu là 1, đã được đánh dấu. - Số nhân viên an ninh chuyên nghiệp cần là: 67+67+66=200 - Số nhân viên an ninh không chuyên nghiệp cần là: 1000-200=800 2 Câu 9: (2 điểm) Ta có: 2331 3 13209 17 = =0,(1764705882352941) chu kỳ có 16 chữ số. Mà 25 2 =625=624+1=39x16+1 Vậy 25 2 ≡1(mod16) ⇔25 2008 =(25 2 ) 1004 ≡1 1004 =1(mod16). Chữ số thập phân cần tìm là số: 1 1 Câu 10: (2 điểm) AB 2 +AC 2 =4R 2 . a. AB 2 +AC 2 =4R 2 . b. 9,382 794 56 1 1 Chú ý: - Với những câu có hai phương án (a. Nêu công thức; b. Áp dụng) khi chấm nếu phương án a sai thì không cho điểm phương án b. 4 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ B Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐIỂM CỦA BÀI THI Các giám khảo (Họ tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do chủ tịch hội đồng chấm thi ghi) Bằng số …………………………… Bằng chữ …………………………… ……………………….……………………. ……………………………………. …………….………………………………. Chú ý: 1. Thí sinh chỉ được sử dụng máy tính Casio fx-570MS trở xuống. 2. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 8 chữ số thập phân. 3. Chỉ ghi kết quả vào ô và không thêm ký hiệu gì khác. Đề bài Kết quả Câu 1: (2 điểm) a. Với x=1,15795836. Hãy tính: 2 2 1 1 1 x 4 x A 1 1 1 1 1 x x 4 x 2 x æ ö ÷ ç ÷ + - ç ÷ ç ÷ ç è ø = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + - - - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø b. Cho: 27 B 27 7 15 2008 = + + Biết: 0 1 n 1 n 1 B k 1 k . 1 k k - = + + + Tìm dãy số: k 0 ,k 1 ,…,k n . Câu 2: (2 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AC=2R, B là điểm di động trên đường tròn, kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC). a. Tìm vị trí của B trên đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác OBH lớn nhất. b. Tìm diện tích lớn nhất đó khi R=1,94358198 Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: ( ) 4 1 2 3 4 5 6 7 8 6 8 x x x x x x x x x x= Câu 4: (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a, b với a lớn nhất có 3 chữ số và thỏa mãn phương trình: a 3 +a 2 -ab- b 2 =0 5 Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC, có diện tích là a. Các điểm M,N thuộc BC và P,Q lần lượt thuộc AC, AB thay đổi sao cho MNPQ là hình chữ nhật. a. Xác định điều kiện để diện tích hình chữ nhật MNPQ là lớn nhất. Tính diện tích đó theo a. b. Áp dụng với a=18,13794273. Câu 6: (2 điểm) a. Cho = ¼ 12 3 k ch ÷ sè 9 99 9A . Tính tổng các chữ số của A 2 . b. Áp dụng với k=2008 2 . Câu 7: (2 điểm) a. Tìm số dư khi chia M=k 2n + k n + 1 cho k 2 + k + 1 với mọi số tự nhiên n, và k ∈ Z, k≠1. b. Áp dụng tìm số dư khi chia 2008 2.2007 +2008 2007 +1 cho 2008 2 +2008+1. Câu 8: (2 điểm) Trong một trận bóng đá, ban tổ chức cần 1000 nhân viên an ninh cả chuyên nghiệp và không chuyên nghiệp được sắp xếp xung quanh sân đấu. Các vị trí dành cho các nhân viên chuyên nghiệp được ban tổ chức đánh dấu bắt đầu từ vị trí số 1, cứ cách 15 vị trí lại đánh dấu tiếp. Việc đánh dấu sẽ kết thúc khi bắt gặp một vị trí đã đánh dấu. Hỏi ban tổ chức đã cần bao nhiêu nhân viên an ninh chuyên nghiệp và bao nhiêu nhân viên an ninh không chuyên nghiệp? Câu 9: (2 điểm) Tìm chữ số thập phân thứ 25 2010 của phép chia số 2238 cho 12682. Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt BC theo thứ tự tại D và E. Giả sử AD=AE. a. Hãy tính AB 2 +AC 2 theo R. b. Áp dụng với R=1,53746298. 6 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ B ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn làm bài Kết quả Điểm Câu 1: (2 điểm) a. Rút gọn biểu thức ta được: 1 1 A 1 2 x æ ö ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø b. 54216 A 27 30127 = + 1 28 1 1 1 3 1 1 1 94 1 1 1 5 1 3 3 = + + + + + + + + a.Rút gọn rồi tính ≈ 0,931 794 46 b. {k 0 ,k 1 ,k 2 ,…,k n } = {28,1,3,1,94,1,5,3,3} 1 1 Câu 2: 2 OBH R S 4 ³ a. Vậy ta có 4 điểm B tạo với OA hoặc OC góc 45 0 . b. S max = 4 R 2 a. góc(BOX)=45 0 (Với X là A hoặc C) (tìm được 4 điểm B) b. S max =0,944 377 73 1 1 Câu 3: (2 điểm) Ta có: 9956 86 ≤< xx . Dùng quy trình: M=M+1: M^4 = = … (65; 17 850 625) (86; 54 700 816) (91; 68 574 961) 2 Câu 4: (2 điểm) Ta có: a a 5 4a b 2 - ± + = Với X=999. Dùng quy trình: X=X-1:(-X+X√(1+4X))÷2:(-X-X√(1+4X))÷2= = … a=991 b=30721 2 Câu 5: (2 điểm) Ta có: MNPQ ABC 1 1 S S a 2 2 £ = dấu bằng “=” xảy ra khi QB=QA => S max = a 2 1 khi P, Q là trung điểm của AC và AB. a. P, Q là trung điểm của AC và AB. S max = a 2 1 b. S max =9,068 971 37 1 1 Câu 6: (2 điểm) Ta có: A 2 = 99 9800 01¼ ¼ 123 123 k-1 sè 9 k-1 sè 0 Vậy tổng các chữ số của A 2 là: (k-1)9+8+1=9k a. 9k b. 36 288 576 1 1 Câu 7: (2 điểm) Đặt n=3t+r (r=0,1,2 và t∈N) ta có: M=k 2r (k 6t -1)+k r (k 3t -1)+(k 2r +k r +1). Vậy: + Với r=0 (n=3t) thì số dư là 3. + Với r=1 hoặc r=2 thì số dư là 0 a. + Nếu n=3t đáp số 3. +Nếu n=3t+1 hoặc n=3t+2 đáp số là 0. b. Vì n=2007=669x3. Vậy đáp số là: 3 1,5 0,5 7 Câu 8: (2 điểm) + Vòng đầu các vị trí được đánh dấu là (bội của 15)+1, và kết thúc ở vị trí 991. + Vòng 2 vị trí bắt đầu đánh dấu là 6 tiếp theo là các vị trí 15k+6 (k=1,2, .) và kết thúc tại 996. + Vòng 3 vị trí bắt đầu đánh dấu là 11, tiếp theo là 15k+11 (k=1,2, .) và kết thúc tại 986. + Vòng 4 vị trí bắt đầu đánh dấu là 1, đã được đánh dấu. - Số nhân viên an ninh chuyên nghiệp cần là: 67+67+66=200 - Số nhân viên an ninh không chuyên nghiệp cần là: 1000-200=800 2 Câu 9: (2 điểm) Ta có: 2238 3 12682 17 = =0,(1764705882352941) chu kỳ có 16 chữ số. Mà 25 2 =625=624+1=39x16+1 Vậy 25 2 ≡1(mod16) ⇔25 2008 =(25 2 ) 1004 ≡1 1004 =1(mod16). Chữ số thập phân cần tìm là số: 1 1 Câu 10: (2 điểm) AB 2 +AC 2 =4R 2 . a. AB 2 +AC 2 =4R 2 . b. 9,455 169 66 1 1 Chú ý: - Với những câu có hai phương án (a. Nêu công thức; b. Áp dụng) khi chấm nếu phương án a sai thì không cho điểm phương án b. 8 . LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ A Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐIỂM. LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ B Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐIỂM