Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập luyện tập các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai Dạng 1: Bài tập đưa thừa số ra ngoài dấu căn... Kiến thức cơ bản..[r]
(1)Chuyên đề 1:
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI; PT VÔ TỈ DẠNG ĐƠN GIẢN
-*** -A Kiến thức bản
I Định nghĩa bậc hai số học
2 x a = x
x = a
II Điều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A
III Các phép biến đổi đơn giản BT chứa bậc hai
1 Hằng đẳng thức A = A =2 A (A 0)
-A ( A < 0)
VD: a) 72 7 7
b) ( 7) 7 7
2 Liên hệ phép nhân phép khai phương: A.B A B (với A, B 0)
VD: 20 5.20 100 10
*/Đặc biệt với A0 ta có: A A2
3 Liên hệ phép chia phép khai phương:
A A
B B (với A 0; B > 0)
VD: 1700 1700 100 10
17
17
4 Đưa thừa số dấu căn:
A B A B
VD:
5 25 2
( 5) 2 5 2 5 Đưa thừa số vào dấu căn:
2
A B (A 0;B 0) A B =
A B (A < 0;B 0)
VD: a) 3 5 3 52 45
b) 3 5 ( 3) 52 45
6 Khử mẫu biểu thức lấy căn: A = AB (AB 0;B 0)
(2)VD: 2.3 2.32
3 3.3 3 7 Trục thức mẫu:
a) A = A B (B > 0) B
B
VD: 5 3 3
b)
2
C =C( A B) (A 0;A B ) A - B
A ± B
VD: 2( 1) 2( 1)
2 ( 1)( 1)
d) C = C( A B) (A 0;B 0;A B) A - B
A ± B
VD: 5.( 2) 5.( 2)
5
7 ( 2)( 2)
VI Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, quy tắc bỏ dấu ngoặc A.(B + C) = A.B + A.C
VD: x ( x 1) x x x.1 x x
2 (A + B).(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
VD: ( x 2)( x 1) x x x.1 x 2.1 x x 2
3 - (A - B) = -A + B
Ví dụ: x 2 x 2 x
V Các đẳng thức đáng nhớ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Ví dụ: ( x 1)2 ( x )2 2 x.1 12 x x 1
2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
Ví dụ: ( x 2)2 ( x )2 2 x.2 22 x x 4
3 A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Ví dụ: x ( x )2 12 ( x 1)( x 1)
4 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
5 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = A3 - B3 - 3AB(A - B)
6 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
Ví dụ: x x ( x) 13 ( x 1)(x x 1)
7 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: x x ( x )3 23 ( x 2)(x x 4)
VI Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PP1: Đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C)
(3)a) x x x ( x 1)
b) x2 x x ( x ) 3 1
PP2: Dùng đẳng thức
Ví dụ: Với x 0 , ta ln có:
a) x ( x 1)( x 1)
b) x (2 x )(2 x )
c) x x ( x 1)2
d) x x ( x 3)2
e) x x ( x ) 13 ( x 1)(x x 1)
f) x x ( x )3 13 ( x 1)(x x 1)
PP3: Nhóm hạng tử
Ví dụ: Với a 0, ta ln có:
a) a a a a (a a a ) (a 1) a (a 1) (a 1) (a 1)( a 1) b) a a a a (a a a ) (a 1) a (a 1) (a 1) (a 1)( a 1)
PP4: Kết hợp PP
Ví dụ: Với x 0, ta ln có: a) x2 x x ( x 1)(x x 1)
b) x2 x x ( x 1)(x x 1)
B Bài tập
Phần I Tìm điều kiện để thức có nghĩa Dạng 1: Biểu thức lấy đa thức bậc nhất
Bài 1: Với giá trị x thức 2x 3 có nghĩa: Giải: 2x 3 có nghĩa 2x -3 0 2x x3
2
Bài tập tương tự: Với giá trị x thức sau có nghĩa
a) 2x b) 2x c) x 2 d) x
e) 2x 3 f) 2x 5
Dạng 2: BT lấy phân thức (chứa ẩn tử mẫu) Bài 2: Với giá trị x thức
x 5 có nghĩa Giải :
x 5 có nghĩa
0
x x x
x
(4)a) x
b)
x 5 c)
5 2x
d)
5 2x Dạng 3: BT lấy có giá trị không âm
Bài 3: Chứng minh thức x2 2x 1
ln có nghĩa với giá trị x: Giải: x2 2x (x 1)2 0
với giá trị x Vậy x2 2x 1
ln có nghĩa với giá trị x Giải: a) Do x2 với x nên x2
Bài tập tương tự: Chứng minh thức thức sau ln có nghĩa với giá trị x:
a) x2 b) x2 4x 4
c) x21 d) x2 2x 2
Dạng 4: Biểu thức tổng hợp
Cách giải: Cần tìm điều kiện cho thức, cho phân thức phép chia có nghĩa Bài 4: Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa
A = x 1 x
Giải: Biểu thức A có nghĩa khi:
x x
1 x
3 x x
Bài 5: Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa
A = 1 : x
1 x
x x
Giải: Biểu thức A có nghĩa khi:
x x
x x
x 1 x
x
Bài tập tương tự: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau:
a) A = 1
x 2 x 2
b) B = 1
x x 1 x 1
c) C = + 1-
x -3 x +3 x
d) D = 1 :
x x x x
(5)Bài 1: Thực phép tính: 50
Giải: 50 8 2 25.2 4.2 2 2 2= (5 1) 2
Bài tập tương tự: Thực phép tính
a)3 27 27 3 b) 12 27 3 c) 20 45 d) 48 75 108
e) 20 80 45
2 3 f) 20 45 18 72
g) ( 20 5 80) h) ( 28 3 7) 7 84
Dạng 2: Bài tập khử mẫu biểu thức lấy đưa thừa số ngồi dấu căn Bài 2: Thực phép tính: 2
2
Giải: 2 2 2
2
Bài tập tương tự: Thực phép tính a) 5
5 b)
1
3 12
3
c) 1 20
52 d)
2
6
3
e)
2
f)
6 2a
a 6a
a với a >
Dạng 3: Trục thức mẫu
Bài 3: Trục thức mẫu biểu thức sau: a)
3 b)
3 c)
5 1 d)
3 5 e)
5 3 f) a
2 a -1(với a > 0) Bài 4: Thực phép tính: A = 1
3 3
Giải: 1 7
3 7 (3 7)(3 7) (3 7)(3 7)
3 7
3
2 2
Bài tập tương tự:
A = 1
3 3 ; B =
2
3 5 5 C = 1
2 5 2 D =
2
5 2 2
E = 1
3 5 1 ;
(6)a) 5 ; 2 b) ( 5)2
c) ( 1)
d) (1 2)2
e) (1 5)2 (1 5)2 f) (1 5)2 (1 5)2
Giải: (1 2)2 1 2 2 1
(vì 1 2< 0) Bài 5: Thực phép tính: 3
Giải: 4 3 ( 1)2 3 1 3 1
Bài tập tương tự: Thực phép tính
a) 3 b) 6 c) 6
d) 6 ; e) 2 f) 2
g) 13 3 ; h) 6 6 i) 4 + 4 Bài 6: Rút gọn biểu thức: (BT dấu chứa chữ)
A = 3 a2 2a
với a 0
Giải: 3 a2 2a 3a 2a 3a 2a a
(vì a nên a a)
Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau a) 9a2 3a
với a < b) (a 2) 3a với a > c) 9a + 3a4 d) 16a - 2a với a < 06 c) a 25a 4a3
a
với a >
c) x2 2x 12
x 4x
, với <x < (Đề số 10-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
d) x2 6x
x
, với x
-3 (Đề số 35-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
e) ( a 1)2 ( a 1)2
, với a1 (Đề số 34-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
f) x x 1 x x 1 , với x1 (Đề số 31-Bộ đề ôn thi tuyển sinh)
Dạng 5: Bài tập phối hợp phép biến đổi Bài 7: Thực phép tính: A =
2 1-
-Giải: A = 2 2
2 ( 1)( 1) +
- = - = + - =
- - +
Bài tập tương tự: Thực phép tính
A = 20
3- 5- B =
1
20 2
C = 3( 1)
D =
(7)E = 18 (1 2)2 1 F = 3 12 27 ( 1)2
G = 3 2 5 3 H = (2 3)2 75
2 3
I = 5
Dạng 6: Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Bài 8: Thực phép tính:
1
Giải: 3 3(1
1 2
Bài tập tương tự: Thực phép tính a) 55
5
b)
1 2
c) 11 11
5 11
d)
5 5
2
e) 1
f) : 5 55
g) 5 15
5
h) 3 3
3
i) 3 3
3 1
ỉ + ưỉ÷ - ửữ
ỗ + ữỗ + ữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữữỗ ữữ
ỗ + ỗ
-è øè ø
Phần III Bài tập rút gọn biểu thức chứa chữ Dạng 1: Rút gọn biểu thức dạng phân thức Bài 1: Rút gọn biểu thức sau A =
3
x x
với x 0
Giải: A =
x x
=
2 32
x x
= 3 3
x x
x
= x Bài tập tương tự: Rút gọn biểu thức sau
A = x + x
x (với x >0) B =
x x
x
với x 0
C =
5
x x
x với x0;x25 D =
2 2
x x
x
với
0;
x x
E = x -
2
x (với x 0; x 4 ) F =
x x x
(với x 0 ) G =
1
x x
x
với
0;
x x H=
1
x x
x x
với x 0
I = x x
x x
với x>0 K =
3 x x
(với
(8)L = 4
x x
với x 0;x
M = x
x x
với x 0;x
N =
3
x x
x
với x0;x1 P =
1
x
x x x x với x 0
Dạng Rút gọn biểu thức gồm tổng phân thức mẫu Bài 2: Rút gọn biểu thức:
A = 4
3
x x x
x x
với x 0
Giải:
A = 4
x x x
x
=
3 3
3
x x
x
= x Bài tập tự luyện: Rút gọn biểu thức: A =
3
x x
x x
với x 0 B = 13
3
x x
x x
với x 0;x
C =
4 4
x x
x x x
với x 0 D = 2
2 2
x x x
x x
với
0;
x x
E =
2
x x x
x x
với x0;x4 F = 3
1
x x x
x x
với x 0;x
G = 2 2x-1
1 1
x x
x x x
với x 0
H =
2 2
x x x
x x x
với x 0
Dạng 3: Rút gọn biểu thức gồm tổng phân thức khác mẫu Dạng 3.1: Đưa phân thức mẫu cách rút gọn Bài 3: Rút gọn biểu thức sau (Rút gọn đưa mẫu) P=
3
x x x
x x
với x 0
Giải:
P =
2
2
3
3
x x x
x x
= 3 3 3
x x x x
x x
=
3
x x x
(9)x + x x - A =
2
x x (Với x > 0)
x + x x - B =
3
x x (Với x > 0; x 9 )
C = x - x x -1
1
x x (Với x > 0; x 1) D =
2 x -
2
x x
x x (Với x > 0)
E = x
x x
(Với x 0; x 4 )
2x -E =
1
x x
x x x (Với x > 0; x 1)
F = x x x
1 x x x
(Với x 0; x 1)
H = 2x 2x
2 x 1 x
(Với x 0; x 1/4)
Dạng 3.2: Đưa phân thức mẫu cách quy đồng mẫu Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
P = 1
x 1 x 1 ,với x 0, x Giải:
P= 1 x x
x x ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
x ( x 1) ( x 1)( x 1)
x x ( x 1)( x 1)
2 x
Bài tập tương tự:
A =
2
x x
x x với x 0;x
B =
3
x x
x x
với x0;x9
C = 1
x 1 x với x >0
D =
5
x
x x x
với x 0, với x >0
E =
x x x 2 , với x >0, x
F = x
x x
, với x 0, x
G = x x x
x
x x
, với x 0, x
I =
9
3
x x x
x
(10)P = 1
1
x
x x x x
với x 0;x
Q =
1
1
x x
x x x với
0;
x x
Dạng 4: Rút gọn biểu thức gồm tích thương phân thức Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: P = x x
x x
Giải: P = x x x (x 9) x ( x 3)( x 3) x x
x ( x 3)x ( x 3) x x x
Bài tập tương tự: A = x x
x x
B = x 1: x
x x x x
C = x : x 4 x 2
Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa tổng, tích thương Bài 6: Rút gọn BT sau: (Rút gọn đưa HĐT số 3) P = x x x x
x x
(Với x 0; x 1 )
HD giải:
P = x x x x
x x
= ( 1) ( 1)
1
x x x x
x x 1 x 1 x 1 x
Bài tập tương tự: A =1 x x x
x , với x >
B = 1
1
x x
x
x , với x 0; x 1
C = x x x x
1 x x
,với x 0; x 1
D = a a a
a a
, với
a 0;a 1
E = a 4 a a
a a
, với
a 0;a 4
(11)P = x x x
x x x
(Với x 0;x 4, x 9 )
Giải: P = x x : x - x - x x
x 3 x 3
3( x 2) x
:
x x
x x
3 x 1
x x x
Bài tập tương tự: A =
2
1 a a a
a
1 a
1 a
(Với a 0;a 1 )
B = a a a a :a a
a a a a
(Với a 0;a 1 )
C =
2
x x x x
x
x x x x
(với x0)
D = a a : a
a
a a a
(với a 0;a 1 )
Bài 8: Rút gọn biểu thức sau (Quy đồng mẫu số)
P = 1 a
a a a
, với a>0; x
4
Giải: P = a a a
( a 2)( a 2) ( a 2)( a 2) a
a a a a a
a
( a 2)( a 2) a a
Bài tập tương tự:
A = 1 a
a a a
, với
a 0;a 1
B = x : x 16
x x x
, với x0; x 16
C = 1 : x
x x x x x
,với x >
Bài 9: Rút gọn biểu thức sau P = 1 - x + x1 + - 1x
(với x1 x >0)
Giải: P
)( ) )( )
1 + x + - x - (1 - x + x (1 + x - x x
x x
+
)( )
1 + x - x
=
(1 - x + x
(12)2 )( ) (1 - x + x
x
x
2 =
x x
Bài tập tương tự:
A = 1
x x x
(với x
0; x 9)
B = 1 : 1
x x x x
(Với
x 0;x 1 )
C = x :
x x x x
(Với x 0;x 1 )
D = x :
x x
x
(Với x 0;x 4 )
E = x :
x x x x
(với x >0 x4)
F = x x : x
x x x
(Với x 0; x 9 )
3 x
G :
x x x
(Với x 0; x 9 )
H = x : x x
x x x x x
(Với x 0; x 4 )
I = x :
x
x x x x x x
(Với x 0;x 1 )
K = 1 x x
x x x x
(Với
x 0; x 1 )
M = 1 : x
x x x x x
(Với
x 0;x 4 )
Phần IV Các tập tổng hợp
Dạng 1: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Bài 1: Cho biểu thức P = :
1
x x
x x x x
(với x >0) a) Rút gọn P
b) Tính P x = 4; c) Tính P x = - 2 Giải: Với x > 0, ta có:
a) P :
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x
1
:
( 1)
x x
x x x
1
( 1)
x x x
(13)1
x x
x
b) Với x = 4, ta có P = 4
2
c) Với x = - 2 1 2suy x 1 2 1 1 Khi đó:
P = 3- 2 1 (3 2)( 1) 2
2 ( 1)( 1)
Bài 2: Cho A = :
1
1
x
x
x x x x
(với x>0; x1)
a) Rút gọn A (KQ: x
x
) b) Tính giá trị A biết x = - Bài : Cho biểu thức: K = x - 2x - x
x - x - x với x >0 x1
1) Rút gọn biểu thức K
2) Tìm giá trị biểu thức K x = +
Bài 4: Cho biểu thức A = :
1
1
x
x
x x x x
với a > 0, a
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị A x 2 3
Bài 5: Cho biểu thức A =
1
1 :
a a a a
a a
a a
với a > 0, a a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A a = 2011 - 2010
Dạng 2: Rút gọn biểu thức tính giá trị biến biết giá trị BT Bài 6: Cho biểu thức A =
9
3
x x x
x
x x
(với x0; x9)
a) Rút gọn A b) Tìm x để A =
3 Bài 7: Cho biểu thức
P = x + + x + + x - x
x - x + với x ≥ 0, x ≠ a) Rút gọn P
b) Tìm x để P =
Bài 8: Cho biểu thức: C = x -1 -2 x x +1 x
(14)b) Tìm x để C = x – Bài 9: Cho biểu thức: B =
x x x x x x x 1
với x > a) Rút gọi biểu thức B
b) Tìm x để B =
Bài 10: Cho biểu thức D = x 1 x
2 x 2 x
, với x 0; x 1
a) Rút gọn D
b) Tìm x để D =
Bài 11: Cho biểu thức: Q =
1 1 2 x x x x x x 1) Tìm tất giá trị x để Q có nghĩa Rút gọn Q 2) Tìm tất giá trị x để Q = - x-
Dạng 3: Rút gọn biểu thức giải bất phương trình
Bài 12: Cho B = x :
x x x x
a) Rút gọn B b) Tìm x để B < -1
Bài 13: Cho biểu thức: P =
1 2 a a a a a a a a
với a > 0, a a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P > -
Bài 14: Cho biểu thức P = 1 : x x + x x x + x
với x >
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị x để P >
Bài 15: Cho biểu thức A = a a : a a - a a + a
với a > 0, a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị a để A <
Bài 16: Cho P = 1
3
a a a
(với a> 3; a 9)
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị a để A >
3
Bài 17: Cho biểu thức: P = a a aa aa
3
(15)b) Tìm a để P <
Dạng 4: Rút gọn biểu thức tìm giá trị nguyên biến để BT có giá trị nguyên
Bài 18: Cho biểu thức: P = a a - - a a + : a +2 a - a - a a + a
với a > 0, a 1, a 1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Bài 19: Cho biểu thức: P = x -1 x- :
x -1 x 4
x x x
x
với x > 0; x 1 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x nguyên để P nguyên
Bài 20: Cho biểu thức Q = x : x
x x x x
, với x > 0; x 1 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x nguyên để P nguyên
Bài 21: Cho biểu thức P = 1 : x x - x x x - x
(với x > 0, x
1) a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Dạng 5: Một số dạng khác
Bài 22: Cho biểu thức : P = : 2
1 1
2
x
x x
x x x
x x
Với x0 x1 a) Rút gọn P
b) Chứng minh P > với x x 1
Bài 23: Cho biểu thức P 1 :
x
x
x x x x
(với x 0)
a) Rút gọn P b) So sánh P
Bài 24: Cho biểu thức : P = 2( 3)
2 3
x x x x
x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P với x 14 c) Tìm GTNN P
Bài 25: Cho biểu thức P = 2
x 1
x x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ P
(16)2 x a = x
x = a
2 Bài tập
Dạng 1: Phương trình dạng f x( )g x( )
Bài 1: Giải phương trình a ) 25x 35 b) (x 3)2 9
Giải:
b) (x 3)2 9
x 9 xx 93 9
3 12
3
3
x x
x
x x
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 12;x2 6 Bài 2: Giải phương trình: x 1 x
Giải: 2
1
1
(1)
( 1)
3
x
x x
x
x x x x
x
3 x
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 3 Bài tập tương tự: Giải phương trình
1) x = 12 2) 3x 75 0 3) 4x 2 6 4) (2x 1)2 3
5) 4x2 4x 1 6
6) x2 2x4 2
7) x 1 x2 1
8) x2 1x 1;
9) 9x2 2x 1
10) x26x9 3 x1 11) 4(1 6x 9 )x2 8
12) 15 15 15
3 x x 3 x 13) 20 45
3
x x x 14) 25 25 15
2
x
x x
Dạng 2: Phương trình dạng =
Bài 3: Giải phương trình 2x 3 4x HD giải: - Điều kiện: x
4
- Bình phương hai vế rút gọn ta x = 5 Bài tập tương tự: Giải phương trình
1) 3x 1 2 x
2) 2 x 2x1 3) x 3 x 0 4) 3 x x 3x
Dạng 2: Phương trình dạng + = g(x)
(17)Giải:
(1) + = Điều kiện:
2
x
x
x (*)
Với điều kiện (*) phương trình có hai vế khơng âm nên ta bình phương hai vế ta có: 2x + + = 25
= 24 - 2x (2)
Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x x 12 (**) Bình phương hai vế (2) ta có:
x2 + x - = 144 - 24x + x2
25x = 150 x = (thỏa mãn (*) (**)) Vậy phương trình có tập nghiệm S = 6
Bài 5: Giải phương trình. = + (1)
Giải:
Điều kiện :
1
12 12
7
x
x x
x
(*)
Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế khơng âm nên ta bình phương hai vế (1) x + = 12 - x - +
= x + (2)
Với (*) hai vế p.trình (2) khơng âm ta bình phương hai vế (2) ta được: (2) (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16
5x2 - 84x + 352 = 0
D' = 1764 - 1760 = > Þ =
Phương trình (3) có hai nghiệm: x1 = , x2 = Đối chiếu với (*) ta có x = thõa mãn
Bài tập tương tự: Giải phương trình 1) x2 9 3 x 3 0
2) x2 4 2 x 2 0
3) 3x 2 x 13;
4) 3x 2 x1;
5) x1 5 x2 13 6) x + x + =
7) + = 8) 3x4 2x 1 x3 ;
9) - =